球外部区域上含梯度项椭圆边值问题的径向解

伏彤彤, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

考虑如下非线性项中含梯度项的椭圆边值问题:

(1)

径向解的存在性与唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|>R0},N≥3,R0>0;n为∂Ω上的单位外法向量;α,β是常数;J=[R0,∞);+=[0,+∞);K:J→+为系数函数;f:J××+→为非线性函数. 本文假设:

(H1)α,β≥0, 且α+β>0;

(H2)K∈C(J,+), 且当r→+∞时,K(r)=O(1/r2(N-1)), 即∃K0, 使得

(H3)f∈C(J××+,), 且对∀M>0,f(r,u,η)在J×[-M,M]×[0,M]上一致连续; 对∀(u,η)∈×+,f(·,u,η)在J上有界.

目前, 对非线性项f不含梯度项的椭圆边值问题正径向解存在性的研究已有许多结果: 文献[1-5]讨论了Dirichlet边界条件的特殊情形; 文献[6]在允许非线性项超线性或次线性增长的条件下, 用锥上的不动点指数理论获得了方程

(2)

正径向解的存在性结果, 其中f:+→+为连续函数,f(0)=0; 文献[7-9]讨论了含线性梯度项的椭圆型方程

-Δu=f(x,u)+g(|x|)x·u,x∈Ω

(3)

正径向解的存在性; 对于含非线性梯度项的椭圆边值问题, 文献[10]在允许非线性项f(r,u,η)非负且关于u,η超线性增长或次线性增长的情形下, 运用锥上的不动点指数理论获得了方程(1)正径向解的存在性结果, 其中f: [R0,∞)××+→+为连续函数.

本文在不假设非线性项f非负的一般情形下, 讨论方程(1)径向解的存在性. 在允许非线性项f(r,u,η)关于u,η超线性增长的情形下, 用Leray-Schauder不动点定理, 给出方程(1)径向解的存在性结果, 在此基础上加强条件, 进一步给出该问题径向解的唯一性结果. 假设非线性项f(r,u,η)关于η满足Nagumo型增长条件:

(H4) 对∀M>0, 存在单调递增的连续函数GM:+→(0,+∞), 满足

(4)

使得

|f(r,u,η)|≤GM(η), (r,u,η)∈J×[-M,M]×+.

(5)

1 预备知识

对椭圆边值问题(1)的径向对称解u=u(|x|), 令r=|x|, 则其可转化为区间J上的常微分边值问题(BVP):

(6)

(7)

则方程(6)转化为(0,1]上的奇异常微分边值问题(BVP):

(8)

其中:

(9)

(10)

(11)

(12)

设h∈CB(0,1]. 为了讨论BVP(8), 先考虑BVP(8)相应的奇异线性边值问题(LBVP):

(13)

引理1对∀h∈CB(0,1], 线性边值问题(13)有唯一解v∶=Sh∈C1(I)∩C2(0,1], 且解算子S:CB(0,1]→C1(I)为线性全连续算子.

引理2对∀h∈CB(0,1], 线性边值问题(13)的解v=Sh满足下列条件:

2)v′(1)v(1)≤0.

证明： 1) 对∀h∈CB(0,1],v=Sh为LBVP(13)的解, 由引理1,v∈C1(I)∩C2(0,1]. 由Hölder不等式有

即结论1)成立.

2) 由边界条件α1v(1)+β1v′(1)=0知,

(14)

将式(14)中两式相加, 有

(α1+β1)v′(1)v(1)=-(α1v2(1)+β1v′2(1)).

(15)

因为α1≥0,β1≥0,α1+β1>0, 故由式(15)知,v′(1)v(1)≤0. 即结论2)成立.

证明： 对M>0, 由条件(H4)知, 存在单调递增的连续函数GM:+→(0,+∞)满足式(4), 使得f满足式(5). 由式(4)知, 存在M0>0, 使得

(16)

不妨设v′(t)不恒为0, 则由连续函数的最值定理, ∃t1,t2∈I, 使得

由边界条件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, 易证v′(t1)≤0,v′(t2)≥0. 因此

t3=sup{t′∈[t1,t2)|v′(t′)=0},

由上确界的定义及连续函数v′(t)的介值性,t3∈[t1,t2), 且

v′(t3)=0;v′(t)>0,t∈(t3,t2].

由方程(8)及式(5), 当t∈[t3,t2]时, 有

因此, 有

(18)

将式(18)两边在[t3,t2]上积分, 再对左端做变量替换ρ=g(1)v′(t), 有

(19)

由此及式(16)知,g(1)v′(t2)

证毕.

2 主要结果

假设：

f(r,u,η)u≤cu2+dη2+C0, (r,u,η)∈J××+.

定理1假设条件(H1)～(H3)成立. 若f满足(H4),(H5), 则椭圆方程(1)有径向解.

证明： 先证明BVP(8)有解. 对∀v∈C1(I)∩C2(0,1], 令

F(v)(t)∶=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),t∈I,

则由假设条件(H3),F:C1(I)→CB(0,1]连续, 且把有界集映为有界集. 定义映射A=S∘F, 则由引理1,S:CB(0,1]→C1(I)为线性全连续算子, 因此算子A:C1(I)→C1(I)为线性全连续算子. 再由S的定义, BVP(8)的解等价于算子A的不动点. 考虑同伦簇方程

v=λAv, 0<λ<1.

(20)

下面证明方程簇(20)的解集在C1(I)中有界. 设v∈C1(I)∩C2(0,1]为方程簇(20)中某λ∈(0,1)对应的方程的解, 则v=S(λF(v)). 令h=λF(v), 则由S的定义,v=Sh为LBVP(13)的解. 因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]满足方程

(21)

将式(21)两边同乘以v(t), 并在I上积分, 由条件(H5)、 式(12)及引理2中1), 有

对式(22)左边分部积分, 并由引理2中2), 有

于是由式(22), 有

从而

因此, 对∀t∈I, 有

故有估计:

(23)

即方程簇的解集在C1(I)中有界. 由Leray-Schauder不动点定理[14]知,A在C1(I)中有不动点, 该不动点为BVP(8)的解. 因此椭圆边值问题(1)有径向解. 证毕.

在定理1中, 条件(H5)允许f(r,u,η)关于u,η超线性增长, Nagumo型增长条件(H4)限制f(r,u,η)关于η至多二次增长.

(f(r,u2,η2)-f(r,u1,η1))(u2-u1)≤c(u2-u1)2+d(η2-η1)2.

定理2假设条件(H1)～(H3)成立. 若f满足(H4),(H6), 则椭圆方程(1)有唯一径向解.

证明： 对∀r∈J, 令u1=η1=0,u2=u,η2=η,C=max{|f(r,0,0)|}+1, 易证(H6) ⟹ (H5). 因此, 由定理1知, BVP(1)至少存在一个径向解, 从而BVP(8)有解.

设v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]是BVP(8)的两个解, 令v=v2-v1,h=F(v2)-F(v1), 则

v=v2-v1=Av2-Av1=S(F(v2)-F(v1))=Sh.

因此v∈C1(I)∩C2(0,1]是LBVP(13)的解, 且满足方程

-v″(t)=a(t)(F(v2)-F(v1)),t∈(0,1],

(24)

将式(24)两边同乘以v(t)=v2(t)-v1(t), 由条件(H6), 有

将式(25)两边同时在I上积分, 由式(12)及引理2中1), 有

由引理2中2)知,v′(1)v(1)≤0, 因此由式(26), 有

例1设N≥3, 考虑球外部区域Ω={x∈N: |x|>1}上含梯度项的椭圆边值问题:

(27)

对应于BVP(1),R0=1,α=β=1, 相应的系数函数

(28)

易见f(r,u,η)关于η二次增长, 满足条件(H4). 下面验证f(r,u,η)满足条件(H5).

对∀(r,u,η)∈[1,∞)××+, 由式(28), 有

即f(r,u,η)满足条件(H5). 因此, 由定理1知, 方程(27)有径向解.