问题解决中元认知的心理学研究及其对中学数学教学的启示

王众 喻平

摘要：心理学研究表明，问题解决中存在元认知因素，元认知训练可以提高问题解决的能力。心理学还对元认知的训练方式展开了一系列研究。将这些研究的成果应用于中学数学教学，特别是解题教学，可以得到的教学策略有：帮助掌握元认知知识，引导使用元认知提问单，组织开展数学写作。

关键词：元认知问题解决自我提问数学写作

元认知的概念由美国心理学家Flavell提出，指个体对自己认知系统的认知和调控，它包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个要素。其中，元认知知识是个体拥有的关于自己认知能力、认知策略和认知对象的知识，元认知体验是伴随着认知活动的认知体验或情感体验，元认知监控指个体对自己认知系统的协调与监控过程。三者在问题解决的过程中，相互影响、协同作用。董奇认为，学习能力不仅表现在对所学材料的感知、记忆、理解、想象和思维方面，也表现在对上述各方面活动的积极监控与调节上。本文简要介绍心理学对问题解决中元认知的一些研究，并讨论如何将这些研究的成果应用于中学数学教学。

一、心理学对问题解决中元认知的一些研究

（一）问题解决中存在元认知因素

Swanson运用元认知问卷量表测量学生的元认知知识，运用认知能力测验和基本技能综合测验测量学生的一般能力倾向，然后将学生按两项成绩的高低组合成四个组，进行问题解决的实验。结果表明，高元认知能力组比低元认知能力组解决问题的表现好。更值得注意的是，元认知能力高而一般认知能力低的组比元认知能力低而一般认知能力高的组解决问题的效果好。这个研究说明了在问题解决的过程中包含元认知成分。

Pugalee认为，问题解决包含问题的定向、组织、执行、确认等过程，而每个步骤包含不同的元认知活动。他让20名九年级被试书写解数学题的思路，并试图从这些文字信息中获取被试解题过程中的元认知行为。正式实验前的三个月，每个星期都有定期的書写实践，被试需要把解答不同问题的过程记录下来，以培养真实、准确记录解题行为的能力。正式实验前的两个星期，每天上课之前的10分钟内，被试需要解答一道题目，并把过程中的每个思维片段都写下来。正式实验开始后，连续六天上课之前，被试都要解答题目并书写思维片段，然后在课后10分钟的讨论会上，宣读题目和书写的内容。定性分析的数据表明，被试在问题解决的过程中确有元认知框架，且在问题的定向、组织、执行、确认等过程中存在不同的元认知行为。

有研究表明，解题自我监控能力与低难度数学问题解决的相关性较低，而与中、高难度以及开放性数学问题的解决存在显著相关性，即解题自我监控能力的高低会对解决较复杂数学问题的效果产生影响。这项研究也证实了数学问题解决中存在元认知的作用。

张庆林等人对应用题表征做了元认知分析。他们把应用题表征策略分为复述内容、结构表征、寻找关键信息三类，并将其使用作为理解、分析应用题阶段的元认知控制。测量时，凡是回答使用“多读几遍”“背诵”“默记”等方法的都归为复述内容策略;凡是回答使用“画线段图”“画图”“在心里画图”等方法的都归为结构表征策略;凡是回答使用“记住主要数据”“找关键词”等方法的都归为寻找关键信息策略。他们还以被试对自己是否已经完全把握应用题条件的“主观评定”和对应用题条件的“客观回忆”、解题的“正确列式”之间的差别，作为评价元认知监视能力高低的测量指标。研究表明，三种策略对被试的“主观评定”没有显著影响，但对“客观回忆”和“正确列式”有影响;成绩越好，元认知监视和元认知控制的得分也越高。这说明，元认知监控是“学优生”经常使用的成功认知策略，是影响应用题解决的一个重要条件。

（二）元认知训练可以提高问题解决的能力

童世斌等人对中学生进行元认知训练，并且考察他们解答数学应用题能力的变化。他们给实验组的每个学生发一张绘有“解决数学应用题思维方法流程图”的“元认知监控自我提问单”，让原任教师专门上一次课，引导学生在解决数学问题时利用这份材料。结果表明，不同层次学生的思维策略训练效果都显著，“中等生”“学困生”的训练效果尤为显著;在思维策略训练的基础上加入元认知训练，能够更有效地提高解答数学应用题思维策略训练的效果。

Mevarech对以色列的174名七年级学生做了有关数学问题解决的研究。她按合作学习模式将学生分为元认知训练组、直接策略指导组和控制组。在学习数学对比题时，要求元认知训练组的学生练习如何向其他组员描述和回答解答数学题目的元认知问题，如对题目的理解、新旧知识联系的建立、策略的选择和运用等。最后的笔试结果显示，元认知训练组的问题解决能力超过其他两组，而直接策略指导组又优于控制组。研究表明，元认知训练的问讯方式能引导学生从全局着手，分析问题情境，发现原来策略的不足，找到正确的解答方法;元认知训练所蕴含的语言和非语言两个元素对学生处理复杂情境具有促进作用。

武锡环等人研究发现，元认知对解题策略会产生较大的影响，元认知的实质在于主体对认知活动的自我意识和自我调控。解题者在执行解题策略时，会接受元认知的指示和指导：通过元认知体验，在元认知知识的基础上检验、回顾解题方法，调控解题策略，最终逼近问题目标状态。

Smith等人就数学写作与元认知结合对数学学业成绩的影响做了研究。他们选取86名九年级学生作为被试，通过实验发现，在数学写作中加入元认知问题的训练，明显地提高了学生的数学解题成绩。

此外，许多研究都支持元认知对数学解题有显著影响，通过元认知训练可以提升学生的解题水平。

（三）对元认知训练方式的研究

人们了解到学习（特别是问题解决）中存在元认知因素，而且元认知训练对学习（特别是问题解决）具有较大的促进作用，于是，对元认知的训练方式展开了一系列研究。

1.自我提问。

波利亚列出了一个详细的“解题表”，这是元认知训练的一种雏形。其中的一系列自我提问事实上就是自我监控的过程，而这些问题本身属于元认知知识的范畴。如果说波利亚没有明确地提出元认知的概念，那么，舍恩菲尔德明确地把“调节”作为解题的一个环节，就清楚地显示了元认知在解题中的作用。所谓“调节”，是指解题者对自身所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调整。比如，舍恩菲尔德提出了一些对解题过程中的自我意识和自我评估的自我提问：我所面临的是怎样的问题？我所选择的是怎样的一条解题途径？我为什么做出这样的选择？我是否真正弄清了题意？我对所面临的困难与成功的可能性是否有清醒的认识？我所采取的解题途径是否足以导致问题的彻底解决，或者对解决问题起到很大的促进作用？是否还有更好的解题途径？……

童世斌等人使用“元认知监控自我提问单”对学生进行元认知训练，收到了良好的效果。该问题单如下——（1）理解题意阶段：我把握住基本的数量关系了吗？ 我将关系句准确地转化成代数式了吗？ 我将复杂的句子成功分解了吗？ 题目中的隐含条件，我充分挖掘了吗？（2）列方程阶段：我进行双向推理了吗？ 我可以利用题目中哪些等量关系列出方程呢？列出方程后，我检验等式两边的单位是否一致、其含义是否相同了吗？（3）解方程及检验、总结阶段：解方程时，我考虑有没有简便解法了吗？ 解题后，我检验答案了吗？ 遇到难题时，解答后，我归纳思路了吗？

2.外显训练。

郭成提出对元认知进行外显式训练，先用提示语训练学生，再逐步内化为学生的自我意识。方式为：（1）结合例题向学生讲解元认知方面的知识;（2）以展示元认知监控的教学思路讲解应用题的解题策略，并告诉学生使用这种策略对于成功解决应用题的有效性;（3）设计并使用专门的“元认知监控单”对学生进行提示性训练;（4）要求学生运用出声思维（说理由）大声地自我指导，监控思维活动。

朱德全提出在数学教学中应该通过目标激励与强化、创设思维场情境、加强知识发生过程的教学、优化认知结构以及对教学的及时反馈等措施，培养学生的元认知能力。

连四清等人提出如下元认知训练策略：（1）做题前用文字写出目前要解决的问题是什么，应该采取什么样的策略解决问题;（2）完整地写出解题过程;（3）做题后用文字写出运用该策略时要注意什么，该策略能否推广到其他情境，还有没有更好的策略。这种做法是把自我提示外显化。

3.相互讲解。

Mevarech在解题教学中，要求学生相互讲解三个问题——（1）理解性问题：要解答的题目是什么？（2）比较性问题：该题与先前解答的题目相似还是不同？（3）策略性问题：哪些策略适合解答该题？实验表明，这是一种有效的元认知训练方式。

4.写解题笔记。

还可以训练学生在解题过程中写下自己的分析过程，在问题解决后写出自己的反思，包括解法的优劣，是否可以对问题进行变式、推广等，从而通过数学写作来培养元认知能力。

二、对中学数学教学的启示

（一）帮助掌握元认知知识

在教学过程中，教师应当注意做好三个工作。其一，教给学生一些基本的元认知知识，比如：元认知的含义及成分，让学生知道哪些因素会影响数学解题的顺利进行;使用元认知的意义和价值，激发学生的学习动机。鼓励学生在学习中及时反思，总结分析自己的兴趣爱好、学习特点、能力及限度等一些关于认知个体的知识，比如：知道自己的逻辑推理能力比较强，但计算能力比较弱;知道自己在遇到动点类问题时，容易因恐惧而放弃对问题的深入分析;知道某同学的学习习惯比自己好，从而形成良好的学习习惯，找到适合自己的学习方法。其二，提高学生对认知任务的认识，包括认知任务中有关信息特点的知识以及关于要求和目的的知识。其三，提高学生对认知策略的认识，包括进行认知活动和完成认知任务有什么策略、针对不同的认知任务使用何种策略更有效以及如何使用这些策略的知识。

教师可以结合具体例题进行示范，帮助学生认识自己的认知特点，清楚自己的思维倾向，从而有针对性地练习与调控，以便在解题活动中尽力发挥优势、弥补不足，促进数学思维能力全面发展。

例1设x、y∈R，且x2+y2+2x<0，求证：x2+y2+6x+8>0。

解法1：由 y2≥0，得x2+2x<0，解得-21-1=0。

解法2：设集合A={（x，y）|x2+y2+2x<0}={（x，y）|（x+1）2+y2<1}，B={（x，y）|x2+y2+6x+8>0}={（x，y）|（x+3）2+y2>1}，將原题转化为证明：在平面上以点（-1，0）为圆心、1为半径的圆内（不含边界）各点，一定都在以点（-3，0）为圆心、1为半径的圆外（不含边界）。

求解例1时，使用解法1的个体偏向于分析型，相对而言，具有较好的语言逻辑思维，而视觉形象的概括能力不足，因而在解题时，倾向于运用抽象模式进行运算，很少需要形象化的模型支持。使用解法2的个体偏向于几何型，具有较好的视觉形象思维，常常能够形象地解释抽象的数量关系，因而在解题时，总是力求以形象表示取代逻辑分析。而综合调和型的个体则会在兼顾两种思维方法的同时，利用最优化原则，选择自认为最优的解法。

（二）引导使用元认知提问单

使用元认知提问单可以帮助学生规范思考过程，加强元认知监控。一开始，需要教师进行示范，带领学生一起认识问题、选择策略、变更策略、综合运用策略、评价结果、及时反思，经历使用提问单解题的全过程，即让学生看到思维过程、元认知监控过程。当学生能够熟练地监控、调节自己的认知过程时，就会逐步将教师的外部调控行为内化为一种自我意识和自觉行为。

根据解题过程，可以将元认知提问单结构划分为解题前、解题中、解题后三个部分。解题前提问的内容是预测性问题，比如：目前要解决的问题是什么？应该采取什么样的策略解决这个问题？……解题中提问的内容是监控性问题，比如：现在要求出这个结果，应该使用哪些已知条件？需要使用什么数学方法？怎样将该条件转换为直接可用的条件？……解题后提问的内容是反思性问题，比如：解题过程中用到的方法可以推广吗？解这道题遇到的最大困难是什么？……而提问单的具体问题可以根据具体题目来确定。

例2已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+（a-3）x+b2-1 的图像都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

这是一道二次函数问题。对于此题，可以制订如下元认知提问单：

1.解题前：（1）这道题可能会涉及哪些知识？（2）你是否遇到过类似的问题？（3）你打算怎样解决此问题？（4）解题过程中可能会遇到什么困难？

2.解题中：（1）实际解题时，你遇到了什么困难？（2）重新审视这个问题，你还打算怎样解决？（3）问题的条件，你充分挖掘了没有？还有没有需要补充的？（4）你能否确定你的答案是正确的？

3.解题后：（1）你能不能换一种方法来求解？（2）这两种方法都可以用，哪种方法更好一点？为什么？（3）解题过程中容易犯什么错误？（4）回顾整个解题过程，你从中吸取了什么经验教训？

使用上述元认知提问单的教学片段如下：

（三）组织开展数学写作

数学写作以文体、功能、内容、形式和思维水平等为标准，可分为多种不同的种类。比如，根据数学写作的内容，可分为写数学日记或日志、描述问题解决的思维过程、解释数学概念和原理等。其中，描述问题解决思维过程的数学写作对学生元认知的发展有直接显著的促进作用。

教师要循序渐进地培养学生的数学写作能力。可以选取教材中的探究性问题和考试中学生错得比较多或解法比较多的问题，引导学生展开数学写作;也可以指导学生写数学周记，反思自己学习过程中遇到的体会较深的数学思想方法等。

这是2006年高考数学陕西卷理科第22题。罗增儒对这道题的第（1）问用模式识别、配方法给出了11种证法，对第（2）问用模式识别、数学归纳法给出了2种证法，对第（3）问用分析、配方法给出4种证法。像这种涵盖多种解题方法、多个知识内容且有一定难度的题目，就很适合作为数学写作的题目。

教师可以直接布置该题让学生写适当包含自己思考过程的作文，然后在全班范围内交流;可以让学生小组分工，集思广益，共同完成一篇含有多种思维方式的文章;还可以先以习题的形式让学生完成，再通过讲解让学生订正，最后让学生就问题的两三种解法写成小论文。

具体写作时，教师可以要求学生按照Pugalee提出的问题解决过程的元认知框架展开。该框架的内容如下——（1）定向阶段：阅读（重读）、问题表征、条件分析、问题难度评估;（2）组织阶段：确立总目标与子目标、制订全局计划、实施计划、画图表及组织数据;（3）执行阶段：执行局部目标、监控目标进展、执行计算、重定向;（4）验证阶段：评估决策、检查计算。久而久之，这种元认知框架就会内嵌到学生的思维中，形成固有的解题习惯，从而有助于数学问题的成功解决。

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