根式函数最值求法大放送

雷亚庆

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

含根式函数的最值问题具有灵活性强、难度大的特点，很多同学望而生畏，往往不知道从哪入手，尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕，只要我们认真分析题意，注意条件的应用，养成正确的解题习惯，即可找到合理恰当的解法，使此类问题顺利加以解决，下分类举例说明.

一、利用函数单调性

由于函数y=x-1和y=x+1在[1,+)为增函数，所以在[1,+)上单调递增.

解定义域为(-,0]∪[4,+),显然函数在(-,0]上单调递减，在[4,+)上单调递增.因此f(x)min=min{f(0),f(4)}=f(0)=4.

二、利用换元去根号

1.换元消去根号

解求得定义域为：{x|-1≤x≤1}.

2.三角换元化掉根号

分析求根式函数的值域是一个难点，特别是双根式函数，实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话，就会发现隐藏的解题信息，利用三角代换，就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.

∴函数的值域为[1,2].

三、利用平方去根号

解析求得定义域为[1,2].

四、利用几何意义

1.构造距离

设点P(x,0),A(-1,1),B(2,3),

问题转化为：在x轴上找一点P，使PA+PB最小作点A关于x轴对称的点A′(-1,-1)，显然当点P为直线A′B与x轴交点时PA+PB有最小值即A′B=5.

2.构造斜率

五、利用向量数量积的性质

六、利用分子有理化

七、构造对偶式求解

则y2+z2=50，即y2=50-z2.

所以当4≤x≤29时，z∈[-5,5],

所以y2=50-z2∈[25,50].

总之，解决根式函数的最值问题时，我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息，解函数题时一定养成先求定义域的好习惯，只要这样我们就可以通过换元，构造，把问题转化为我们熟悉的函数最值模型，从而使问题得以解决.