一种实现截止频率变换的数字滤波器*

陈绍荣，张振宇，朱行涛，徐 舜

（陆军工程大学通信士官学校，重庆 400035）

0 引言

从广义上讲，数字信号处理的过程，就是数字信号滤波的过程，因此，数字滤波器的设计就成为关键问题。数字滤波器分为两类[1-2]，一是无限冲激响应（IIR）数字滤波器，二是有限冲激响应(FIR)数字滤波器。目前IIR 数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法，即首先按要求设计相应的模拟滤波器，再利用时域模仿的方法或双线性变换来设计数字滤波器，其中，时域模仿的方法有两种，一是单位冲激响应不变法，二是单位阶跃响应不变法。模拟滤波器的设计已有一套相当成熟的方法，它不仅有一套完整的设计公式，而且还有较完整的图表供查询。充分利用这些已有的资源，将会给IIR 数字滤波器设计带来很大的方便；FIR 数字滤波器设计方法有窗函数法，频率抽样设计法和切比雪夫逼近法。本文基于著作[3-4]，揭示了插值、抽取及重排序列的z变换与频谱之间相互计算的方法；提出了一种数字滤波器前置插值器和后置重排器的级联结构，从时域和频域分析了该结构实现数字滤波器截止频率变换的原理，并给出了利用该结构来实现数字带通滤波器的截止频率变换，通过数字信号的滤波来选择所需数字信号的实例。

1 序列的插值、抽取及重排

设周期为N的周期冲激序列为：

式中，N为正整数。

1.1 插值序列

利用周期冲激序列δN(n)，可以定义插值序列。一个序列f(n)的插值序列y(n)定义为：

式（2）表明，插值序列y(n)是在序列f(n)中相邻两位之间插入N-1 个零值位的结果。

1.2 抽取序列

利用周期冲激序列δN(n)，可以定义抽取序列。一个序列f(n)的抽取序列y(n)定义为：

式（3）表明，抽取序列y(n)是抽取出序列f(n)中n=rN(r=0,±1,±2,…)位的结果。

1.3 重排序列

若N为正整数，则一个序列f(n)的重排序列y(n)定义为：

式（4）表明，重排序列y(n)是抽取出序列f(r)中的r=Nn位，再按序号n依次重新排列的结果。

2 插值、抽取及重排序列的z 变换

下面介绍插值序列、抽取序列及重排序列的z变换。

2.1 插值序列的z 变换

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，则有：

证明：由双边ZT 的定义，可得：

由式（6）可知，式（5）成立。

2.2 抽取序列的z 变换

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，则有：

证明：由于：

由双边ZT 的定义，并注意到式（8），则有：

由式（9）可知，式（7）成立。

2.3 重排序列的z 变换

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，则有：

证明：由双边ZT 的定义，并注意到式（8），则有：

由式（11）可知，式（10）成立。

3 插值、抽取及重排序列的频谱

序列f(n)的频谱，即DTFT，就是单位圆周上的z变换，若序列f(n)的频谱不存在，可以证明其插值序列、抽取序列及重排序列的频谱也不存在。因此，研究f(n)的插值序列、抽取序列及重排序列的频谱，意味着序列f(n)自身的频谱F(ejω)存在，即序列f(n)的z变换F(z)的收敛域包含z平面上的单位圆周，并且，序列f(n)的频谱F(ejω)可利用其z变换F(z)进行计算，即：

3.1 插值序列的频谱

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，则有：

证明：

因为序列f(n)的z变换F(z)的收敛域包含z平面上的单位圆周，即满足Ra＜1＜Rb，由式（5）可知，插值序列的z变换F(zN)的收敛域为，并且满足，即其z变换F(zN)的收敛域也包含z平面上的单位圆周，于是，有：

由式（14）可知，式（13）成立。

3.2 抽取序列的频谱

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，则有：

证明：

因为序列f(n)的z变换F(z)的收敛域包含z 平面上的单位圆周，即满足Ra＜1＜Rb，由式（7）可知，抽取序列f(n)δN(n)的z变换的收敛域为Ra＜|z|＜Rb，并且满足Ra＜1＜Rb，即的收敛域也包含z平面上的单位圆周，于是，有：

由式（16）可知，式（15）成立。

3.3 重排序列的频谱

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，则有：

证明：

因为序列f(n)的z变换F(z)的收敛域包含z平面上的单位圆周，即满足Ra＜1＜Rb，由式（10）可知，重排序列f(Nn)的z变换的收敛域为，并且满足，即的收敛域也包含z平面上的单位圆，于是，有：

由式（18）可知，式（17）成立。

若插值序列的频谱在z平面上的单位圆周上解析，则其z变换可利用其频谱进行计算，即：

若抽取序列的频谱在z平面上的单位圆周上解析，则其z变换可利用其频谱进行计算，即：

若重排序列的频谱在z平面上的单位圆周上解析，则其z变换可利用其频谱进行计算，即：

例1：设理想数字低通滤波器的单位冲激响应为h1(n)，其频率特性为：

式中，G2ωc(ω)=ε(ω+ωc)-ε(ω-ωc)，ε(ω)为单位阶跃函数，ωc为截止角频率，并且0＜ωc＜π。现对h1(n)做插值，得到，试证明单位冲激响应为h(n)的数字滤波器是数字带阻滤波器。

证明：考虑到：

对式（23）两边取DTFT，并注意到式（13），则有：

考虑到式（22），并注意到线性卷积的标尺性质及单位冲激函数的标尺性质，则式（24）可写成

式（25）表明，频率特性H(ejω)是宽度为ωc的单位对称门函数Gωc(ω)按周期π延拓而得的结果。因此，在区间[0,π]上，频率特性H(ejω)的零值区间为[ωc/2,π-ωc/2]。由于单位冲激响应为h(n)的数字滤波器的频率特性H(ejω)在区间[0,π]上的零值区间为[ωc/2,π-ωc/2]，因此，该数字滤波器是数字带阻滤波器。

4 实现截止频率变换的数字滤波器

插值器和重排器在数字信号处理领域得到了广泛的应用，一种数字滤波器前置插值器和后置重排器的级联结构，如图1 所示。其中，插值器的输出与输入的关系为，数字滤波器的单位冲激响应为h1(n)，重排器的输出与输入的关系为y(n)=f2(Nn)。

图1 实现截止频率变换的数字滤波器

4.1 时域分析

考虑到y(n)=f2(Nn)，则有：

由式（27）可知，图1 所示的数字滤波器的单位冲激响应为：

式（28）表明，h(n)是抽取出序列h1(r)中的r=Nn位，再按序号n依次重新排列的结果。也就是说，在时域上，通过对单位冲激响应为h1(n)的数字滤波器进行重排，实现了截止频率的变换，得到了单位冲激响应为h(n)的数字滤波器。

4.2 频域分析

考虑到：

对式（29）两边取DTFT，并注意到式（13），可得：

考虑到：

对式（31）两边取DTFT，并注意到式（30）可得：

考虑到：

对式（33）两边取DTFT，并注意到式（17）及式（32），可得：

考虑到系统频率特性的定义，由式（34）可得：

对式（35）两边取IDTFT，并注意到式（17），则可以得到与式（28）相同的结果，即：

考虑到式（35），则有：

式（37）表明，H(ejω)仍然是周期为2π的周期函数。H(ejω) 在一周期2π内的频谱是由N个叠加再除以N构成的。也就是说，在频域上，通过对频率特性为H1(ejω)数字滤波器，首先作N的扩展，然后将ω轴上每隔2π的N个频移叠加，这两种运算的结果，实现了截止频率的变换，最后再除以N，就得到了频率特性为H(ejω)的数字滤波器。

图2 实现截止频率变换的数字滤波器

（1）试求子数字带通滤波器h1(n)的频率特性H1(ejω)。

（2）试求整个系统的频率特性H(ejω)，并与频率特性H1(ejω)进行比较。

（3）若激励f(n)=6(3-|n|)R7(n+3)*δ12(n)，试求数字带通滤波器的零状态响应yf(n)。

解：（1）假设

式中，0＜ωc＜π。

由式（38）可得：

考虑到式（38）及式（39），则有：

式中：

由式（40）可得：

考虑到：

对式（43）两边取DTFT，并注意到DTFT的频移性质及式（42），则有：

（2）由题意可知：

对式（45）两边取DTFT，并注意到式（40），可得：

显然，ωL=2ωL1，ω0=2ω01，ωH=2ωH1。

（3）考虑到：

对式（47）两边取DTFT，则有：

考虑到式（46）及式（48），则图2 所示的数字带通滤波器的零状态响应的频谱为：

对式（49）两边取IDTFT，可得图2 所示的数字带通滤波器的零状态响应，即：

分析表明，周期为N=12 的三角波序列通过该数字带通滤波器时，输出为其二次谐波分量。

5 结语

本文揭示了插值、抽取及重排序列的z 变换与其频谱之间相互计算的方法。提出了一种数字滤波器前置插值器和后置重排器的级联结构，从时域和频域分析了该结构实现数字滤波器截止频率变换的原理，并给出了利用该结构来实现数字带通滤波器的截止频率变换，通过数字信号的滤波来选择所需数字信号的实例。