构造数列模型 巧解数学试题

付敏 高明

【摘要】构造数列模型是根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，运用数列的性质、公式、结构等特征，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来。构造数列模型可以起到化繁为简、化难为易的效果。

【关键词】构造法  数列  数学试题

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）21-0077-02

数学试题越来越灵活多变，通过对试题的研究发现，构造法在竞赛题和高考题都有广泛地运用。本文将以构造数列模型为例来阐述构造法在数学试题中的巧妙运用。

1.构造数列模型，求解函数值域

求解函数值域常见方法有：利用函数单调性法、配方法、分离常数法、数形结合、换元法、导数法、不等式法、图像法、反解法等等。但如果对于形如“a+b=2c”形式的无理函数，抓住结构特征，采用构造等差数列的方法会使解题更加容易。

评注：此题除了构造数列模型求解，还可以用换元法、构造对偶式、柯西不等式等进行求解。但构造等差数列，将函数进行一些简单的变换，试题求解会更加巧妙，计算量减少，思路简单、清晰。

2.构造数列模型，求解函数最值

求最值常用的方法有配方法、单调性法、换元法、不等式法等等。但不同的方法对于不同的函数特征，解题的繁琐程度会不一样，有些方法反而不能很好的解决问题。对于形如“a+b=2c、ab=c2”形式的题目，通过构建等差数列、等比数列往往会使题目更容易解决，收获意想不到的结果。

评注：无理函数求最值时，常常是进行消元，将其转化为一元函数求解，或者是进行换元，简化函数的形式，但是这些方法往往计算量大，求解过程中容易忽略定义域的变化而出现错误。而突破常规思路、观察函数结构、转变函数形式，大胆的进行构造数列往往会简化解题。

3.构造数列模型，求解方程（组）

评注：这两道题都是解不熟悉的无理方程。如果直接从常规的移项、平方入手往往非常复杂，很难求解。但是观察结构特征如果将其构造成等差（比）数列来转化为熟悉的方程形式，求解就会显得容易而简单了。

4.构造数列模型，证明不等式问题

不等式的证明通常技巧性强，方法多样，可以采用比较法、分析法、综合法等。所以不等式证明往往是通过发现其内隐的结构特征，用一些巧妙的方法进行求解。对于形如“a+b=2c”的形式，构造数列往往会达到事半功倍的效果。

评注：这道题解题的关键即是去发现其结构为“a+b=2c”的形式，所以联想到借助构建等差数列“a，c，b”，从而使问题简单化解决。

5.构造数列模型，求解排列组合问题

对于一些看似与数列无关的问题仔细分析，观察其递推公式往往可以获得新的发现，找到解决问题的新的渠道，使复杂问题简单解。

评注：此题是排列组合类问题，这道题解题的关键即是根据题目条件，寻找解题思路，构造数列通项中的递推关系。

数学学习充满挑战与乐趣;构造法的使用体现了数学解题的灵活性，充分体现了数学解题的奥妙性。在学习的过程中有意识的培养各种创新意识与能力，开拓眼界，发展思维，有助于提高分析问题与解決问题的能力。

参考文献：

[1]冯熙源.构造法在高中数学中的应用[J].数学学习与研究，2018（24）：95.

[2]宋波.例析构造数列解题[J].高中数学教与学，2012（13）：23-25.