内蕴平方函数在分数次Morrey空间上的加权有界性

李 瑞, 陶双平

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与主要结果

经典平方函数[1-2]在调和分析中具有重要作用， 内蕴平方函数的广义平方函数[1]是对经典平方函数的推广. 设0<α≤1, 函数φ:n→满足并对任意的x1,x2∈n, 有|φ(x1)-φ(x2)|≤. 满足上述条件的φ构成的函数族用Cα表示. 对于n), 记

f的内蕴平方函数定义为

(1)

相应地,

(2)

(3)

设b是n上的局部可积函数, 内蕴平方交换子分别定义为

(4)

(5)

(6)

设1≤p<∞,ω是一个非负可测函数,f∈Lp(n,ω)和b∈BMO(n)分别定义为

定义1[3]设γ是(0,+∞)上的非负增函数, 对任意的r≥0, 满足

γ(2r)≤Dγ(r),

(7)

其中,D=D(γ)≥1与r无关. 给定0≤η

其中,

易见, 当η=0时,Lp,0,γ(n,ω)即为文献[4]引入的广义加权Morrey空间Lp,γ(n,ω), 是经典加权Morrey空间的推广. 当γ(r)=rδ(δ>0)时,Lp,γ(n,ω)即为文献[5]引入的加权Morrey空间Lp,δ(n,ω). 当ω=1时,Lp,δ(n,ω)即为文献[6]引入的经典Morrey空间Lp,δ(n). 关于Morrey空间上的研究结果可参见文献[7-9]. 当γ(r)=1时,Lp,γ(n,ω)即为加权Lebesgue空间Lp(n,ω)[10]. 受文献[1-3,8]的启发, 本文研究内蕴平方函数和交换子在广义分数次加权Morrey空间上的有界性.

设10, 使得

非负局部可积函数ω(x)∈RHs(n)(s>1)是指对n中的任意球B, 存在常数C>0, 使得

本文主要结果如下.

定理2设1≤D(γ)<2n且满足式(7), [b,Sα]由式(4)定义,b∈BMO(n). 则存在s>1, 使得当时, 存在不依赖于f的常数C>0, 满足

‖[b,Sα](f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

当0<α≤1时, 文献[1]研究表明,gα(f)(x)可由Sα(f)(x)逐点控制, 因此由定理1和定理2, 可知如下推论成立.

推论1设gα由式(2)定义. 在定理1的条件下, 存在不依赖于f的常数C>0, 使得

‖gα(f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

推论2设[b,gα]由式(5)定义. 在定理2的条件下, 存在不依赖于f的常数C>0, 使得

‖[b,gα](f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

2 主要结果的证明

引理1[2]如果ω∈Ap, 则当0<α≤1, 10, 使得

‖Sα(f)‖Lp(ω)≤C‖f‖Lp(ω).

引理2[12]设ω∈RHs,s>1. 则对于任意球B的可测子集E, 存在常数C>0, 使得

ω(E)/ω(B)≤C(|E|/|B|)(s-1)/s.

引理3[13-14]设1≤p<∞, 则当b∈BMO(n)时, 有

引理4[15-16]设1

引理5[16]设0<α≤1, 1

‖Sα,2j(f)‖Lp(ω)≤C·2jn‖Sα(f)‖Lp(ω).

引理6[16]设0<α≤1, 2

‖Sα,2j(f)‖Lp(ω)≤C·2jnp/2‖Sα(f)‖Lp(ω).

2.1 定理1的证明

设B=B(x0,rB)是n中的一个以x0为中心、 以rB为半径的球, 记f=f1+f2, 其中f1=fχ2B,χE表示E的特征函数. 则有

由引理1和式(7), 得

下面估计I2. 对任意的φ∈Cα, 0<α≤1且(y,t)∈Γ(x), 有

注意到当x∈B, (y,t)∈Γ(x),z∈(2k+1B2kB)∩B(y,t)时, 有

2t≥|x-y|+|y-z|≥|x-z|≥|z-x0|-|x-x0|≥2k-1rB.

因此, 利用式(8)和Minkowski不等式, 得

利用Hölder不等式和Ap权条件, 得

由式(9)和式(10), 得

(11)

所以,

由于(k+1)(1/p-η/n)>0, 1≤D(γ)<2n, 所以I2≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 结合I1和I2的估计并对所有的球B取上确界, 即完成了定理1的证明.

2.2 定理2的证明

类似定理1的证明, 分解f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 则有

由引理4和式(7), 得

(13)

下面估计J2. 对任意的x∈B, (y,t)∈Γ(x), 有

因此

考虑一定的安全余量，并圆整上述数据可得到：驱动机构中轮对与内空心轴、内空心轴与电机垂向上空隙设计值Gd定为50 mm，垂向下空隙设计值Gu定为30 mm，以此保证车辆运行过程中直驱机构与驱动轴不发生干涉。

由式(11)和式(12), 得

结合式(14),(15), 得

(16)

另一方面, 有

利用Hölder不等式, 有

记ν(z)=ω(z)-p′/p=ω(z)1-p′, 由于ω∈Ap, 由文献[10]知,ν∈Ap′. 因此, 同式(15)的方法可知如下不等式成立：

(18)

利用式(17),(18), 得

(19)

由定理1的证明有t≥2k-2rB, 再利用式(19)和Minkowski不等式, 得

下面估计L4. 注意到b∈BMO(n), 由文献[17]可知,

|b2k+1B-bB|≤C·(k+1)‖b‖*.

(21)

由式(10),(21)和Minkowski不等式, 得

由式(12), 得

再结合式(20),(22), 有

(23)

综合式(13),(16),(23), 并对所有的球B取上确界, 即证得定理2.

2.3 定理3的证明

设B=B(x0,rB)是n中的任意一个球, 有

由定理1,H0≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 下面估计Hj(j=1,2,…). 设f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 则有

利用引理1、 引理5、 引理6和式(7), 得

t+2jt≥|x-y|+|y-z|≥|x-z|≥|z-x0|-|x-x0|≥2k-1rB,

因此, 利用式(8),(10)和Minkowski不等式, 得

进一步, 利用式(12), 得

由于λ>max{p,3}, 所以

因此, 对所有的球B取上确界, 即完成了定理3的证明.

2.4 定理4的证明

设B=B(x0,rB)是n中的任意一个球, 记f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 则有

因此,

由定理2可知G0≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 下面估计Gj. 对任意给定的x∈B, (y,t)∈Γ2j(x),z∈(2k+1B(2kB))∩B(y,t), 有

因此,

由式(12),(15),(24), 得

另一方面, 有

类似定理2和定理3的证明, 有

由式(12), 得

由式(12), 得

由于λ>max{p,3}, 所以

对所有的球B取上确界, 即证得定理4.