保持一类正规特征值的可加映射

赵 旭, 史维娟, 吉国兴

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710119)

保持问题是指刻画算子代数上能保持某一性质、 集合或关系的映射的问题[1]. 近年来, 对线性保持问题或可加保持问题的研究已引起人们广泛关注[2-5]. 谱在算子理论中具有重要作用, 谱和谱的子集常用于研究Hilbert空间或Banach空间上算子的结构, 文献[6]对保持谱或谱子集的线性映射或可加映射给出了具体刻画. 在无限维Banach空间中, 算子的正规特征值是一个重要概念, 文献[7]对双向保持正规特征值的可加映射做了详细刻画, 指出对于任意给定的正整数m, 若可加满射φ双边保持m正规特征值及m+1正规特征值, 则φ为自同构或反自同构. 本文研究使算子特征空间维数有限的正规特征值之集, 并刻画B(X)上双边保持该集合的可加满射.

1 预备知识

设X是复无限维Banach空间,X*是X的对偶空间. 对于X的闭子空间M, 用dimM和codimM分别表示M的维数和余维数, isoM是M中的所有孤立点集. 设非零向量x∈X和非零泛函f∈X*,x⊗f表示一秩算子, 且对任意的向量z∈X, (x⊗f)z=f(z)x.B(X)表示X上所有有界线性算子构成的代数. 对算子T∈B(X), 用T*,ker(T),ran(T)分别表示T的伴随算子、 零空间和值域.T的谱和点谱定义如下：

若T是闭值域算子, dim ker(T)<∞且codim ran(T)<∞, 则称T是Fredholm算子. Fredholm算子T的指标定义为ind(T)=dim ker(T)-codim ran(T). 注意到, Fredholm算子的有限秩扰动也是Fredholm算子且指标不变.B(X)中的非零算子T的升标a(T)和降标d(T)定义如下：

若该下确界不存在, 则将a(T)和d(T)定义为+∞. 若Fredholm算子T的升标和降标有限, 则称T为Browder算子. 算子T是Browder算子当且仅当T是指标为零的Fredholm算子, 且a(T)<∞.

其中Γ=∂Ω是在复变理论下Ω的正向边界. 此时定义H(σ；T)=ran(E(σ；T)). 若λ∈isoσ(T), 则{λ}是σ(T)的闭开子集, 将H({λ}；T)简写为H(λ；T). 若dimH(λ；T)<∞, 则λ称为T的正规特征值.

将T的正规特征值之集记作σ0(T), 显然σ0(T)⊂σp(T). 对任意给定的正整数n, 用Nn(T)表示T的满足dim ker(T-λI)≤n的正规特征值之子集. 由文献[8]中推论1.14可得：

2 主要结果

命题1设T∈B(X), 0∈Nn(T)且F是一秩算子. 若0∈Nn(T+F)且0∉Nn(T-F), 则0∈Nn(T+2F)或0∈Nn(T-2F).

证明: 令F=z⊗f, 其中z∈X且f∈X*. 由于0∈Nn(T), 由Nn(T)的定义可知T是指标为零的Fredholm算子, 因此T±F和T±2F是指标为零的Fredholm算子. 首先断言T-F,T+2F和T-2F均不可逆. 事实上, 由于

(ker(T)∩ker(f))⊆(ker(T-F)∩ker(T+2F)∩ker(T-2F)),

不妨设ker(T)∩ker(f)={0}, 则存在非零向量x∈ker(T),y∈ker(T+F), 使得f(x)=f(y)=1.令w=2x-y,w1=-x+2y,w2=3x-2y, 则w,w1,w2是非零向量, 且满足

(T-F)w=0, (T+2F)w1=0, (T-2F)w2=0.

因此T-F,T+2F和T-2F均不可逆.

由于0∉Nn(T-F), 由Nn(T-F)的定义, 下面分两种情形讨论.

情形1)a(T-F)=∞.

设P=max{a(T),a(T+F)}, 则P<∞. 下面证明a(T+2F)<∞.

反设a(T+2F)=∞, 则a(T+2F)>p且a(T-F)>p. 由文献[9]中命题2.2可知: 若非零算子T满足a(T)≤m,F是一秩算子且存在两个不相等的非零常数α和β, 使得a(T+αF)>m且a(T+βF)>m, 则对任意的非零常数c, 有a(T+cF)>m. 因此a(T+cF)>P, 其中c是任意非零常数, 则a(T+F)>P, 与0∈Nn(T+F)矛盾, 所以a(T+2F)<∞. 同理可得a(T-2F)<∞. 由于2F是一秩算子, dim ker(T)≤n, 由文献[10]中引理2.3可得dim ker(T+2F)<∞或dim ker(T-2F)<∞. 综上, 0∈Nn(T+2F)或0∈Nn(T-2F).

情形2) dim ker(T-F)>n.

由于F是一秩算子, 由文献[11]中引理5可知： 映射λ→ dim ker(T+λF)在有理数域上除去至多一点外是常值函数. 由于dim ker(T)≤n, dim ker(T+F)≤n且dim ker(T-F)>n, 所以

dim ker(T+2F)=dim ker(T-2F)≤n.

又知2F是一秩算子且a(T)≤∞, 由文献[12]中命题2.7可知,a(T+2F)<∞或a(T-2F)<∞. 因此0∈Nn(T+2F) 或0∈Nn(T-2F). 证毕.

下面给出算子T∈B(X)不是一秩算子的必要条件.

命题2设T∈B(X). 若dim ran(T)≥2, 则存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)∩Nn(S+T), 0∉Nn(S-T)且0∉Nn(S±2T).

证明: 由于dim ran(T)≥2, 则存在线性无关的向量x1,x2, 使得Tx1与Tx2线性无关. 设

L1=∨{x1,x2},L2=∨{Tx1,Tx2},

则存在X的闭子空间K1和K2, 使得

X=L1⊕K1=L2⊕K2.

(1)

由于K1和K2同构, 故存在可逆的有界线性算子A:K2→K1. 在式(1)式的空间分解下, 算子T有如下表示:

其中S11x1=0,S11x2=-Tx2. 显然dim ker(S)=1. 因此

其中(S11+T11)x1=Tx1, (S11+T11)x2=0. 所以S和S+T都是指标为零的Fredholm算子, 且

dim ker(S)=dim ker(S+T)=1,

计算可得

(S11-T11)x1=-Tx1, (S11-T11)x2=-2Tx2.

因此S-T是可逆算子, 同理S+2T和S-2T可逆.

综上, 存在S使得0∈Nn(S)∩Nn(S+T), 0∉Nn(S-T)且0∉Nn(S±2T). 证毕.

推论1若T∈B(X)是非零算子, 则存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)且0∉Nn(S+2T).

证明: 由命题2可知, 只需证明T是一秩算子的情形. 由于T是非零算子, 所以存在非零向量x0∈X, 使得Tx0≠0. 令

X=∨{x0}⊕M=∨{Tx0}⊕N,

(2)

其中M和N是X的闭子空间. 由于M和N同构, 因此存在有界可逆的线性算子A:N→M. 在式(2)的空间分解下,T表示为

对于算子T22A, 存在λ∈, 使得λI+T22A是可逆的, 因此λA-1+T22可逆. 算子S定义如下:

显然0∈Nn(S), 且

其中2T11和λA-1+2T22可逆, 因此S+2T可逆, 0∉Nn(S+2T). 证毕.

下面利用Nn(T)及其有限秩扰动给出B(X)中两个算子相等的等价刻画.

命题3设A,B∈B(X). 若对任意的有限秩算子F, 有Nn(A+F)=Nn(B+F), 则A=B.

证明: 对任意的非零向量x∈X, 令P={f∈X*:f(x)=1}. 固定复数α, 使得|α|>‖A‖+‖B‖. 令Ff=(A-αI)x⊗f, ∀f∈P, 则Ffx=Ax-αx, 因此α∈σp(A-Ff)⊂σ(A-Ff). 又因为

|α|>‖A‖≥‖A‖e=‖A-Ff‖e,

其中‖A‖e是A的本质范数, 因此α∈σ0(A-Ff). 而dim ran(Ff)=1, 从而dim ker(A-αI-Ff)=1. 则α∈Nn(A-Ff), 所以α∈Nn(B-Ff). 由Nn(B-Ff)的定义可知,α∈σp(B-Ff), 所以存在非零向量yf, 使得(B-Ff)yf=αyf. 因此yf=f(yf)(B-αI)-1(A-αI)x. 令y=(B-αI)-1(A-αI)x, 可得(B-Ff)y=αy, ∀f∈P.

断言x和y线性相关. 事实上, 若x和y线性无关, 则存在f0∈P, 使得f0(y)=0. 所以Ff0(y)=0,By=αy, 这与|α|>‖A‖+‖B‖矛盾, 因此x和y线性相关. 所以对任意非零向量x, 有

(B-Ff)x=αx=(A-Ff)x,

即A=B. 证毕.

定理1设n是任意正整数,φ是B(X)上的可加满射. 若∀T∈B(X),Nn(φ(T))=Nn(T), 则存在有界可逆的线性或共轭线性算子A∈B(X), 使得∀T∈B(X),φ(T)=ATA-1; 或∀T∈B(X),φ(T)=AT*A-1. 在第二种情形下,X一定是自反空间.

证明: 1)φ是单射.

若φ不是单射, 则存在T≠0使得φ(T)=0. 由推论1, 可找到算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)且0∉Nn(S+2T). 但

Nn(S+2T)=Nn(φ(S+2T))=Nn(φ(S))=Nn(S),

矛盾, 因此φ是单射.

2)φ双边保持一秩幂等元及其线性张.

首先说明φ双边保持一秩幂等元. 令T∈B(X)且dim ran(T)≥2. 由命题2, 存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(T), 0∈Nn(S+T), 且0∉Nn(S-T), 0∉Nn(S±2T). 则0∈Nn(φ(T)), 0∈Nn(φ(S)+φ(T)), 且0∉Nn(φ(S)-φ(T)), 0∉Nn(φ(S)±2φ(T)). 由命题1可得dim ran(T)≥2, 即φ保持一秩算子. 由于φ是双射, 所以φ双边保持一秩算子.

设e⊗f是一秩幂等元, 则e⊗f-I是指标为零的Fredholm算子, 且1∈isoσ(e⊗f). 因此dim ker(e⊗f-I)≥1. 由于

ker(e⊗f-I)⊆ran(e⊗f)且dim ran(e⊗f)=1,

所以dim ker(e⊗f-I)=1. 从而1∈Nn(e⊗f), 1∈Nn(φ(e⊗f)), 即φ(e⊗f)是一秩幂等元. 综上,φ双边保持一秩幂等算子.

由文献[13]中定理3.3知, 存在复数域上的环自同构τ及两个τ-拟线性双射A:X→X和B:X*→X*, 使得

φ(e⊗f)=Ae⊗Bf, ∀e∈X,f∈X*；

或存在两个τ-拟线性双射A:X→X*和B:X*→X, 使得

φ(e⊗f)=Bf⊗Ae, ∀e∈X,f∈X*.

因此

φ(λe⊗f)=τ(λ)Ae⊗Bf, ∀e∈X,f∈X*；

或

综上,φ双边保持一秩幂等元及其线性张. 由文献[13]中主要定理可知, 存在有界可逆的线性或共轭线性算子A∈B(X), 使得对任意的有限秩算子F∈B(X), 下列两种情形之一成立：

①φ(F)=AFA-1；

②φ(F)=AF*A-1, 此时X为自反空间.

3) 把2)的结论拓展到B(X)上.

假设φ满足① , 令T∈B(X), 则对任意的有限秩算子F, 有

Nn(T+F)=Nn(φ(T)+φ(F))=Nn(φ(T)+AFA-1)=Nn(A-1φ(T)A+F).

由命题3可得T=A-1φ(T)A, 因此∀T∈B(X),φ(T)=ATA-1. 若φ满足②, 同理可得∀T∈B(X),φ(T)=AT*A-1. 证毕.