例谈变换在高中数学的应用

杨伟达 杨家隽

(1.广东省广州市花都区第二中学 510800;2.广东省广州市花都区实验中学 510800)

在解题教学中，转化与化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.其中变换是转化和化归的一种形式，在解题中常常用到.如变换位置、变换数值、变换视角等，它往往会激起学生的思维之花，开启数学思维之门，在解题中起到四两拨千斤的效果.

一、变换位置

有这样的一类几何题，直接用传统方法求解、证明往往比较困难，此时需要转化思路，寻找等价条件，变换一个位置，此时问题就会迎刃而解.变换位置常常有变换点、变换线、变换角等.

1.换点

在等价条件下，用某个点替换另一点达到快速解题.这一方法常常成了解决立体几何中线面距离的常规手法．

分析利用传统方法作垂线求点F到平面BED的距离比较困难，不妨利用线面平行的性质，转移到另一点位置，从而转化为求另一个点到面的距离(方便求得)．再利用等体积法间接求高.

解(1)略.(2)略.

(3)如图2，由(1)FG∥平面BED.

2.换线

有这样的一类题，在涉及线段长度之和时，用某一线段替换一线段，以直代曲，从而达到方便解题．比如几段线段之和求最值问题等，在几何中时常碰到的题型．

分析本题考查了立体几何两动点问题，在涉及两段或两段以上的线段之和，通常采用以直代曲即可解决．本题最根本的办法是转化为同一平面，找对称、找全等，目的是替换某线段长度，最终达到两点间线段最短．

3.换角

有这样的一类题，在等价的条件下，通过平移(或者替换)一条线段或两条线段，达到角度的变换，进而可将问题解决．比如，空间角转化为平面角、弦切角、圆周角等等．

分析在涉及求异面直线的夹角时，常常平移直线到某一点．解题的策略是异面问题转化为平面问题，找到平面上的点，进而找到异面直线的夹角.

解如图4，补上如图所示的相同长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.

故选C.

二、变换数值

有这样的一类题，直接解题比较困难，发现某一结构类似，比对结构，缺什么补什么，发现某值可以用另一种形式替换，变换数值后，结构齐整，用熟悉的方法即可将问题解决.

分析可将1替换成sin2α+cos2α，采用弦化切，原式可化为含有正切的函数式，代入，计算，求值.

三、变换视角

有这样的一类题，可以从多角度思考，变换视角后，发现这一式子可以用另一个视角去审题，去思考，此时解题常常会豁然开朗．比如数形转换、主元转换、函数与方程转换等等，这种方法另辟蹊径，简单明了，对解题起到事半功倍的效果．