时空斑图研究进展

李 凡

(榆林学院 能源工程学院，陕西 榆林 719000)

斑图(Pattern)是指在空间或时间上具有某种规律性分布的宏观结构，它具有非均匀性。斑图广泛地存在于自然界，如水面上的波纹，天空中的云图，宇宙中的星云图，动物表面的花纹，沙丘状的斑图，化学反应中的斑图以及气体放电中的斑图等[1]，如图1所示。

图1 自然界中存在的时空斑图

1 斑图及斑图动力学简介

事实上，最初人们对于此种斑图形成的机理和演化规律是不清楚的。因为从热力学角度去分析，有的斑图是在热力学平衡态条件下形成的，如化学中的晶体结构，这种斑图可以应用经典的热力学原理来解释。但是大部分斑图是在远离热力学平衡态下产生的，如动物的花纹、生物细胞中钙离子的分布等，对于这种在远离热力学平衡态下产生的斑图，经典热力学原理就不适用了。因此，斑图动力学就是在这背景下，为了解释这类斑图的产生原理及演化规律而形成的学科。

正如上所述，斑图存在于各种各样的系统，生态、化学、宇宙、生物等，因此斑图动力学的研究领域包括数学、生物、生态以及物理和化学等众多学科。斑图最早出现于1900年，H.Benard在做平行导热实验时，在流体中发现了有序的空间斑图[2]，但是并没有对此种现象进行深入研究，始终认为它只是与流体有关的现象。直到1952年[3]，图灵在发表的论文中从数学的角度指出空间斑图在一定条件下可自发的形成，此外他还尝试对动物体表的斑纹是如何形成的给出实验证据，虽然他没成功，但是这一发现引起了人们对斑图研究的注意和思考，因而更多的人投入到了斑图动力学的研究中。1958年，俄国的两位化学家别洛索夫(Belousov)和扎鲍廷斯基(Zhabotinskii)首次阐述了在柠檬酸被溴酸钾氧化时会呈现一种化学振荡现象，并在其中可观察到时空斑图，这就是反应扩散反应的有名的B-Z反应[4]。不过由于当时人们局限于经典热力学，因此并没有对于化学反应中出现的振荡行为以及斑图的形成机理给出解释。紧接着，欧阳颁教授于1991年首次发现并证实了图灵斑图与分岔现象的存在[5-6]。随后，科学家们发现很多系统在一定条件下都可以产生斑图，如流体系统、气体放电系统，生物细胞的钙离子分布，生态系统中生物之间的捕食等等[1]。至此斑图动力学的研究得到了蓬勃的发展，人们也致力于研究斑图的形成机制，演化规律，斑图的控制及斑图的应用。

2 斑图的形成机制及应用

丰富多彩，自然瑰丽的斑图存在于自然界的不同系统中，人们在欣赏这些美丽的时空结构的同时，内心的好奇心也驱使的人们去探究这些斑图产生的机理和规律。总的来说，斑图产生的原因是系统中的参量以某种方式相互作用而导致宏观量出现有序分布的状态，是一种由系统内部决定的，自发对称性破缺引起的系统本身重新自组织的结构。斑图主要分为空间斑图和时空斑图。空间分布的斑图，在空间上呈周期、有序性地分布，最典型的就是图灵斑图；另一种是时空斑图，这种斑图不仅在空间周期、有序，而且在时间上也呈现周期振荡，这类斑图一般被称为波纹图，最具有代表性的就是靶波和螺旋波。事实上，对于不同种类的斑图是如何形成，学者也从数学的角度分析了不同种类的斑图是如何形成。分岔理论是研究斑图动力学的一种有效工具。研究发现系统在远离热力学平衡态时，当系统的参量越过某一个临界值时，系统会失去稳定性，发生新的自组织行为，最终形成新的时空结构[7]。在这些数学模型中表现为系统的参数连续变化经过某一个临界点时，系统的定性性质和拓扑结构发生变化，研究发现空间斑图即图灵斑图的形成是由于系统经历了Turing分岔，时间有序斑图对应的是Hopf分岔，而时空斑图的形成则表明系统经历了Turing-Hopf分岔，也就是说Turing分岔可以促使空间有序斑图的产生，而Hopf分岔使系统产生了关于时间的周期振荡解[1]。因此研究系统在临界值附近的动力学行为具有非常重要的实际指导意义，因此系统的演化方向，稳定性问题是斑图研究中的重点内容。

图2 图灵斑图[1]

正是斑图的广泛存在性和其特殊动力学特性，使其在各个领域的研究得到了深入开展，研究发现斑图动力学非常具有实际应用价值。如在心肌组织中靶波的破裂会导致螺旋波的产生以及螺旋波的不稳定性会导致心脏跳动的失稳，甚至引发猝死。在生态系统，种群之间的传染病会对人们的生存和生活带来极大的伤害，对传染病动力学演化的研究有助于实现传染病防治。生物之间的捕食模型则对物种的生存和分布会产生影响，可以用来解释一些物种的迁移现象，因为其受地域气候环境，温度，食物链等都诸多因素的影响。此外，生态系统中的植被斑图也是非常有趣的研究领域，如在自然界观察到的各种样式的植被斑图，斑点类，迷宫形式等时空斑图，相关研究可以为植被的分布以及风沙的防治提供一些指导信息。因此斑图动力学的研究不仅可以让人们对斑图有更清楚的认识，进一步可以促使人们应用斑图动力学中的某些机制去解决实际存在的问题，更好的为人类的生存和发展服务。

3 研究方法

到目前为止，斑图的研究方法主要是实验和数值模拟，其中以实验展开的研究虽然可以非常真实、直观地观测到反应系统中斑图形成过程，但是在实际操作中具有许多困难和约束，如实验设计，实验设备，反应时间、温度的控制，实验环境的控制，准确性、重复性以及花费等等。数值模拟则是通过对实际系统进行数学建模，然后求解其检测量的动力学演化行为。在数值模拟过程中，可以通过调节参数，施加外部刺激，计算时间，初值等方法来重现实际系统的主要动力学特性，得到各种时空斑图。此外，由于数学模型中涉及时间和空间这两类变量，所以基于在准确性，有效性方面的考虑，对于不同系统数值求解也会加以不同的处理[8]。此外，空间的尺寸大小也是数值模拟过程需要考虑的问题。一般来说，无限大尺寸是采用周期边界条件，而有限尺寸的空间则采用无流边界条件。

从动力系统角度来讲，数学模型可以通过预测和理解可观测变量的非线性振动和波动，从而为系统动力学行为变化的研究提供了有效的方法。事实上，系统的动力学问题通常与非线性振荡有关，因此，非线性阻尼和外部驱动被认为是振荡系统的动力响应研究。在研究中，通常要提出一些有效的的方法来稳定这种振动。通常来讲，它需要一定的响应周期来编码施加在动力系统上的外力，因此，时间延迟通常是动力分析中需要考虑的一个重要因素，当然这种方法也被证实了其稳定振荡行为的有效性。另一方面，可以施加多个激子(如外部强迫电流和噪声)来接近期望的振荡行为。人们依据这个思想对斑图动力学展开了多种多样的研究。

4 螺旋波和靶波的研究进展

众所周知，时空斑图可以在不同的系统中观察到，如反应扩散系统[7，9]，光学、沙盘系统等[10]。因此关于斑图的研究范围非常广，而由于螺旋波和靶波是最典型的时空斑图。因此，本文主要从物理研究角度阐述靶波和螺旋波在振动系统和反应扩散系统方面的一些研究进展。

在斑图动力学的研究中，人们通常可以利用反应扩散方程，耦合振子以及耦合的神经元模型通过实验或数值模拟在二维空间中产生螺旋波和靶波。尤其在神经元模型中，由于其具有非常丰富的动力学行为，其不仅在神经元动力学中有很大的研究意义，而且在斑图动力学中的研究也具有非常重要的研究，相关研究可以实现不同的应用，如人们遭受电磁辐射时人们的神经元是如何变化的，又如把其应用到电路实现，或人工智能、信号传递，信息编码等诸多领域，这些都是非常有趣和有实际研究意义的。

关于神经元模型的提出，最早可以追溯到1952年[11]，神经元模型最早是由霍奇金·赫胥黎(Hodgkin，Huxley)通过分析鱿鱼大轴突上的实验数据，提出的一种生物神经元模型(简称为 Hodgkin-Huxley)，这个神经元模型考虑了钙、钾、钠通过嵌入细胞膜的离子通道进行交换所引起的跨膜电流。当外界刺激作用于膜上时，触发动作电位传播信号，完成信息编码，事实上，外界压力可以改变细胞和介质的兴奋性，不同的施加方式可以触发不同的反应，另一方面，通道阻塞和中毒也可以通过改变电导来改变电活动的方式。此外，在此神经元基础上，科学家又得到Hindmarsh-Rose，Morris-Lecar[12], FitzHugh-Nagumo[13]等神经元模型。研究发现神经元模型在不同的参数下可以展示出丰富的动力学行为，如混沌态，尖峰放电，静息态等，进一步发现通过改变分岔参数和噪声可以实现电活动模式的转变。

在实际生活中，由于实际系统都是一个非常复杂的系统，因此人们更关注系统的集体动力学行为的产生机制和演化规律。研究表明螺旋波通常可以在规则网络和小世界网络中观测到。噪声和网络中长程连接中的重连概率对网络中螺旋波的稳定性起着重要的作用。靶波和螺旋波被认为是稳定的起搏器，可以调节网络的集体行为。然而，螺旋波往往是自我维持的，是由霍普分岔造成的。在大脑皮层，螺旋波的出现被当作是连续的起搏器来调节电活动的。由于螺旋波具有自我维持的特性，大脑皮层螺旋波的出现可能会阻碍信号交换以及波在大脑中传播，因此一些研究者认为螺旋波应该加以控制。此外，大脑中的神经元往往会通过耦合来建立合适的网络来讨论神经疾病的发生。一般来说，皮层螺旋波的出现会增强电活动的一致性，可以触发爆发性同步诱发癫痫发作。因此，神经网络的斑图的形成和控制可以为预测神经疾病的发生提供一些思路。

此外，研究发现复杂系统集体动力学的主要受节点动力学，网络的拓扑结构，外界刺激，系统参数等因素的影响。在研究中，这些模型通常连接为环网、链网、方阵、甚至小世界网络来考虑整个系统在外界刺激下的集体动力学行为[14-15]，这些外界刺激一般为噪声，周期性外界驱动力，电场和磁场等[16-17]。

关于螺旋波的控制已有不少优秀的工作，如文献[18-19]证实pinning螺旋波可以通过在介质中产生一个靶波来移除，阻断和抑制，而介质中产生的靶波只需在介质中施加一个局部外界刺激即可。吴等人[20]解释可以通过对介质施加一个向量场来实现对行波一种扰动，可以使螺旋波发生漂流。此外，一些学者也[21]讨论了有界噪声对螺旋波的形成和不稳定性方面的影响。

关于螺旋波和靶波的形成方面的研究，不少学者针对这方面展开了广泛的讨论。研究发现在网络中施加局部周期刺激信号，具有差异性的外部刺激以及局部介质的差异性都可以产生靶波[22-24]，而螺旋波则可通过设置特殊初始值，设置缺陷或靶波破裂的碰撞[25]。此外，研究发现靶波的对称性破缺可以通过阻断神经元膜内的某些离子通道来诱导螺旋波和多臂螺旋波的出现。事实上，人工缺陷的出现是诱发螺旋波的必要条件， 例如，有的研究发现认为神经元网络中螺旋波的形成机制可能与神经元离子通道的局部阻滞有关[26-27]。当然，在神经元网络中，自突出神经元模型中的负反馈可以在网络中产生缺陷，如网络中的行波被缺陷阻挡时，螺旋波会出现在网络中[28]。

此外，不少学者在处理神经网络中斑图的形成和控制时，网络中也考虑星形胶质细胞、自身突触、激发性的多样性以及抑制作用。研究发现自突出、化学突触以及电突触耦合会对系统动力学行为产生影响，其中自突触被编码为一种延时反馈。研究结果表明，电突触耦合比化学突触耦合在调节神经元模型的整体动力学行为中更快，更有效，但是化学突触也具有其独特的优势，因为化学突触耦合表示的神经元模型之间化学递质的传递。实际上，神经元模型在受到外界刺激的时候，其细胞内的钾离子，钙离子等的浓度会发生变化，因而导致细胞内的感应电流的产生，最终在神经元模型中出现电磁场。因此，一些学者对电磁感应以及磁场对神经元网络中的靶波和螺旋波的影响展开了研究。如Lv等人通过考虑的忆阻器效应而提出了反应电磁辐射的四维变量的Hindmarsh-Rose，研究表明电磁辐射效应可以改变电活动的放电状态以及斑图的演化模式。此外，研究还发现两个耦合的神经元模型中可以通过场耦合实现相同步[29-30]，以及网络中神经元模型在没有突触耦合，只有场耦合时，不同形式的斑图可以被观测到[31-33]。

另一方面，螺旋波的研究和控制在反应扩散系统中也非常重要。例如研究发现可以在与心脏心律失常有关的心肌组织中观察到螺旋波。这是因为窦房结可发出连续的电信号来调节细胞内的钙浓度，钙离子浓度的急剧变化会引起心脏适当的收缩，而及时释放钙可使心脏收缩得到放松。在心脏组织中，从窦房结发出的电信号可以形成靶波，然后波在心脏组织中进行传播。然而，当心脏缺血时，心脏中能够产生阻碍靶波传播的缺陷，此时由于靶波或行波受到缺陷的阻挡而发生破裂从而诱发螺旋波的形成。更严重时，这些新产生的螺旋波会干扰和阻塞靶波的传播，从而使心跳被破坏，甚至导致心室颤动和心脏死亡。因此，螺旋波的动力学研究变得非常有趣，抑制螺旋波及其的不稳定性的研究也变得非常迫切和重要[34]。如Yuan等[35]研究了螺旋波在反常扩散介质中的动力学，在介质边界施加周期性强迫，连续脉冲可以抑制螺旋波。Qian[36]探索了可兴奋的随机网络中自我持续振荡的出现。然后根据振荡源的特性，提出了两个判据来解释可激随机网络的时空动态。

进一步，斑图的形成和网络中的同步可以为网络中集体动力学的自组织行为和多体系的崩溃提供指导。尤其神经元网络中的螺旋波的形成和失稳可以为神经疾病的出现和防治提供线索，关于这方面研究及应用也是非常有意义。

5 结论

基于斑图动力学的普遍性和重要性。本文主要从斑图动力学的研究背景，研究方法，其形成机制以及研究进展方面展开了介绍，重点阐述了螺旋波和靶波在振荡系统和反应扩散系统的产生方法，以及如何实现靶波和螺旋波的控制和抑制。此文有助于人们对时空斑图在认知科学、计算科学、人工智能、信息科学和控制理论等方面的研究有一个初步的认识。