变指标分数次Hardy算子高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间的加权有界性

辛 银 萍

(兰州财经大学 信息工程学院, 兰州 730010)

变指数空间在流体动力学和具有非标准增长条件的微分方程等领域应用广泛, 目前已取得了很多研究成果[1-10]: Diening[2]证明了分数次积分算子在变指数Lebesgue空间的有界性； Lu等[3]引入了经典的Herz-Morrey空间, 它既是Lebesgue空间的推广, 也是Herz空间的延伸； Izuki通过引入变指数Herz-Morrey空间, 研究了向量值次线性算子的有界性[4], 并证明了分数次积分在变指数Herz-Morrey空间上的有界性[5]； Izuki等[6]证明了分数次积分在加权变指数Herz空间的有界性.

自Hardy[7]证明了Hardy积分不等式以来, 关于Hardy积分不等式和Hardy算子的研究受到广泛关注, 并取得了丰富成果. 例如： 赵凯等[8]得到了非双倍测度下分数次极大算子交换子在Morrey-Herz空间上的有界性； 张璞等[9]给出了分数次Hardy算子的交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性； 于云凤等[10]得到了变指标分数次Hardy算子的高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性. 受上述工作的启发, 本文主要研究变指标分数次Hardy算子与有界平均振荡函数空间(BMO)函数生成的高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间上的加权有界性.

1 预备知识

定义1设f是n上的局部可积函数,β(x)是n上的可测函数, 满足0≤β(x)

定义2设b∈BMO(n)是n上的局部可积函数,β(x)是n上的可测函数,m∈, 变指标的n维分数次Hardy算子及其共轭算子与b生成的高阶交换子分别定义为

定义3[1]设q(·):E→[1,∞)是可测函数, 变指标Lebesgue空间定义为

用P(n)表示n上满足下列条件的所有可测函数p(·):n→[1,∞)构成的集合：

文献[4]中定义的权函数Ap(p∈(1,∞))可推广到如下变指标形式.

定义6[6]设q(·)∈P(n), 若成立, 则称ω∈Aq(·).

定义7[6]设q(·)∈P(n), 且ω(x)是n上的非负局部可积函数, 则加权的变指标Lebesgue空间Lq(·)(ωq(·))是满足fω∈Lq(·)(n)的全体复值可测函数的集合.

定义范数为‖f‖Lq(·)(ωq(·))=‖fω‖Lq(·), 则Lq(·)(ωq(·))为Banach空间.

定义8[6]令0<β

则称ω∈A(q1(·),q2(·)).

下面给出加权变指标Herz-Morrey空间的定义. 对于k∈, 令

Bk=B(0,2k)={x∈n: |x|≤2k},Ak=BkBk-1.

用χk=χAk表示Ak的特征函数.

定义9设α∈, 0≤λ<∞, 0

其中

引理1[12]令q(·)∈P(n), 若n), 则q(·)∈B(n).

引理2[13]设q(·)∈P(n), 则q(·)∈B(n)当且仅当q′(·)∈B(n).

引理3[6]设M在对偶空间Lq′(·)(ω-q′(·))上有界, 则存在常数δ∈(0,1)和C>0, 使得对所有n中的球B和所有的可测子集S⊂B, 都有

引理4[1]设p(·)∈P(n), 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp′(·)(n), 则fg在n上可积, 并且

(1)

引理5[14]设1<β-≤β(x)≤β+<∞,x∈B(0,r)B(0,r/2), 若β(x)为在原点log-Hölder连续的, 则

C-1rβ(0)≤rβ(x)≤Crβ(0), 0

若β(x)在∞处是log-Hölder连续的, 则

C-1rβ∞≤rβ(x)≤Crβ∞,r≥1.

引理6[6]若m∈,i,j∈,j>i,b∈BMO(n), 则

命题1[6]若加权Banach空间X(n,g)上定义了范数‖f‖X(n,g)=‖fg‖X, 则其是一个Banach空间.

命题2[6]X(n,g)的对偶空间是Banach空间, 且等价于X′(n,g-1).

注1[6]设p(·)∈P(n), 比较X(n,g)的定义和加权Lebesgue空间Lp(·)(ωp(·))和Lp′(·)(ω-p′(·)), 可得如下结论：

1) 若取X=Lp(·)(n)和g=ω, 则有Lp(·)(n,ω)=Lp(·)(ωp(·));

2) 若取X=Lp′(·)(n)和g=ω-1, 则有Lp′(·)(n,ω-1)=Lp′(·)(ω-p′(·)).

由命题1和命题2及注1可知, 引理6对加权变指标空间也适用:

引理7若m∈,i,j∈,j>i,b∈BMO(n),ωq(·)∈A1, 则

引理8[6]设0<β

引理9[6]设q(·)∈B(n), 则存在常数C>0, 使得对所有n中的球B, 有

引理10[6]设q1(·)∈P(n), 且满足

本文中的C是一个绝对正常数, 在不同之处可取不同值.

2 主要结果

令q2(·)∈P(n),ωq2(·)∈A1, 则由定义6得ωq2(·)∈Aq2(·). 因此, Hardy-Littlewood极大算子M在Lq2(·)(ωq2(·))上有界. 由Aq(·)的定义易得若ωq2(·)∈Aq2(·), 则因此M在上有界. 由引理3可知, 存在常数和C>0, 使得对所有n中的球B和所有的可测子集S⊂B, 都有

(2)

其中当|x|≥1时,β(*)=β∞, 否则β(*)=β(0).

首先估计I1, 由引理7和引理1, 得

由引理7得

由引理9及式(2)得

由分数次积分算子的定义知

χBj(x)≤C2-jβ(*)Iβ(*)(χBj)(x),

显然有

所以

证毕.

当q1∈B(n)时, 由引理3可取常数使得对所有n中的球B及所有的可测子集S⊂B, 都有

(3)

因此, 对Hardy算子的共轭算子有如下结论.

由引理9和式(3)可得

又可知

‖χBk‖Lq2(·)(ωq2(·))≤C2-kβ(*)‖χBk‖Lq1(·)(ωq1(·)),

因此