两次消元巧求直径方程

付建

[摘要]将直线和二次曲线方程联立，消元两次，就可以得到圆的直径方程，这种思路清晰，过程看似烦琐，实则简洁.

[关键词]直径方程：二次曲线：消元：直线

[中图分类号]G633. 6

[文献标识码] A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0017-02

在解决与以直线和二次曲线相交的弦为直径的网有关问题时，常规解法是将直线方程和二次曲线方程联立，消元一次，即消去x或y，使用根与系数关系，求出圆心坐标和半径，但在解题中发现，可以消元两次，既消去x，也消去y，将每次消元后的方程相加，即得圆的直径方程，这种做法看似烦琐，实则巧妙.

一、学生疑惑，一石激起千层浪

[例1]（苏教版必修2）已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.

该生的解法是消元了两次，对交点A，B的坐标采取了“不设不求”的方法，直接构造出了方程③，进而将原点代入，求出m的值.对此我们进行了讨论，并且有如下疑惑：方程③是表示以弦AB为直径的圆吗？为什么要将原点坐标代入方程③，理由是什么？

二、解法感悟，妙手偶得也艰辛

三、延伸拓展，二次曲线统一解

上述例题中，是直线l与圆C相交于A，B两点，如果直线l与圆锥曲线相交于A，B两点，上述过程是否也可以得到以弦AB为直径的圆的方程呢？

四、应用举例，消元两次有路径

[例2]设A，B为曲线y=（x²）/4上两点，A与B的横坐标之和为4.

（I）求直线AB的斜率;

（Ⅱ）设M为曲线C上的一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

[例3]已知橢圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（I）求椭圆C的标准方程;

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.（责任编辑 黄桂坚）