基于改进距离的概率犹豫模糊多属性决策方法

骆 华

(福州大学 经济与管理学院，福建 福州 350108)

多属性决策是指考虑多个属性方面对方案进行综合排序与选择的过程，目前已成为决策科学、管理科学等领域的热点研究问题之一。在决策过程中，人们总希望用精确的数据来表示各种决策信息以降低不确定性，然而随着经济的发展与社会的进步，信息越来越复杂且获得信息的过程中会受到诸多因素的限制，在大部分的决策环境中很难用精确数据来表示决策信息。ZADEH[1]于1965年提出了模糊集，用以对相关信息进行描述。但是其并没有考虑多属性决策中专家偏好存在不一致的现象，为此TORRA[2]提出了犹豫模糊集。之后，国内外学者将犹豫模糊集拓展为区间犹豫模糊集[3]、对偶犹豫模糊集[4]、犹豫三角模糊集[5]、犹豫模糊语言集[6]、广义犹豫模糊集[7]等。虽然犹豫模糊集允许用多个不同的值来表示一个元素属于某个集合的隶属度，但没有考虑每一个隶属度发生概率的差异。为了解决上述问题，XU等[8]提出了概率犹豫模糊集，既能考虑不同的隶属度，又能考虑每一个隶属度发生的概率，包含的不确定信息更多，更能表达决策者的偏好。而后LI等[9]给出了概率犹豫模糊集的可能度公式，并将其与QUALIFLEX方法和PROMETHEEⅡ方法相结合用于解决概率犹豫模糊多属性决策问题。ZHANG等[10]基于传统的聚合算子，给出了概率犹豫模糊集的聚合算子。GAO等[11]定义了概率犹豫模糊元的海明距离测度，提出了考虑时间因素的多阶段动态概率犹豫模糊聚合算子。刘玉敏等[12]定义了概率犹豫模糊熵、犹豫熵和总熵，分别用来测量概率犹豫模糊元的模糊性、犹豫性和整体不确定性。

为测量犹豫模糊集的不确定性，距离测度被引入到犹豫模糊集的多属性决策中。如XU等[13]给出了犹豫模糊集之间的距离公式，包括海明距离、欧式距离等。李贺等[14]考虑元素之间的方差和元素个数的差异，定义了一种改进的符号距离。阮传扬[15]根据犹豫模糊集元素之间的方差和元素个数，定义了一种含有对数函数的新型犹豫模糊符号距离。

综上，目前关于概率犹豫模糊距离测度的多属性决策研究较少，且大多采用概率犹豫模糊海明距离、概率犹豫模糊欧式距离等，只考虑到概率犹豫模糊元中元素值之间的差异，并没有综合考量其他因素，如信息不完全度、犹豫度等。因此，笔者提出一种改进距离公式对概率犹豫模糊元进行测量，该公式计算量小且计算简便。同时，为了充分考虑犹豫性、信息不完全性和元素之间的差异，更好地测量概率犹豫模糊元的不确定性，首先给出概率犹豫模糊元的犹豫度公式来测量其犹豫性；其次给出概率犹豫模糊元的信息不完全度公式来测量其信息的不完全性，再结合概率犹豫模糊元元素之间的差异给出概率犹豫模糊改进距离公式；最后基于离差最大化方法计算属性权重，再将改进距离公式与TODIM方法相结合，运用到多属性决策中，并通过算例分析以验证其有效性。

1 预备知识

一般将所有的概率犹豫模糊元h(Px)中的元素按隶属度从小到大排序，h(Px)的补集为hc(Px)={1-γλ(Pλ)|λ=1,2,…,l}。

定义4[16]设非空集合X为一个给定的论域，A={〈x,hA(Px)〉|x∈X}、B={〈x,hB(Px)〉|x∈X}、C={〈x,hC(Px)〉|x∈X}为集合X上的3个概率犹豫模糊集。则A与B之间的距离d(A,B)满足：①0≤d(A,B)≤1；②d(A,B)=d(B,A)；③d(A,B)=0，当且仅当A=B；④若d(A,B)≥d(A,C),d(A,C)≥d(B,C)，则d(A,B)≥d(B,C)。

2 改进距离公式

2.1 改进距离公式

为了充分考虑决策者之间意见犹豫不决的程度，笔者针对犹豫值的个数，给出了犹豫度；针对一个概率犹豫模糊元所包含隶属度的概率之和与1的差异程度，给出了信息不完全度；综合考虑犹豫度、信息不完全度及元素值之间的差异，给出了一种概率犹豫模糊集的改进距离公式。

采用距离测度时，一般要求两个概率犹豫模糊元中的元素个数相等进而进行比较。设概率犹豫模糊元h1(P)和h2(P)中的元素个数分别为l1和l2，当l1≠l2时，在元素较少的集合中添加元素，使其个数为l=max{l1,l2}。决策者可以根据自身对风险的态度选择所添加的元素。笔者采用添加概率犹豫模糊元中隶属度最大的值且添加的隶属度的概率为0，并应用该方法比较概率犹豫模糊元元素值之间的差异。由于添加的隶属度的概率为0，因此γP=0，不影响概率犹豫模糊元中的距离计算。

(1)

(2)

命题1改进距离公式(式(1))满足定义4中距离的4个性质。

故可得出d′(A,B)≥d′(B,C)成立。

同理可证，加权改进距离公式(式(2))也满足定义4中距离的4个性质。

2.2 确定属性权重

(3)

构造拉格朗日函数来求解上述模型：

(4)

对式(4)分别求关于wj、η的偏导，并令各偏导为0,可得到如下等式：

(5)

求解式(5)可得：

(6)

对wj进行单位化处理，则可得到属性权重：

(7)

3 基于改进距离的概率犹豫模糊TODIM决策方法

TODIM方法是基于前景理论提出的一种多属性决策方法，是通过建立排序值函数计算备选方案相对于其他方案的优势度来对方案进行排序并择优。这种方法可以根据决策者的风险偏好对计算过程中的参数取不同的值，从而做出符合决策者心理行为的结果，故其可以根据决策者的心理行为有效处理多属性决策问题。

(8)

(3)确定属性权重。利用定义2计算各个概率犹豫模糊元的得分函数，建立得分函数矩阵S=[sij]m×n，再利用式(7)计算属性权重w=(w1,w2,…,wn)T。

(9)

(6)计算各备选方案相对于其他所有方案的优先程度δ(Xi,Xg)：

(10)

再计算各备选方案相对于其他所有方案的总体优势度T(Xi)：

(11)

(7)采用式(12)对各方案的总体优势度进行标准化处理，并按照S(Xi)的大小对方案进行排序，S(Xi)越大，方案越优。

(12)

4 算例分析

4.1 算例简介

设有4种能源Xi(i=1,2,3,4)可供选择，10位决策者(包括3位核心管理人员、5位核心技术人员、2位外部专家)采用4个属性C1(工艺的先进性)、C2(对环境的影响程度)、C3(潜在的市场价值)、C4(人们的经济情况)对能源进行评估，以识别其相对优劣程度，并且这4个属性对应的权重为w=(0.25,0.20,0.40,0.15)。其中，属性C1、C3和C4为效益型属性，属性C2为成本型属性。由于信息的不确定性及决策者对能源属性的认知观不同，决策者以概率犹豫模糊值的形式给出各个能源在相应属性下的评估值。

(1)决策者给出决策信息，构造决策矩阵R，如表1所示。以方案X1的属性C1的评价值{0.3(0.1),0.8(0.8)}为例，该评价值表示在10位决策者中80%的决策者同意评价值为0.8,10%的决策者同意评价值为0.3，由于诸多因素的限制，其余评价值不清晰。

表1 决策矩阵R

(2)采用式(8)对决策矩阵进行标准化处理，得到标准化后的决策矩阵，如表2所示。

表2 标准化后的决策矩阵

(3)计算属性权重。计算各元素的得分函数，得到得分函数矩阵，如表3所示。再由式(7)计算得到各属性权重w=(0.246 3，0.261 2，0.272 4，0.220 1)。

表3 得分函数矩阵

(4)选取C3为参照属性，计算得到属性的相对权重w*=(0.904 2，0.958 9，1.000 0，0.808 0)。

(5)根据式(1)计算各属性下方案之间的距离，如表4所示。

表4 各属性下方案之间的距离

(6)计算各属性下方案Xi优于方案Xg的优势度，如表5所示。进而计算出各方案相对于其他所有方案的总体优势度：T(X1)=-5.571 2,T(X2)=-1.156 4，T(X3)=-7.812 6，T(X4)=-3.560 9。

表5 各属性下方案优于方案的优势度

(7)排序。经标准化处理后的总体优势度为：S(X1)=0.336 7，S(X1)=1.000 0，S(X1)=0.000 0，S(X1)=0.638 8，故最终方案排序结果为：X2>X4>X1>X3。

4.2 比较分析

为了说明笔者模型的有效性，采用文献[11]中的概率犹豫模糊海明距离公式+TODIM方法和文献[18]的方法对排序结果进行比较分析。文献[18]给出了3种考虑决策者风险偏好的概率犹豫模糊集结算子：代表决策者偏好风险的概率犹豫模糊最大有序加权平均算子，代表决策者风险中立的概率犹豫模糊有序加权平均算子，代表决策者风险规避的概率犹豫模糊最小有序加权平均算子。5种方法的结果如表6所示。

表6 5种方法的结果

由表6可知，运用海明距离公式+TODIM方法得到的结果与笔者模型得到的结果存在差距，原因在于运用海明距离进行距离测度时只考虑了概率犹豫模糊元中元素数值之间的差异，并没有考虑每一个隶属度中元素个数的差异及概率犹豫模糊元中每一个隶属度之和与1的差异，即没有考虑概率犹豫模糊元的犹豫性与信息不完全性，故其不具备综合考量性。而采用文献[18]中方法得到的结果与笔者模型得到的结果存在部分差异，但文献[18]中方法的计算步骤复杂且繁琐，而笔者模型计算过程简单、易于理解，且决策者可以根据自身的风险偏好选择不同的损失衰减系数进行决策分析，具有更大的灵活性。

5 结论

笔者在概率犹豫模糊集的环境下，充分考虑概率犹豫模糊元中元素值之间的差异、每一个隶属度中元素个数的差异及概率犹豫模糊元中每一个隶属度之和与1的差异，即概率犹豫模糊元的不确定性包括了元素值之间的差异、犹豫性和信息的不完全性。提出了用犹豫度公式测量概率犹豫模糊元的犹豫性，用信息不完全度公式来测量概率犹豫模糊元的信息不完全性，结合概率犹豫模糊元中元素值之间的差异给出了概率犹豫模糊集的改进距离公式，并将该改进距离公式与TODIM方法相结合，构建了决策模型。通过算例分析验证了该决策模型的有效性。

采用概率犹豫模糊数来表示决策信息，并将其与TODIM方法相结合，能够充分考虑决策者的心理行为，更好地反映出决策者的决策偏好。该方法是概率犹豫模糊集的有益扩展，可以用于应急决策、创新投资决策等实际问题中。在后续的研究中，可以将该模型拓展到概率区间值犹豫模糊集、概率语言集等决策环境下。