拨开迷雾弄清性质远离陷阱搞定函数

2020-07-22蒋敏

数理化解题研究 2020年19期

关键词：偶函数奇函数奇偶性

蒋敏

(四川省南充龙门中学 637130)

函数是高中数学的重要内容之一，它引入了变量，在动态中探寻数学的秘密.然而，同学们在学习过程中往往会产生比较大的困难，比如思维上有漏洞，忽视一些基本原则，方法混乱瞎套用等，如何才能以不变应万变，妙解一题，精解一类？

一、定义域优先原则

对函数定义域的考查常常是通过函数性质或函数应用来考查的,且具有较强的隐蔽性.所以,在研究函数问题时必须树立起“定义域优先”的观点.许多同学就是因为忽视了函数定义域而导致解题错误.

例1已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9]，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域.

令log3x=t,t∈[0,1]，则y=t2+6t+6在[0,1]上单调递增，所以值域为[6,13].

评注本题如果不思考g(x)的定义域，则缺少函数的三要素之一，从而导致值域错误.

例2已知奇函数f(x)是定义在(-3，3)上的减函数，求不等式f(x-3)+f(x2-3)<0的解集.

评注这个不等式问题本质还是函数问题，确定一个函数必须优先求出定义域，这样才能保证求解的范围不被放大.

二、单调性是函数的局部性质

函数的单调性也叫增减性，是刻画函数形态的一个重要性质.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.

现象一：忽视分段函数在定义域分界点附近的单调性.

评注“分而不断”是分段函数的最重要特点，本题中函数除了在各段上单调递减外，还要保证整个函数在定义域内单调递减，求解中容易忽略函数在定义域分界点附近的单调性，从而错选A答案.

简解函数f(x)在R上为增函数，则：

现象二:混淆“在区间上单调”、“单调区间是”、“存在单调区间”等词意.

例4 函数y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上为减函数，则实数m的取值范围是( ).

A.m≤1 B.m≥1 C.m≤-1 D.m≥-1

解析由函数y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上为减函数，且该二次函数的对称轴为x=m，所以由数形结合知：m≤1，故选A答案.

评注本题容易错误理解为函数y=-x2+2mx+5的单调减区间是[1,+∞)，从而得出m=1的错误结论.在解题中要注意，“在区间上单调”指该区间是函数相应单调区间的子区间；“单调区间”是指该区间就是函数的相应最大单调区间；“存在单调区间”指该区间内有相应单调性，也可能有别的单调性，即该区间内可能既有增区间，也有减区间.

变式函数y=x2+2(1-t)x-8的单调增区间为[2,+)，则实数t的取值范围是____.

简解因为函数y=x2+2(1-t)x-8的单调增区间为[2,+)，所以t-1=2，即t=3.