斜逆Laurent级数环的弱Armendariz性质

史叶萍, 王 尧, 任艳丽

(1. 南京信息工程大学 数学与统计学院, 南京 210044； 2. 南京晓庄学院 信息工程学院, 南京 211171)

0 引 言

本文所讨论的环R均指有单位元1的结合环,σ是环R上的一个自同构,δ是R的一个σ-导子, 即δ是加法群(R,+)上的一个自同态映射, 满足

δ(a+b)=δ(a)+δ(b),δ(ab)=δ(a)b+σ(a)δ(b),

斜逆Laurent级数环在代数、 几何、 量子群和量子代数等领域应用广泛, 近年来对其研究备受关注. 例如: 对于σ=1或δ=0这些特殊情形的斜逆Laurent级数已有许多研究结果[1-3]; 对于一般斜逆Laurent级数环, 文献[4-7]分别讨论了它们的几个典范根、 Armendariz性质(在σδ=δσ条件下)、 素环性质、 Baer性质和Zip性质等.

受上述研究启发, 本文引进(σ,δ)-SILS弱Armendariz环的概念, 并研究一般斜逆Laurent级数环的弱Armendariz性质. 用,和+分别表示整数集、 自然数集和正整数集.

1 (σ,δ)-SILS弱Armendariz的刻画

下面把多项式环上的弱Armendariz性质推广到一般斜逆Laurent级数环上.

2) 设R是一个环,σ是R上的自同构,δ是环R的一个σ-导子, 对任意的f(x)=a-1x-1+a0,g(x)=b-1x-1+b0∈R((x-1;σ,δ)), 其中ai,bj∈R, 如果f(x)g(x)=0, 有aixibjxj∈nil(R((x-1;σ,δ))), ∀i,j∈{0,-1}, 则称环R是一个线性(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

显然, (σ,δ)-SILS(弱)Armendariz环一定是线性(σ,δ)-SILS(弱)Armendariz环； (σ,δ)-SILS Armendariz环一定是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环, 且当R((x-1;σ,δ))是约化环(没有非零的幂零元)时, 二者相同.

下面举例说明当R为弱Armendariz环时,R((x-1;σ,δ)) 不一定是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

例1设K是一个可数域, 则存在K上的一个诣零代数S满足S[x]是Jacobson根环, 且nil*(S[x])=0. 则K+S是弱Armendariz环， 且有以下两种情形:

1) (K+S)[x]不是弱Armendariz环, 则令R=K+S, 有R为弱Armendariz环, 但R((x-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环；

2) (K+S)[x]是弱Armendariz环, 则令R=(K+S)[x], 有R为弱Armendariz环, 但R((y-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

证明： 根据文献[9]中定理2.6, 可知两种情形下R[x],R[y]均不是弱Armendariz环. 取σ为单位映射,δ=0, 则R((x-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环. 同理,R((y-1;σ,δ)) 不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

如果环R的理想I满足σ(I)⊆I, 则称I是σ-理想. 进一步, 若σ(I)=I, 则称I是R的σ-不变理想. 若δ满足δ(I)⊆I, 则称I是δ-理想. 如果环R的理想I既是σ-理想(σ-不变理想)又是δ-理想, 则称其为(σ,δ)-理想((σ,δ)-不变理想).

若一个环R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环, 则其(σ,δ)-不变理想和(σ,δ)-不变子环显然也是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环. 下面考虑环同构情形.

命题1设R是一个环,σ是R的自同构,δ是环R的一个σ-导子. 设S为一个环且存在环同构γ:R→S, 则R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环当且仅当S是(γσγ-1,γδγ-1)-SILS弱Armendariz环.

证明： 令σ′=γσγ-1,δ′=γδγ-1. 易得σ′是环S上的自同构, 先证δ′是S的一个σ′导子. 由

知δ′是S的一个σ′导子.

再证当R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环时,S是(γσγ-1,γδγ-1)-SILS弱Armendariz环. 令a′=γ(a),b′=γ(b), ∀a,b∈R, 则对任意的k∈,t∈,

γ(aσkδt(b))=a′γ(σkδt(b))=a′γ(σkγ-1γδtγ-1γ(b))=a′(γσγ-1)k(γδγ-1)t(b′)=a′σ′kδ′t(b′).

命题2若R是一个(σ,δ)-SILS弱Armendariz环, 则对于R中任意中心幂等元e, 有δ(e)∈nil(R).

证明： 设R是一个(σ,δ)-SILS弱Armendariz环, 且e2=e∈R, 则e(e-1)=0. 由σ(0)=δ(0)=0, 可以构造

f(x)=σ(e)x+δ(e),g(x)=(e-1)x+(e-1)∈R((x-1;σ,δ)).

于是有

因为R是一个(σ,δ)-SILS弱Armendariz环, 有δ(e)(e-1)∈nil(R((x-1;σ,δ))), 故

δ(e)(e-1)∈nil(R)=nil(R((x-1;σ,δ)))∩R.

显然,δ(e)(1-e)∈nil(R). 同理, 构造

h(x)=(σ(e)-1)x+δ(e),k(x)=ex+e∈R((x-1;σ,δ)),

有h(x)g(x)=0. 从而δ(e)e∈nil(R).

下证当δ(e)(1-e),δ(e)e∈nil(R) 时,δ(e)∈nil(R). 由于δ(e)(1-e)δ(e)e=δ(e)eδ(e)(1-e)=0, 则δ(e)(1-e),δ(e)e是R中交换的幂零元. 故δ(e)作为两个交换幂零元之和, 有δ(e)∈nil(R).

设R是一个环, 如果对任意的a,b∈R, 只要abc=0, 就有acb=0, 则称R是对称环; 如果对任意的a,b∈R, 只要ab=0, 就有ba=0, 则称环R是可逆环; 如果对任意的a,b∈R, 只要ab=0, 就有aRb=0, 则称环R是半交换环; 如果环R的幂等元都是中心幂等元, 则称环R是Abel环. 研究表明, 约化环⟹对称环⟹可逆环⟹半交换环⟹Abel环.

用N0(R)表示R的Wedderburn根(R的所有幂零理想之和), 用P(R)或Nil*(R)表示环R的素根(R的所有素理想之交), 用L(R)表示环R的Levitzki根(R的所有局部幂零理想之和), 用Nil*(R)表示R的上诣零根(R的所有诣零理想之和). 它们之间的包含关系为：P(R)⊆L(R)⊆Nil*(R). 当nil(R)=Nil*(R)时, 称R是2-素环. 如果环R的任意有限子集生成的子环都是2-素环, 则称R为局部2-素环[10]. 如果nil(R)=L(R), 则称环R为弱2-素环. 如果nil(R)=Nil*(R), 则称环R是NI环[11]. 这些环的关系为： 2-素环⟹局部2-素环⟹弱2-素环⟹NI环.

推论1命题2中的环R如果还满足以下任一条件：

1) 环R是交换环；

2) 环R是Abel环(约化环, 对称环, 可逆环, 半交换环)；

3) 环R是NI环(2-素环, 局部2-素环, 弱2-素环).

则对R中任意的幂等元e, 有δ(e)∈nil(R)成立.

设σ是环R的一个自同态, 如果对任意的a,b∈R,ab∈nil(R)⟺aσ(b)∈nil(R), 则称σ是弱-相容的自同态[12]. 如果环R存在一个弱-相容的自同态σ, 则称环R是弱σ-相容的. 设δ是一个σ-导子, 如果对任意的a,b∈R,ab∈nil(R)⟹aδ(b)∈nil(R), 则称环R是弱δ-相容的. 如果一个环R既是弱σ-相容的又是弱δ-相容的, 则称R为弱(σ,δ)-相容环.

引理1[12]设R是弱(σ,δ)-相容的环, 则有:

1)ab∈nil(R)⟹σm(a)σn(b)∈nil(R), ∀m,n∈+；

2)σm(a)b∈nil(R),m∈+⟹ab∈nil(R)；

3)aσn(b)∈nil(R),n∈+⟹ab∈nil(R)；

4)ab∈nil(R)⟹σm(a)δn(b),δs(a)σt(b)∈nil(R),m,n,s,t∈+.

若σ是R的自同构, 则引理1中的结论可以从正整数集+推广到整数集上.

定理1设R为弱(σ,δ)-相容的环, 其中σ是R的自同构, 则有:

1) 对任意的m,n∈,ab∈nil(R)⟺σm(a)σn(b)∈nil(R)；

2) 对m,t∈,n,s∈+,ab∈nil(R)⟹σm(a)δn(b),δs(a)σt(b)∈nil(R).

证明： 只需证明对任意的m,n∈+, -m,-n仍能使引理1中的结论成立即可.

1) 因为ab∈nil(R), 根据R是弱σ-相容的, 则有aσ(b)∈nil(R). 又由σ是同构, 则σ-1(aσ(b))∈nil(R), 即σ-1(a)b∈nil(R). 不断重复该过程, 则有σ-m(a)b∈nil(R). 因此,bσ-m(a)∈nil(R), 则σ-n(b)σ-m(a)∈nil(R), 所以σ-m(a)σ-n(b)∈nil(R). 反之, 如果σ-m(a)σ-n(b)∈nil(R), 则根据引理1中1), 有ab∈nil(R).

2) 因为ab∈nil(R), 由引理1中4)有aδn(b)∈nil(R), 再由1) 可得σ-m(a)δn(b)∈nil(R). 证毕.

证明： 根据引理2, 类似文献[7]中命题6.3可证.

推论2设R为NI环且是弱(σ,δ)-相容的环, 则下列两个命题等价：

证明： 1)⟹2)显然.

其中δ(bn+1)=0. 故由式2)可得

a1σ(bn)∈nil(R),a1(σ(bj-1)+δ(bj))∈nil(R),j≤n.

命题4设R是弱(σ,δ)-相容的环且nil(R) 是幂零理想, 则nil(R)((x-1;σ,δ))=nil(R((x-1;σ,δ))).

证明： 根据引理2和命题3, 类似文献[7]中命题6.4可证.

定理2设R是弱(σ,δ)-相容环且nil(R)是幂零理想, 则R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

又因为R是弱(σ,δ)-相容的, 且nil(R)是幂零理想, 则由定理2, 只需证明aixibjxj∈nil(R)((x-1;σ,δ)). 由推论3, 即有Caixibjxj⊆nil(R).

定理3设R是弱(σ,δ)-相容环且nil(R) 是幂零理想, 则下列命题等价：

1)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环；

证明： 由推论2可得2)⟺4).

2)⟹1). 对任意的i≤m,j≤n, 因为f(x)g(x)=0可以推出aibj∈nil(R). 由推论3可得Caixibjxj⊆nil(R), 则aixibjxj∈nil(R)((x-1;σ,δ))=nil(R((x-1;σ,δ))).

1)⟹3)易得.

3)⟹1). 对任意的j≤n, 由f(x)g(x)=0可得a0bjxj∈nil(R((x-1;σ,δ))). 由命题4可知a0bj∈nil(R), 即有3)⟹4). 于是有3)⟹4)⟹2)⟹1).

推论4设R为NI环且是弱(σ,δ)-相容的环, 对左、 右零化子有升链条件或R是左(右)Goldie环, 或对理想有升链条件, 或R有右Krull维数时, 则R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环.

证明： 由文献[12]中推论6.5知, 上述条件均可推出nil(R)是幂零理想, 结论成立.

2 (σ,δ)-SILS弱Armendariz环的扩张

引理3设R是弱(σ,δ)-相容的NI环,fi∈R((x-1;σ,δ)), 1≤i≤n. 若f1f2…fn=0, 则有a1a2…an∈nil(R),ai∈Cfi.

证明： 当n=2时显然成立. 下面考虑n≥3的情形. 若f1f2…fn=0, 则a1h∈nil(R), 其中h∈Cf2…fn. 即有a1f2…fn∈nil(R)((x-1;σ,δ)), 再根据命题3, 有a1a2Cf3…fn∈nil(R), 继续该过程, 则有a1a2a3Cf4…fn∈nil(R), 从而有a1a2…an∈nil(R).

推论5设R是弱(σ,δ)-相容的且nil(R)是幂零理想, 则R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环. 此外, 若f1f2…fn=0, 则有ai1xi1ai2xi2…ainxin∈nil(R((x-1;σ,δ))),aij∈Cfi.

设R是一个环, 令Tn(R)表示R上的n阶上三角矩阵环；

表示主对角线上元素相等的上三角矩阵环, 其中n≥2；

表示每条对角线上元素相等的上三角矩阵环, 且n≥2； 用T(R,R)表示环R通过R的平凡扩张, 其中元素为(a,b),a,b∈R, 加法定义为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), 乘法定义为(a,b)*(c,d)=(ac,ad+bc). 显然,T(R,R)与S2(R)同构, 并且上述矩阵环有以下包含关系：T(R,n)⊆Sn(R)⊆Tn(R).

引理4[13]设R是一个环, 则下列命题等价：

1)R是NI环；

2)S是NI环(其中S为Tn(R),Sn(R),T(R,n)和T(R,R) 中任意一个).

引理5设R是一个环, 则下列命题等价：

1) nil(R)是幂零理想；

2) nil(S)是幂零理想(其中S为Tn(R),Sn(R),T(R,n)和T(R,R)中任意一个).

证明： 只需证明S为Tn(R)时成立即可. 由引理4知, nil(S)是理想当且仅当nil(R)是理想. 设N=nil(S), 已知nil(S)={(aij):aii∈nil(R)}, 即

易证,S≅(R+N), nil(S)=nil(R)+N. 于是, nil(S)是幂零理想当且仅当nil(R)是幂零理想.

定理4设R是弱(σ,δ)-相容的且nil(R)是幂零理想, 则下列命题成立：

1)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz环;

证明： 1)显然.