探究式教学在数学分析复习课的应用

王成强

(成都师范学院 数学学院， 四川 成都 611130)

探究式教学，在文献中与探究性教学、研究式教学、研究性教学等术语涵义相近，指的是任课教师通过下达学生的课堂学习任务，鼓励学生通过生与生、生与师之间的思维碰撞探索出理解学习内容的路径，辅助监督学生研读文献并适时合理地进行思维干预，并引导学生自主完成学习任务而完成教师自身的教学任务的教学模式。 探究式教学能更充分体现教与学的过程中的学生的学习主体性，发挥自我主观能动性，在完成学习任务的过程中，能逐步养成主动探索问题、创新认识问题、发散性思考问题等良好习惯。

数学分析是一门引导学生主要掌握利用极限、微分、积分等概念工具分析函数特性技能的课程，它是本科数学专业的重要的核心主干课程之一。[1-3]数学分析课程涉及到的概念知识点繁多，知识架构“形散而神不散”，与诸如解析几何等其他数学分支又紧密关联。[2-3]数学分析课程中的问题形式多样，传统典型问题丰富，创新性问题层出不穷。[1-3]基于上述原因，学好数学分析课程要求学生具有很好的数学基础与很高的逻辑推理能力、抽象思维能力、科学计算能力等。据笔者近几年的教学实践经验，每学期期末设置复习课对提升数学分析课程的教学质量有巨大帮助。

已有不少教师同行探索了利用探究式教学(研究式教学)提升数学分析课程的教学质量。 例如，文献在借鉴G.Pólya的解题“四步法”的基础上，针对数学分析课程中的定理、习题等不同专题，提出了不同的研究式教学四步骤。[4]文献分享了探究式教学在讲授无穷积分的一个命题中的应用实践。[5]文献[6-7]主要分析了研究性教学在数学分析课程中推行研究性教学的必要性。文献[8]分析了研究性教学在数学分析课程教学中的应用价值并分享了作者所在的学校近几年所取得成效。文献[9]分享了作者对研究式教学在数学分析课程习题课中的应用的认识。本文旨在分享在复习课上借助于探究式教学方法讲授的一道书本例题的实践过程，基于此次教学实践活动后的反思总结，结合笔者近几年的教学经验，归纳总结出进一步优化借助于探究式教学讲授数学分析课程的步骤的策略。

问题(*)假设实数m,n,α,β满足条件：0

问题(*)节选自华东师范大学数学系编撰的《数学分析》(第四版)[1]248下册中第248页例2，它在重积分理论知识模块中有极充分代表性，在复习课中重新讲授该题，能帮助学生更好地把握住数学分析课程的学习重点。文献针对问题(*)给出的解答用到了换元积分法。书本[1]248中的解答思路常规但隐蔽，不太容易让初学者接受，因此，在复习课中重新讲授该题，既能帮助学生加深书本对问题(*)的解答的理解，又能加深对如何利用变量替换法求解重积分问题的认识。

1 探究式教学实践

学情简要描述如下。授课对象班级属于数学与应用数学专业，已经学习了曲线积分、二重积分的理论与计算、Green公式、曲面积分、三重积分的理论与计算、Gauss公式、Stokes公式等知识专题。授课对象班级勤奋刻苦，且拥有很高的学习积极性，但该班普遍喜好被动接受知识，缺乏自主探索的热情和习惯。

复习旧解法：提示学生关上书本[1]并在草稿纸上回顾问题(*)的解答过程。有同学毛遂自荐尝试在黑板上分享旧解法，但以失败告终。在学生回忆旧解法的同时，笔者在了解到大部分同学都有困难独立完成复习旧解法的任务的情形下，在黑板上写出了书本对问题(*)给出的解答。

于是由二重积分的变量替换积分法可知，有

通过探究1，学生们不仅理解了书本[1]248对问题(*)给出的解答，也进一步感知到：要从重积分中的被积函数和积分区域的特点中找寻引入新变量的思路，更积累了处理重积分问题很重要的解题经验。

经简短的师生互动，笔者了解到全体学生理解了此结果。笔者鼓励学生独立自主完成AD表达式中三个定积分的计算，还是因为时间所限，未等到学生完成该任务。笔者在黑板上写出下述步骤：

经笔者引导及学生们讨论，全体同学最终懂得了上述推导。经过“分配任务+尝试+师生互动+步骤示范”往复多次循环，师生最终得到了

探究9经笔者提醒，学生们将区域D的边界曲线Γ分割成Γ1+Γ2+Γ3+Γ4，其正方向是逆时针方向，并再次借助于Green公式，自主完成了下述计算步骤

受探究8-9的推导过程的启发，学生中有人借助于Green公式自主得到了下述计算结果

其中，θ是任何给定的常数。

2 教学反思

总体而言，经笔者引导同生与生、生与生之间的思维碰撞：全体学生加深了对书本针对问题(*)给出的解答的理解，感知到要从重积分中的被积函数和积分区域的特点中找寻引入新的积分变量的思路；全体学生加深了对“化二重积分为二次积分”的二重积分问题的处理方法的认识；全体学生加深了对“借助于Green公式化二重积分为(第二型)曲线积分”的二重积分问题的处理方法的认识；全体学生积累了若干处理二重积分问题的方法与经验，并获得了处理一般的重积分问题方法

的启示。这些表明，借助于探究式教学，笔者完成了既定的教学任务、达成了教学目的。

此次教学实践活动有不少需要改进的地方：在课堂教学中，笔者的引导语言不够精准，导致好几次都未能“唤起”笔者所期盼的学生的“响应”；每个课堂环节的时间配备不够精细、不够充分，导致有些环节需要挪用或者挤占其他环节的时间，导致有些环节结束得太仓促；缺少课堂总结环节，导致很多学生要课后花非常多的时间体系化课堂知识，以致课堂教学质量不佳、效率不高；课堂教学实践经验不足，导致课前准备不充分、课堂教学设计完善。

与教师直接讲授的课堂模式相比，探究式教学的每个环节都耗时更长。结合教学实践经验与对教学反思的结果，笔者认为“精选出恰当的知识专题”“以探究式教学为主，以多种教学模式为辅”“课前精心设计、课中用语精炼达意并精准控制时间、课尾简明扼要地归纳总结”等策略能有效优化探究式教学过程、提高探究式教学效率。

3 结语

本文详细阐述了一堂复习课中关于问题(*)的探究式教学实践；通过教学反思，认识到了该次教学实践中的不足，例如，教学效率不高，教学质量欠佳；结合教学实践与教学反思，提出若干策略以优化探究式教学的过程、提高探究式教学的效率、改善探究式教学的质量。

二重积分理论对学习一般的多重积分理论有“奠基”性作用，是单重积分理论的延续，与曲线积分理论(Green公式)、曲面积分理论等都有紧密联系，因此，二重积分理论是学习诸如数学分析、高等数学等大学数学类课程的重点知识模块。精选恰当的问题(例题或课后习题)并对其实施探究式教学，能改善二重积分理论的教学效果。