以数想形，以形助教

张伟琴

【摘 要】 本文主要分析教师如何引导学生如何想到利用图像来处理问题，将图形与文字语言进行对应，画出图像，观察图像，从图像中获取信息，根据图像得出答案，体会“以数想形，以形助教”的数形结合的思想方法在解决函数问题中的重要作用。

【关键词】 数形结合;函数教学

一、研究背景

从学情角度来看，由于一次函数题目的解答依赖于学生对相关知识内容的理解，题目考查角度灵活多变，使得机械记忆与浅层次的工具性运用在这里不能发挥作用，因此对于大部分学生来说具有一定的难度。

二、研究思路

通过一次函数的复习课流程：操作（情境）——发现（问题）——反思（问题解决）——归纳（概括，拓展，迁移）——应用（知识，方法，经验），阐述如何将数形結合的思想方法落实到课堂中，成为学生解决函数问题的基本思维路径。

三、数形结合的实例分析1

1.问题情境

例1：甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城。在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图1所示。

2.发现问题

师：你能提出哪些问题？

生1：甲、乙两车的速度分别是多少？

生2：甲、乙两车谁先到达终点？

生3：表示甲、乙的解析式分别是什么？自变量的取值范围？

生4：甲车出发几小时后被乙追上？

生5：t为何值时，甲、乙两车相距50千米？

生6：甲、乙两车相距小于50千米时，t的取值范围？

【设计意图：本题只给出情境，让学生经历观察、分析、比较等思维活动，从不同视角发现问题，提出问题，这类问题是现场生成的，灵动的，能融合多方面知识点，在思维碰撞中，学生潜能不断被激发，有利于理解函数图像本质，有利于培养学生问题意识和思维深刻性与灵活性】

3.问题解决

问题（1）：甲出发后几小时被乙追上？

生1：我们可以根据相遇时路程相等，得到方程100（t-1）=60t ，得t=2.5。

生2：利用追击问题“追击的时间=追击的路程÷速度差”，得t=1.5，1.5+1=2.5。

生3：我们可以求出甲、乙两车离开A城的距离y关于t的函数解析式，求出交点横坐标t=2.5。

生4：如图2所示，看成两个全等三角形，观察图像，相遇点为中点，直接得出t=2.5。

【设计意图：抓住关键点（交点）的实际意义则是带着数从形的角度直观寻找，通过一题多解，让学生进一步感受知识方法间的普遍联系，体会解决问题方法的多样性，生4运用全等三角形的知识来进行定量刻画，“以形助教”，优化学生的思维】

4.问题迁移

问题（2）：t为何值时，甲、乙两车相距50千米？

教师让学生先独立完成，学生会出现以下常见错误：

学生基本都是从“数”的角度来思考的，容易遗漏，因此教师引导学生从“形”的角度来考虑。

师：首先思考下列问题：观察y（t）图，设两车之间的距离为S（千米），两车之间的距离是如何变化的？有哪些关键点呢？

（板书）画距离S关于时间t的函数图像，要找到关键点：（1）甲、乙的起点;（2）相遇点;（3）甲、乙的终点。

师：现在请同学们描点，画出S（t）图（如图3）。

【设计意图：函数图像是数量关系的一种直观表达，通过图像去获取数量关系的能力，是一种典型的“几何直观”能力。让学生知道如何结合图像去“弄清运动过程”，就是教学生如何读图，思考问题。教师通过在“由y（t）图得到S（t）图”时放缓脚步，让学生结合图像“具体说一说甲、乙两车是如何运动的”。读图像的关键点，如“起点，交点，终点”，其实就是在形中找数，把研究精确化;函数图像上每一个点的绘制，不用点之间的变化关系乃至整个图像的生成无不体现由“数”到“形”的完美对应。通过画图，又再次强化学生对运动过程的理解，提高学生对图像信息的深加工能力。只有这样，才能整体把握函数性质，才能突破由形到数，由数到形的转换困难和障碍，以突破重点，分化难点】

5.应用

师：请同学们从“形”的角度来考虑问题（2）：何时，甲、乙两车相距50千米？

生1：画一条直线S=50，我们发现和S（t）图会有四个交点（如图4）。

五、教学反思

1.先从简单的问题情境入手，多次变化问题指向，进行多图呈现

让学生在相同或相近的情境下感受不同的坐标意义下对应图像的差别，这样的题组设计具有较好的对比分析效果，有效地帮助学生领悟“从图像获取信息”的关键：特殊点（图像间的交点，图像的极值点等）位置的理解，让学生经历从“读图”（画图）到“析图”，再到“用图”的学习经历。这样设计旨在增进学生的数形结合的能力，体现了探究的层次化。

2.数学体验是提升数学核心素养的一种学习方式

数学核心素养的形成离不开学生的亲身经历与体验，让学生置身情境中，发现数学问题，获得活动经验，通过内省反思，产生认知体验。在每一个小板块中，都安排了小结，帮助学生进行方法的提炼，将感性认识上升为理性认识，用以指导今后的解题活动，让学生遇到简单的问题，立足提炼方法，而对复杂的问题，优化问题解决策略。例如在例题1（2）问中，引导学生利用S（t）图，从“形”的角度寻找简便解法，使所要研究的问题化难为易，化繁为简，就像华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。 最后在建构知识结构框图的过程中，感悟学习函数的一般方法，为继续学习反比例函数、二次函数埋下知识和方法的种子，这就是迁移，就是章建跃博士所说：“代数就是用同样的方法解决类似的问题。”