单轴压缩条件下硅质粉砂岩应力阈值研究*

张晓平 吕根根 张 旗 刘泉声 李伟伟 许金林

(①武汉大学土木建筑工程学院，武汉 430072，中国) (②武汉大学岩土与结构工程安全湖北省重点实验室，武汉 430072，中国) (③中国水利水电第三工程局有限公司，西安 710024，中国)

0 引 言

岩石变形和破坏是一个渐进的过程，包含微裂纹萌生、扩展和聚集(Martin et al.，1994)。经过国内外众多学者针对岩石的变形破坏过程的深入研究(Hoek et al.，1965; Scholz，1968; Wawersik et al.，1971; Eberhardt et al.，1999; Cai et al.，2004; 张晓平等，2011; Zhou et al.，2014; Cheng et al.，2016; 钟志彬等，2017)，目前形成了有关于脆性岩石变形及破坏过程的较为统一的结论。研究结果表明脆性岩石的破坏过程可以划分为5个阶段：Ⅰ裂纹闭合阶段；Ⅱ弹性变形阶段；Ⅲ裂纹稳定扩展阶段；Ⅳ裂纹不稳定扩展阶段；Ⅴ破坏峰后阶段。这5个阶段的划分与4个应力阈值密切相关，包括裂纹闭合应力(σcc)、裂纹起裂应力(σci)、裂纹损伤应力(σcd)和峰值应力(σf)。裂纹闭合应力(σcc)为弹性变形阶段的起始点，表征着岩石内部原生微裂纹的闭合结束；裂纹起裂应力(σci)为裂纹稳定扩展阶段的起始点，表征着岩石内部新生微裂纹萌生的开始；裂纹损伤应力(σcd)则表征着岩石内部新生微裂纹开始交互贯通，岩石的渐进性破坏过程进入裂纹不稳定扩展阶段；峰值应力(σf)为试样的峰值应力点。因此，岩石内部微裂纹的闭合、起裂及扩展与裂纹闭合应力(σcc)、裂纹起裂应力(σci)及裂纹损伤应力(σcd)特征强度密切相关。

为了获取单轴压缩条件下岩石试样的应力阈值，国内外研究学者围绕应力阈值的确定方法开展了一系列的研究。Brace et al. (1966)研究了花岗岩、大理石和细晶岩的裂纹萌生和扩展，结果表明，裂纹起裂应力对应于应力-应变曲线线性段的偏离点。Lajtai(1974)指出在脆性岩石的破坏过程中，岩石横向应变比轴向应变对裂纹的发展更敏感，并将横向应变曲线偏离线性段的点作为裂纹起裂应力阈值。Martin et al. (1994)开展了Lac du Bonnet花岗岩单轴压缩条件下的破坏研究，提出了一种通过计算岩石总体积应变和裂隙体积应变来获得应力阈值的新方法，发现该岩石试样起裂应力(σci)约为其单轴抗压强度的0.4～0.5倍，并开展了岩石试样缓慢加载速率下的单轴压缩试验，认为岩石试样的裂纹损伤应力(σcd)为长期强度值。Eberhard et al. (1998)研究了脆性岩石单轴压缩条件下裂纹的萌生与扩展，并对破坏过程中的声发射特征值进行了分析，结果表明，声发射响应特性在裂纹起裂应力和裂纹损伤应力前后有着明显的差异，并提出了采用移动点回归技术来分析、确定裂纹起裂应力和裂纹闭合应力的方法。Nicksiar et al. (2012)引入了横向应变响应方法来确定火成岩、沉积岩和变质岩中的裂纹起裂应力，研究表明，岩石的裂纹起裂应力大多在岩石单轴压缩强度的0.42～0.47之间。李鹏飞等(2015)对新疆天湖花岗闪长岩开展单轴压缩试验，结合多种应力阈值获取方式分析岩石试样的裂纹起裂应力。李存宝等(2017)采用裂隙体积应变法研究了页岩的围压及层理倾角不同对起裂应力、损伤应力的影响。刘泉声等(2018)在砂岩的渐进性破坏试验中加入声发射监测设备，通过分析砂岩试样单轴压缩条件下的应力-应变曲线与声发射信号监测数据，判定其各应力阈值的大小。

综上所述，脆性岩石在单轴压缩条件下的渐进性破坏过程一直是众多国内外学者的研究重点，合理确定岩石应力阈值对于客观地描述岩石在变形破坏过程中所处的阶段及细观裂纹演化规律具有重要意义。目前国内外研究中关于应力阈值的确定方法很多，但不同方法对于获取应力阈值的可靠性却无法定论，且很多研究学者仅是借助各种应力阈值获取方法，并未考虑其适用性。本文以新疆硅质粉砂岩为例，进行岩石试样单轴压缩试验下的应力-应变测量，研究其在单轴压缩条件下的变形及破坏特征，并比较了获取应力阈值的几种不同方法，分析其各自方法的优缺点，选择一种优化方法来较为可靠地获取硅质粉砂岩试样应力阈值。

1 试验试样及设备

本次试验试样取自新疆维吾尔自治区尼勒克县硅质粉砂岩，严格按照水利水电工程岩土试验规程的规定，通过切割和抛光打磨将试样加工成直径为50imm，高度100imm，误差不超过0.5imm的圆柱形标准试样。试样的平均密度为2.89g·cm-3，平均纵波波速为4340im·s-1。试样呈暗灰色，微晶结构，内含石英、长石等矿物。单轴压缩试验是在武汉大学土建学院岩土实验室RMT-301电液伺服岩石力学试验机上进行的。加载采用轴向位移控制模式，加载速率为0.001imm·s-1。利用4个位移传感器来测量试样的轴向应变及横向应变，用以分析裂纹演化过程中岩石的变形规律。在试验测试之前，试样的末端涂上凡士林以减少端部效应。应变测量(位移传感器)的试验装置如图 1所示。

图 1 应变测量(位移传感器)的试验装置Fig. 1 Experimental setup for strain measurements(displacement sensors)

2 岩石裂纹演化特征

2.1 裂隙体积应变分析

Martin et al. (1994)对加拿大核废料处置库Lac du Bonnet花岗岩进行了一系列试验研究，提出了裂隙体积应变法(CVS)求解应力阈值的方法，将岩石单轴压缩条件下的体积应变分为弹性体积应变和裂隙体积应变两部分，通过总体积应变减去弹性体积应变得到计算裂隙体积应变，下式为计算裂隙体积应变法具体计算步骤：

(1)

式中：εve，ΔV，ΔVelastic，E，μ分别对应的是弹性体积应变、试样体积、弹性体积、弹性模量和泊松比。

在单轴压缩条件下σ3=0，然后通过轴向应变和横向应变计算总体积应变εv：

εv=ΔV/V≈εaxial+2εlateral

(2)

式中：εaxial，εlateral分别为试样轴向应变和横向应变。

εvc=εv-εve

(3)

式中：εvc为计算裂隙体积应变。

硅质粉砂岩岩石试样的特征应力阈值(σcc，σci，σcd，σf)如图 2所示。岩石的变形及破坏过程本质上即是其内部微裂纹的发育发展，试样受压的初始阶段为裂纹闭合阶段(阶段Ⅰ)，该阶段的曲线特征与试样原始裂纹的密度及几何特性等发育情况密切相关，例如某些岩样内部裂隙发育不良或不发育，则此阶段是不存在的，一般而言，裂纹闭合阶段的轴向应力-轴向应变曲线呈现下凹状，该阶段轴向应变表现出十分明显的非线性，总体而言试样的体积表现为缩小现象，试样呈现为压缩状态。

随着加载的持续进行，当试样一直处于压缩状态下直至内部所有原生微裂隙全部闭合结束，此时特征应力阈值为裂纹闭合应力点(σcc)，岩石试样处于弹性变形阶段(阶段Ⅱ)，本阶段岩石试样在受压状态下的横向应变及轴向应变均呈现为线性减小状态，岩石试样总体积应变随之减小，此时的岩样加载状态处于线性压缩阶段，国际岩石力学与工程学会(ISRM)规定通常采用此线性阶段的应力-应变曲线来分析确定岩石试样的常规力学指标如泊松比μ及弹性模量E等(Bieniawski et al.，1979)。

随着试样加载的持续进行，岩石试样的轴向应变依然保持线性增长状态，而横向应变曲线开始偏离线性变化的时候，此时的试样加载状态开始进入裂纹不稳定扩展阶段(阶段Ⅲ)，该阶段体积应变曲线不再呈现出线型比例变化的状态，而是表现出非线性增长的相对扩容状态，此时岩样仍然处于压缩状态，该应力阈值为该岩样的裂纹起裂应力点(σci)，只有持续增加轴向荷载才能使裂纹增加。

图 2 硅质粉砂岩单轴压缩应力-应变曲线Fig. 2 Stress-strain curves of siliceous siltstone in uniaxial compressive testa. 试样1；b. 试样2

试验持续加载直至轴向应力达到岩石的裂纹损伤应力(σcd)时，随着岩石试样两端轴向应力的持续增加，其横向应变与轴向应变均呈现为非线性变化状态，此时体积应变曲线开始发生转折，表明岩石试样加载体积应变从压缩状态向扩张状态变化。因此，众多学者普遍认为岩石试样扩张现象开始的重要标志之一即是试样加载至裂纹损伤应力(σcd)。

闭合应力(σcc)与起裂应力(σci)对应计算裂隙体积应变曲线中的水平段。从图 2可以看出，横向应变-轴向应力曲线由闭合应力值处开始由非线性变为线性，从起裂应力值处开始由线性变为非线性。裂纹起裂应力(σci)很难通过人为观察应力-应变曲线来确定，尤其是含有较多裂隙的试样。损伤应力(σcd)是试样体积应变曲线中的反转点，损伤应力大小的判定方式已经被众多研究学者广泛接受，此时体积应变达到最大值，试样体积由压缩转为扩容，代表着裂纹不稳定扩展阶段Ⅳ的开始，在应力-应变曲线上表现为应变速率的显著增长，其主要原因是相邻张拉裂隙相互连接贯通，剪切带逐渐形成，并最终贯穿造成宏观破坏面。

Eberhard et al. (1998)指出裂隙体积应变法确定应力阈值受泊松比的影响比较明显，泊松比发生小范围的波动就会导致裂纹起裂应力(σci)的值会发生明显改变，而横向应变的非线性变化使得泊松比的测量变得十分复杂，图 3给出了硅质粉砂岩在两个不同泊松比值下求解裂隙体积应变的结果，这里泊松比取值采取以图 2求解裂隙体积应变时采用的泊松比和其值上下0.05(试样1︰0.10，0.10±0.05；试样2︰0.11，0.11±0.05)。由图 3可以看出，不同泊松比求解的裂隙体积应变趋势是大致相似，不同之处在于曲线趋近零点(σcc)的位置和偏离零点(σci)的位置。当泊松比取值不同时，裂隙体积应变曲线差异明显。表 1给出了试样1与试样2在不同泊松比下σci和σcd的求解结果，通过对比分析发现，计算泊松比选取越大，求解出的裂纹闭合应力与起裂应力越大，证明泊松比的变化确实能够影响裂纹闭合应力与起裂应力值的获取精度，这与Eberhard et al.(1998)的研究结果一致。因此，当采用裂隙体积应变法求解起裂应力时，要客观地找出相对正确的泊松比，避免因泊松比取值差异造成较大的误差。

图 3 硅质粉砂岩不同泊松比计算裂隙体积应变Fig. 3 Crack volumetric strains calculated with different Poisson’s ratios of siliceous siltstonea. 试样1；b. 试样2

表 1 不同泊松比求解裂纹闭合应力及起裂应力值Table1 Crack closure stresses and crack initiation stresses obtained with different Poisson’s ratios

岩样编号泊松比裂纹闭合应力σcc/MPa裂纹起裂应力σci/MPa试样10.0519.350.90.1047.4102.90.1598.9115.70.0632.451.1试样20.1146.467.20.1659.080.7

2.2 移动点回归技术

移动点回归技术(MPR)是一种对应力-应变曲线或体积应变曲线求解一阶导数的方法。从起始点开始，以一定的间距(一般为数据总量的5%或10%)对曲线求解该段斜率，然后向后滑移一定数据点求解本区间的斜率，重复求解最后获取整个加载区间的斜率变化规律，并针对曲线上的一些关键性拐点进行分析，以此求解岩石试样的关键应力阈值。

图 4 移动点回归技术获取轴向刚度曲线与体积刚度曲线Fig. 4 Volumetric stiffness curves obtained by moving point regression techniquea. 试样1；b. 试样2

本文中对硅质粉砂岩试样体积应变曲线进行了以20个数据点为区间的移动点回归分析，其结果如图 4所示。在硅质粉砂岩试样单轴压缩条件下的渐进性破坏过程中，对于试样的体积刚度曲线，从试样加载开始，随着裂隙的闭合，试样体积刚度从0开始增加，体积刚度曲线进入一段不稳定增长阶段；从A(D)点开始，曲线开始进入稳定波动阶段，对应弹性变形阶段，A(D)点对应裂纹闭合应力(σcc)；随着加载的继续，体积刚度曲线在B(E)点发生波动，斜率出现明显上升或波动，当加载强度达到B(E)点时，体积应变曲线斜率发生变化，岩样内部开始出现新生微裂纹，B(E)点对应裂纹起裂应力(σci)；直到加载强度达到C(F)点，体积刚度曲线由正值迅速降为负值。C(F)点之前试样一直处于体积压缩状态，C(F)点之后试样变为体积扩容状态，岩石内部裂纹逐渐连接贯通，裂纹密度增加迅速，C(F)点为裂纹不稳定扩展阶段的起始点，对应裂纹损伤应力(σcd)。

移动点回归法是对试样加载过程中的体积应变曲线变化连续分析，为岩石试样单轴压缩状态下的变形破坏机理研究提供了较为有效的分析手段。相较于裂隙体积应变法求解应力阈值，移动点回归法避免了泊松比等岩石物理力学参数对应变分析的影响。移动点回归法的缺点是仍然需要人为分析曲线中的关键拐点，且对于一些体积刚度曲线变化不明显的岩样(如试样2)，该方法一定程度上降低了求解的客观性。

图 5 横向应变响应法原理示意图Fig. 5 Principle of the lateral strain response method

2.3 横向应变响应法

Nicksiar et al. (2012)提出了以横向应变分析为基础求解应力阈值的方法。为了减少主观误差，将横向应变差的最大值点作为裂纹起裂应力点(σci)。横向应变响应法(LSR)的求解原理如图 5所示，首先通过对轴向应力-体积应变曲线分析，获取体积应变曲线中的最大值点作为裂纹损伤应力(σcd)；在轴向应力-横向应变曲线中选取裂纹损伤应力点和零点作一条参考线；在相同的轴向应力水平下，将实际横向应变与参考线相减求解横向应变差；以横向应变差与轴向应力的关系作图，通过对数据点进行多项式拟合，拟合曲线的最大值即为裂纹起裂应力(σci)。

采用横向应变响应法求解裂纹起裂应力的关键在于找出裂纹损伤应力点(σcd)，图 6给出了硅质粉砂岩试样采用横向应变响应法求解裂纹起裂应力的多项式拟合结果。从图上可以看出，采用横向应变法求解裂纹起裂应力方法中，通过对数据点进行多项式拟合求极值也是具有唯一性的，这种方法就避免了人为主观误差，保证了求解值的客观性。分析图 5可以看出，横向应变差峰值点即为横向应变曲线上的点做切线的斜率与参考线的斜率相同的点，该方法的主要缺点在于未阐释求解原理的物理意义，仅从数学意义方面对其进行讨论。此外，采用横向应变响应法获取岩石的起裂应力时，裂纹损伤应力的确定是该方法的关键依赖因素。对于孔隙率较高的岩石类型，此方法具有很强的局限性(Nicksiar et al.，2012)。

图 6 硅质粉砂岩横向应变差拟合曲线Fig. 6 Curves of lateral strain difference of siliceous siltstonea. 试样1；b. 试样2

2.4 基于移动点回归技术的裂隙体积应变法

通过对硅质粉砂岩两组试样在单轴压缩条件下的渐进性破坏过程分析，其采用移动点回归技术获取应力阈值具有一定的主观性；横向应变响应法虽减轻了人为主观因素的干扰，但其缺乏实际的物理求解意义；裂隙体积应变法虽能一定程度上减轻人为误差，但其应力阈值的获取易受泊松比的影响。综合考虑3种分析方法的优缺点，建议采用移动点回归技术与裂隙体积应变法相结合的分析方法获取硅质粉砂岩试样应力阈值，其求解过程如下：

(1)分析岩石的轴向应力-轴向应变曲线，采用移动点回归技术以一定间距点(文中采用总数据的10%)对该曲线求一阶导数得到轴向刚度随轴向应力增加的变化曲线，从中选取曲线稳定段的平均值为该岩石的弹性模量Eave。

E=dσ/dε1

(4)

式中：dσ为岩石的轴向应力增量；dε1为岩石的轴向应变增量。

(2)采用移动点回归技术以一定间距点获取横向应变差和轴向应变差的比值，即求解泊松比随轴向应力增加的变化曲线，选取该曲线中稳定段的平均值作为弹性变形阶段的泊松比μave。

μ=dε3/dε1

(5)

式中：dε1和dε3分别为岩石的轴向应变增量和横向应变增量。

(3)根据步骤1和步骤2获取的稳定弹性模量Eave和泊松比μave，利用裂隙体积应变法中的式(1)、式(2)及式(3)求解获得岩石的体积应变曲线及计算裂隙体积应变曲线，从而确定岩石的应力阈值。

图 7 硅质粉砂岩轴向刚度曲线Fig. 7 Axial stiffness curve of siliceous siltstonea. 试样1；b. 试样2

采用移动点回归技术获取硅质粉砂岩试样的轴向刚度变化曲线(图 7)，由于荷载历史的原因，试样内部存在一定的原始微裂隙，故在试样加载的初始阶段，试样内部原始微裂隙逐渐闭合，伴随着轴向应力的增加，轴向刚度曲线一直处于增长状态；当试样内部的原始微裂纹闭合完毕，轴向刚度曲线在一定范围内上下波动，试样加载状态进入弹性变形阶段，故将该阶段内轴向刚度的平均值视为硅质粉砂岩试样的弹性模量Eave。

对硅质粉砂岩试样单轴压缩条件下的泊松比曲线分析如图 8所示，在试样加载的初始阶段，随着轴向应力的增加，岩石试样本身的轴向应变与横向应变也在持续增加，但是横向应变速率大于轴向应变速率，即试样的泊松比是一直处于增大的状态；当岩石试样加载处于弹性变形阶段时，该阶段的泊松比在一定范围内上下波动或增长速率相对缓慢，故取本阶段计算泊松比的平均值作为岩石弹性阶段的泊松比μave。

表 2 不同方法求解硅质粉砂岩应力阈值结果Table2 Results obtained with different methods for determining σcc，σci and σcd of siliceous siltstone

试样编号σcc/(σcc/σf)σci/(σci/σf)σcd/(σcd/σf)σfCVSMPRCVSMPRLSRCVS试样147.4(0.22)57.5(0.26)102.9(0.47)96.0(0.44)135.4(0.62)214.5(0.99)217.3试样246.4(0.37)48.1(0.38)67.2(0.54)66.5(0.53)68.7(0.55)115.2(0.92)125.3

CVS、MPR、LSR分别代表裂隙体积应变法、移动点回归法与横向应变响应法；σcc，σci，σcd，σf单位为MPa

图 8 硅质粉砂岩泊松比曲线Fig. 8 Poisson’s ratio curve of siliceous siltstonea. 试样1；b. 试样2

通过将硅质粉砂岩试样在移动点回归技术下获取的较为稳定的弹性模量E和泊松比μ代入计算裂隙体积应变求解步骤，最终由裂隙体积应变法获取的应力阈值结果如图 2所示。将优化后裂隙体积应变法应力阈值的求解结果与移动点回归法、横向应变响应法一起列入表 2。对于裂纹闭合应力与起裂应力的计算结果，裂隙体积应变法与移动点回归法有一些差别，其主要影响因素为移动点回归法需要人为分析其曲线拐点；裂纹损伤应力的求解方式目前普遍采用裂隙体积应变法。对于试样1起裂应力的获取结果，裂隙体积应变法与移动点回归法的求解精度较接近，而横向应变响应法的计算结果显著高于裂隙体积应变法与移动点回归法。试样之间应力阈值计算结果的差异是由于岩石取自新疆某引水隧道工程，岩石试样内部的构造差异是造成该现象的主要原因。

3 结 论

本文通过对硅质粉砂岩试样进行单轴压缩试验，研究其在单轴压缩条件下变形破坏过程中的应力-应变响应，通过对比分析多种应力阈值获取方式，得出如下结论：

(1)当采用裂隙体积应变法求解应力阈值时，获取的应力阈值物理意义较为明确，且减轻了人为主观因素的干扰，但其结果易受泊松比取值的影响；当采用移动点回归技术求解应力阈值时，摆脱了对于泊松比的依赖，但其主观性较强，且当曲线的特征拐点不明显时误差较大；横向应变法在很大程度上减轻了人为因素的干扰，但其求解方式缺乏实际的物理意义。

(2)采用基于移动点回归技术的裂隙体积应变法获取应力阈值时，该方法结合了移动点回归技术与裂隙体积应变法的优点，一定程度上减轻了泊松比取值误差的影响，其求解过程相对客观且物理意义较为明确。