命题视角下的分段函数

夏奕雯

(浙江省宁波中学 315000)

分段函数是整个函数体系中的一个重要的概念,它既有代数的结构,又有隐含的几何特征.此类问题设计形式新颖,逻辑推理能力要求高,思维难度大,对于高中生来说是一大难点.解决的方法主要是通过分段函数的几何背景分析引导解题.学生需要有足够的体验,才能形成良好的思维方式.

从近几年浙江高考和学考试题分析来看,命题主要从分段函数解析式入手进行变化,以求值、解不等式、求参数范围等函数性质作为考察点,是一个基础考点,且在难度上有逐年加大的趋势.

分段函数在新课授课中只是通过一个例题给出,作为一个解析式相对复杂的函数.但在高考或模拟题中,是学生常有的失误点.在知识和方法要求上需要多方知识基础和基本初等函数模型思想,往往通过数形结合的思维方法得以顺利解决.波利亚曾经指出:”良好的组织使得所提供的知识容易用上,这甚至可能比知识的广泛更为重要.”微专题教学内容专一,设计精妙,它注重对知识的分析和拓展,对问题的处理透彻,学生接受起来更加高效.因此，在高三阶段设计此微专题并进行深入剖析是十分必要的.

本文以近几年浙江高考题引出问题,通过回顾分析近几年的命题题型和渐变趋势,帮助学生合理建立认知结构,形成解决问题的基本方法和技能.通过问题的设计进行逐层拓展,从而提升学生的问题分析和解决能力,以及逻辑推理能力.从命题的视角来看命题的立意或命题的变化,从方法上巩固提高.

一、经典呈现

(1)求F(x)的最小值m(a);

(2)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

A.a<-1,b<0 B.a<01,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

以上都是浙江省高考题中的分段函数问题,在形式上均由两个不同特质的初等函数拼接而成,变化莫测.所考查的主要是求值、解方程、解不等式、求参数范围等函数性质问题,且在难度上有逐年加大的趋势.如此高频地出现提醒我们分段函数已经成为高考的一大热点问题.

二、问题拓展

它们大多能通过读图直接求出结果, 但还有很多问题需要通过图象转化才能得出.

1.含递推关系的分段函数问题

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解由f(x)是分段函数,且解析式中含递推关系,可知函数y=f(x)-x的解析式难求,因此将方程y=f(x)-x=0转化为f(x)=x,即将函数的零点问题等价转化为两个函数图象求交点问题.

当x<0时,函数f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1是以x=-1为对称轴,以(-1,1)为顶点,开口向下的抛物线.

当x≥0时,f(x)=f(x-1),故函数f(x)在x≥0时的图象相当于[-1,0)上的图象重复出现.

先画出x<0时函数f(x)的图象,再将[-1,0)上的图象以1为单位向右不断平移,得到函数f(x)在R上的图象.

将两个函数图象画在同一直角坐标系中,如图,即可得到函数y=f(x)-x有3个零点.

方法点睛若分段函数中含递推关系,则解析式难写出,需要从图象入手.其中含递推关系的部分与周期性有关,图象会呈现重复出现的情况.若能弄清楚相应的递推关系以及取值区间,就能通过图象平移变换顺利完成作图,自然就能结合图象得出相应的结果.因此利用递推关系作出图象成了此类问题解决的关键.而这一关系的分析与应用恰是难点所在.

2.含复合关系的分段函数问题

解f(x)是分段函数,g(x)是绝对值函数,若直接复合,解析式相对复杂,不易得出函数的图象和性质.可先将函数的零点问题转化为方程根的问题进行探究,即h(x)=f(g(x))-k=0⟺f(g(x))=k.

对于含复合关系的方程根的问题,通常可从外往内逐层分析.

令g(x)=t,方程f(t)=k根的情况可结合图形得出:当k∈(0,1)时,方程f(t)=k有2个解;当k∈(-1,0]∪{1}时,方程f(t)=k有1个解.

要使方程f(t)=k有根,需进一步探究方程g(x)=t的根的情况.由图可知当t∈(-1,+)时,有2个解;当t=-1时,有1个解.

要使函数h(x)=f(g(x))-k有4个零点,方程g(x)=t和f(t)=k需同时取到两解.从而有t∈(-1,+)且k∈(0,1).

方法点睛本题所求函数是含复合关系的分段函数,若直接求复合以后的解析式,相对复杂,因此可先分别作出两个函数的图象,结合图象研究性质,再根据复合函数的特点,求出其中满足复合条件的相应的函数性质.在这类问题的求解中,学生往往混淆外层函数本身的定义域与复合以后需要将内层函数的值域作为外层函数定义域这一关键点.因此,在含复合关系的分段函数问题上,除了要弄清楚两个函数各自的图象与性质外,还需结合复合的条件进行转化,从而得到正确的结论.这就需要学生有较高的分析能力和逻辑推理能力,较强的数形结合、分类讨论、函数与方程以及转化化归的思维意识.

3.条件结构需要转化的分段函数问题

解不妨设a

由f(a)=f(b)得1-log3a=log3b-1,即log3a+log3b=2,

从而有ab=32=9.于是abc=9c.

故abc=9c∈(81，144).

思路探求不妨设a

作出函数图象,可得a、b、c各自的范围.代入相应的解析式中可得三个变量之间的等量关系,

即f(a)=f(b)=f(c)⟹ab=e2,c=3e2-e2lnb.

通过求导可得该函数的单调性,从而得其值域为(1+2e2,2e+2e2).

方法点睛本例需要结合图象将表达式进行转化后求解.因此要分清各变量所在的取值区间,准确地代入相应的解析式中寻求等量关系及取值范围,再通过等量代换转化求解.在本题的求解中,转化关系十分重要,对数形结合的要求更高,学生通过探究体验利用分段函数图象转化为表达关系求解的全过程,能深刻认识到数形结合与转化划归的数学思想在代数问题求解中的重要性.本例对应的变式则是在此基础上将积变成和的形式,难度上有很大的提升,需要将三个变量统一,转化为单变量的函数关系式,再利用求导得出函数的单调性进而得出结果,是本例的巩固和提升.

三、教学启示

从高考命题的视角下看分段函数的有关问题我们不难发现,分段函数问题在难度上呈现出逐年递增的趋势,说明它已经成了一大热点问题.对于这块内容,我们应该加以重视.不仅要掌握简单的与函数基本性质有关的问题的求解,还要对其进行深入地研究,从简入繁,通过层层递进帮助学生深化认知、逐步掌握分段函数有关问题的求解方法,形成完整的数学知识体系、系统的问题处理方法,提升数学素养,以达到举一反三的能力.