另辟蹊径，让学生在画图中理解算理

郭小玮

[摘要]画图是解决数学问题的重要策略之一。通过画图，可以使抽象的数学问题直观化、形象化、具体化，从而帮助学生理解题意，分析数量关系，提高解决问题的能力，促进数学思想的形成。

[关键词]苏教版;小数除法;画图;算理

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码] A

[文章编号] 1007-9068（ 2020） 20-0033-02

“整数除以小数”是苏教版教材五年级上册第五单元“小数乘法和除法”中的内容，其中小数除法部分还包含了小数除以整数（个位够商1）、整数除以整数（商是小数）、小数除以整数（个位不够商1）、小数除以整十整百整千、小数除以小数。

我在第一个班级教学“整数除以小数”时，按照教材的编排模式，带领学生探究了整数除以小数的竖式书写。

【教学片段一】

出示妈妈在菜场购物的情境图。

师：妈妈在菜场购买了萝卜和番茄，它们的单价和总价如下表所示（表略），你能提一个数学问题吗？

生1：萝卜的总价是1.5元，单价是0.75元/千克，妈妈买了多少千克萝卜？

师：对于这个问题，你会列式计算吗？请在练习本上试一试。

生2：列式是1.5÷0.75。我把0.75和1.5同时扩大100倍，0.75就变成了75，1.5就变成了150，150除以75等于2，所以1.5÷0.75=2（千克）。

生3：我用竖式来计算。先画出竖式计算的除号“厂”，然后在除号里面写上被除数“1.5”，除号外左侧写上除数“0.75”，再去掉除数和被除数的小数点（同时扩大100倍），即将除数0.75前面的0划去变成“75”，被除数1.5的末尾用0补足变成“150”，这样就可以用整数除法计算了。150÷75=2，在被除数个位的上面写上“2”。

师：无论是口算还是竖式计算，都是先把除数和被除数同时扩大相同倍数，也就是转化为整数的除法，然后通过整数除以整数计算出商。

在之后的课堂练习环节，我发现学生只会计算，但并不知道为什么要这样算。因此，在第二个班级教学同一内容时，我吸取教训，通过画图的方法，让学生发现除以一个数（0除外）等于乘上这个数的倒数。

【教学片段二】

出示算式6÷0.5。

师：计算6除以0.5，你会怎么算？

生1：6除以0.5，把除数和被除数的小数点同时向右移动一位，也就是把0.5和6同时扩大10倍，算式变成60除以5等于12，所以6÷0.5=12。

生2：也可以用竖式来计算。先画出竖式计算的除号“厂”，然后在除号里面写上被除数“6”，除号外左侧写上除数“0.5”，再移动除数的小数点，使它变成整数，即除数0.5的小数点向右移动一位变成“5”，同时被除数6的小数点也向右移动一位变成“60”，这时原来的算式就变成了60除以5等于12，所以6二0.5=12。

师：生1和生2都是通过计算得出了整数除以小数的商。再想一想，如果不计算，还可以怎么知道6除以0.5的答案？（板书：6÷0.5=6x

）

生3：可以用画图的方法。先画一个正方形，再平均分成2份，我们知道1里面有2个0.5。再像这样画6个同样的正方形，可以看出有6个2份，所以是6÷0.5=6x2。

师：大家听明白了吗？（板书：6÷0.5=6x2）我们再来回顾一下生3画的图是什么意思。（先个别学生说，再全班学生说）

（板书：4÷1/3=4× ，4÷0.4=4× ，4÷0.5=4× ）

师：请你用画图的方法来解释整数除以小数的结果。

生。：对于4÷1/3=4× ，我先画4个正方形，因为1里面有3个1/3，所以涂色的有4个3，即4÷1/3 =4x3。对于4÷0.4=4x ，我也画4个正方形，因为1里面有2.5个0.4，所以涂色的有4个2.5，即4÷0.4=4x2.5。对于4÷0.5=4x ，还是画4个正方形，因为1里面有2个0.5，所以涂色的有4个2，即4÷0.5=4x2。

师：请你观察每个等式中除号后面和乘号后面的数，你发现了什么？

生5：每个等式中，除号后面的数和乘号后面的数相乘等于1。

师：这两个数互为倒数。因此，除以一个数（0除外）等于乘上这个数的倒数。

【教学反思】

同是教学“整数除以小数”，由于教学目标定位不同，出现了两个完全不同的教学设计。片段一的教学设计按部就班，帮助学生扎实地掌握除法竖式的书写格式和步骤;片段二的教学设计除了让学生掌握除法竖式，还让学生结合画图解释“1里面有几个几”，直观地让学生发现“除以一个数（0除外）等于乘上这个数的倒数”。

1.教学既要利用已知，也要搭建桥梁

学生学习数学知识是一个螺旋上升的过程。教师在教授新知时不仅要利用学生的已有知识和经验，还要为后续的学习做好铺垫。如教学“整数除以小数”时，由于在前面的学习中学生已经经历了大量小数除以小数的竖式计算，因此用竖式计算整数除以小数属于知识的正向迁移，对大部分学生来说并没有难度，但是当被问到为什么要这样计算时，他们就说不出原因了。可见片段一的教学只注重知识方法的传授，让学生掌握整数除以小数的计算方法，却没有让学生明白整数除以小数的计算算理。

因此，我在设计片段二时留给列竖式计算的时间较少，而是腾出时间，让学生用画图的方法把整数除以小数转化成整数乘法，再通过几道同样的例题，让学生发现每个等式中除號后面的数与乘号后面的数相乘等于1，这也为六年级教学“分数乘法”和“倒数”做了铺垫。

相比两种不同的教学设计，我发现学生在学习片段一时毫无压力。而在学习片段二时，刚开始学生一头雾水、不知所措，但是当他们在画图中慢慢发现了整数除以小数的计算方法和算理后，计算整数除以小数就十分得心应手了。

2.教学既要传授知识，还要渗透思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，数学课既要传授基本知识和基本技能，也要传授基本思想方法和基本活动经验。在片段二的教学中，我先出示了整数除以小数的算式，此时学生头脑中首先跳出的是用等式的性质来计算。接着，我引导学生不计算，想办法把这道除法算式变成乘法算式，学生发现可以利用画图直观地呈现除法算式的意义，并结合图形用最基础的“1里面有几个几”来解释，帮助他们顺利得出了整数除以小数的答案。最后，我引导学生去发现数字之间的关系——每个等式中除号后面的数乘上乘号后面的数等于1。虽然这时学生还不知道什么是倒数，但是他们非常巧妙地把除法转化为乘法来计算，体会到了除法与乘法之间的转化关系，感悟了转化的思想。

总之，学生学习整数除以小数的知识，既要熟练掌握怎么计算，还要知道为什么这么计算。相比用抽象的竖式计算，其实直观的画图更好地解释了计算过程，建立了除法与乘法的联系。

（责编李琪琦）