射影几何中对合问题的研究

晋 珺

（晋中学院数学学院，山西晋中030619）

1 维射影变换

1.1 定义

定义1.1两个重叠的一维基本形的射影对应叫做一维射影变换.［1］4

1.2 代数表示

定理1.1两个点列间射应变换的代数表达式为非奇线性对应，

1.3 对应点参数满足的方程

定理1.2两个重叠的一维基本形A+λB，A+λ′B间的射影变换对应点参数满足的条件为

1.4 决定的条件

定理1.3已知三对对应元素则可以唯一决定一个射影变换.（因为三对对应元素就可以确定a：b：c：d，决定了这个变换）

1.5 二重元素（自对应元素）

两个不同实的自对应元素，称为双曲型的射影变换.

两个相同实的自对应元素，称为抛物型的射影变换.

一对共轭虚的自对应元素，称为椭圆型的射影变换.

2 对合

2.1 定义

定义2.1在一维射影变换中，如果对于任何元素，无论看作第一基本形还是第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合.［2］11

2.2 代数表示

定理2.1对合的代数表达式为

证明：射影变换为对合两式相减得且a11=-a22.

2.3 对应点参数满足的方程

定理2.2两个重叠的一维基本形A+λB，A+λ′B成为对合的充要条件是对应点的参数λ与λ′满足以下方程：

由于P和Q是不同点，所以p≠q.

因此，对合的对应点参数满足

所以P→Q，Q→P，此时射影变换为对合.

2.4 决定的条件

定理2.3已知两对对应元素则可以唯一决定一个对合.

证明：由于对合对应点参数满足方程：

可以求得a：b：d确定对合方程.

2.5 二重元素（自对应元素）

两个不同实的自对应元素，称为双曲型的对合.

一对共轭虚的自对应元素，称为椭圆型的对合.

注：在对合方程

由于△=4b2-4ab≠0，所以△＞0时，两个不同实的自对应元素称为双曲型的对合；△＜0时，一对共轭虚的自对应元素称为椭圆型的对合.△≠0，无抛物型的对合.

2.6 双曲型对合的一个性质

定理2.4双曲型对合的任何一对对应元素p-p′，与其两个二重元素E，F调和共轭，即

3 对合相关题型求解

例 1求对合的自对应点坐标 .［3］

解：1）首先排除自对应点为无穷远点，因为（1，0）→（1，0）时，必有a21=0，此题a21=4≠ 0.

2）将对合表达式化为非齐次坐标形式

化为齐次形式，自对应点为（1，1）（-1，2）.

例2已知对合的两对对应元素参数为3→2，5→1，试求此对合方程，并求二重元素.

解：将3→ 2，5→ 1代入

所以此对合方程为