具任意高的正初始能量的非线性六阶波方程解的爆破

郝江浩,盖路路

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

本文研究如下非线性六阶波方程的Cauchy问题,

utt-uxxtt-uxx+uxxxx+uxxxxtt=

r(|ux|p-1ux)x, (x,t)∈R×(0,T) ,

(1)

(2)

其中r≠0和p>1为常数,φ(x)和ψ(x)为给定初值。

这个模型可以用来描述许多物理过程,(1)是弱色散介质中非线性波动力学的通用模型(文献[1-2]),文献[3-4]研究了类似于(1)的浅水表面波的建模。并且方程(1)也被用于描述非线性晶格动力学中的模型。方程(1)的适定性已经被许多作者所研究,见文献[5-8]等。方程(1)是一般的Boussinesq方程,并且许多一般形式的Boussinesq方程已经被从不同的方面研究,见文献[9-15]。

Wang等[9]研究了问题(1)-(2)的Cauchy问题,通过使用压缩映射原理,证明了Cauchy问题(1)-(2)局部解的存在性和唯一性。在次临界初始能量(0

(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)≥0 ,

则解在有限时刻爆破,见文献[8,11]。

特别地,对超临界能量(E(0)>d)情形,相关文献较少,文献[12-13]证明了Cauchy问题(1)-(2)在高初始能量(E(0)>0)下解在有限时刻爆破,其中证明解的爆破性质是利用了Levine在文献[18]中给出的凸性方法。

我们研究Cauchy问题(1)-(2),将文献[8]中整体解的不存在性结果推广到任意高的正初始能量(E(0)>0)情形。通过文献[14]中给出的一种新方法,证明Cauchy问题(1)-(2)的解在任意高的正初始能量(E(0)>0),且初值满足一些结构性条件,则Nehari泛函I(0))必为负,进而可以利用凸性方法,得到相应的任意高的正初始能量的解在有限时刻爆破。

1 准备工作和主要结论

和

〈u,v〉X*X=〈u(·,t),v(·,t)〉X*X=

(u,v)+(ux,vx)+(uxx,vxx)。

关于Cauchy问题(1)-(2)解的局部存在性结果,见文献[8]。

定理1设s≥1且φ,ψ∈Hs(R),则存在依赖于初值(φ,ψ)的最大存在时间T0,使得对每个T

对于系统(1)-(2),引入能量泛函

事实上,在(1)式乘上ut并在R上积分,有

(utt-uxxtt-uxx+uxxxx+uxxxxtt-

r(|ux|p-1ux)x,ut)=0,

计算可得

即

所以,对于每个t∈(0,T0),有如下能量恒等式成立,

E(t)=E(0)

(3)

定义势能泛函

(4)

Nehari泛函

(5)

Nehari流形

Ν={u∈H2{0}|I(u)=0},

(6)

以及势阱深

‖φ‖2+‖φx‖2+‖φxx‖2>0,

(7)

(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)≥0,

(8)

(9)

则问题(1)-(2)的解u(x,t)在有限时间T*爆破。进一步,如果(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)>0,则有爆破时刻的上界估计为

其中

L(t)=‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2,

C为某个正常数。

接下来,为定理2的证明做一些准备工作。关于函数u(x,t)+ux(x,t)+uxx(x,t),当‖u‖2+‖ux‖2+‖uxx‖2≠0时考虑ut的一个正交分解。首先,令

ut=ku+h,

其中(u+ux+uxx,h)=〈u,h〉X*X=0。经计算可知

因此有

(10)

从(10)以及u+ux+uxx与h的正交关系, 可以得到以下等式成立

(11)

即

‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2=

定义泛函

Q(t)=Q(u(x,t))=

(12)

因此,能量泛函可以写成

(13)

2 主要结论的证明

这一节, 我们给出几个引理以及主要结果的证明。首先, 给出经典的凸性不等式。

引理1[18]假设F(t)是二次可微的正函数,满足对每个t≥α,其中γ>1和α>0是常数,有微分不等式

F″(t)F(t)-γ(F′(t))2≥0

都是严格增函数。更进一步,有L″(t)>0,以及

‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2≥

(‖φ‖2+‖φx‖2+‖φxx‖2)+

2t((φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx))。

(14)

证明当t∈(0,T],L″(t)=2‖ut‖2+2‖uxt‖2+2‖uxxt‖2-2I(t)>0,这说明L(t)是严格凸函数,且L′(t)是严格增函数。从(8)可知,当t∈(0,T]时,L′(t)>0。因此L(t)在t∈(0,T]上也是严格增函数。不等式(14)是L(t)凸性的一个结果。

当t∈(0,T]时,有

[(‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2)·

(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

I(t)(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

[(u,ut)+(ux,uxt)+(uxx,uxxt)]2]>0 .

由于I(u(t))<0且(u,ut)+(ux,uxt)+(uxx,uxxt)≥0,因此Q(t)在t∈(0,T]上是严格增函数。引理2证毕。

‖uxt‖2+‖uxxt‖2),

(15)

这里

证明由(3)和(11),对于解u(x,t)其中〈u,u〉X*X≠0有以下等式成立,

(16)

首先验证I(0)<0,从(7),(8),(9)和(16)得到

即I(u(0))<0。

假设存在t0∈(0,T0), 使得当t∈[0,t0)有I(u(t))<0并且I(u(t0))=0。由引理2和式(3),(7),(9)及(16)有下列不等式成立,

因此I(u(t0))<0这与I(u(t0))=0相矛盾。所以,当t∈[0,T0), 有I(u(t))<0。

由引理2和式(3),(7)-(9),(14),(16)及Poincaré不等式可知存在一个t∈[tα,T0),使得下列不等式成立

(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

引理3得证。

定理2的证明设T0是u(x,t)的最大存在时间。由引理2和(7),(8),有L(t)>0,L′(t)>0。利用Schwartz不等式,有

(L′(t))2≤4L(t)[‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2]

由(15)式可得,对于每个t∈[tα,T0)有

L″(t)=2‖ut‖2+2‖uxt‖2+

2‖uxxt‖2-2I(t)≥

(p+3)(‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2)。

而有L(t)满足不等式

其中,

根据能量函数的定义知,L(t)≤E(t),因此由L(t)的爆破可知能量函数E(t)的爆破,即有问题(1)-(2)的解u(x,t)在有限时间T*爆破,且有爆破时刻的上界估计为

故定理2得证。