浅议平面向量的运算

陈海平

摘要：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着及其丰富的实际背景，它源于物理学概念与理论，又通过自身的演绎、发展，形成了自己一系列的科学体系。在初等数学中具有很重要的地位和作用。由于向量有别于数量，它既有大小又有方向，因此很多地方与数量不同，本文通过对平面向量的运算的探讨，揭示向量与数量的区别与联系。

关键词：平面向量;运算法则;运算律

一、如何认识平面向量

1.理解概念：既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中位移，速度，力等都是向量，在物理学中向量又叫做矢量。如果我们探讨的向量都位于同一个平面内，则把这些向量叫平面向量。从向量的定义中看出，向量不同于数量的地方就是它含有“方向”这个要素。两个向量不能比较大小，但它们的“模”可以比较大小（向量的大小叫做向量的模），两个向量相等必须是模相等且方向相同。

2.认识运算：平面向量运算包括加法、减法、数乘运算、内积运算等。加法、减法是指两个或多个向量之间可以进行加法、减法运算，运算要按照平行四边形法则或三角形法则进行，其运算法则来源于物理学中共点力的合成定则。向量的加法、减法结果仍是一个向量，向量和实数不能进行加、减运算。向量的数乘运算是指向量可以与一个实数相乘，其结果仍然是一个向量。向量的内积是指两个向量之间的一种乘积，结果是一个数量，因此，向量的内积又叫数量积、“点积”。这种乘积也源自物理学，比如物理学中“功”的定义。向量的乘法还有两种：“外积或叉积或矢量积”与混合积。目前，在高中阶段只要求了解平面向量的加法、减法、数乘、内积这几种运算。

3.突出向量与数量的区别：从概念中就应该知道，向量是在数的基础上加了方向这个要素，这样一来向量比较大小就没有任何意义了。数可以进行连加、连乘运算，向量也可以进行连加运算，但是没有连乘，向量没有任何意义，与虽然有意义，但是它们不相等，这与我们对实数乘法运算的认知是不是有很大差别？向量在几何上是用一条有向线段表示的，它更像一个几何概念，向量的加法遵循三角形法则或平行四边形法则，向量的摸等于2，向量的摸等于3，那么向量的摸等于5吗？当然不对。因此，学习向量时，必须注意它与数的区别。

4.牢牢抓住向量坐标的运算工具：平面向量的基本定理，给了我们向量的另一种表示法，它再次地把数和形完美地统一了起来。有了向量的坐标，就大大方便了我们探讨向量的垂直与共线。同时为探究平面两点间距离公式及中点坐标公式提供了方法。

二、平面向量的运算及运算律

1.平面向量的加法：平面向量的加法有两种法则：三角形法则与平行四边形法则，这两种法则是等价的，它们的逻辑顺序是先有平行四边形法则，然后推出三角形法则。这是因为平行四边形法则是由物理学实验验证的结论，然后结合自由向量的概念衍生出了三角形法则。（如图）

由平行四边形法则，容易得出向量加法的交换律：

三角形法則的使用条件是：两个向量要首尾相接，即求向量时，的起点要接的终点，然后由的起点指向的终点的向量就是。 这样一来，对于共线向量也可以按照三角形法则求和的方法求共线向量的和了，这说明三角形法则可以看作是平行四边形法则的推广，它适用于任意两个向量的求和。

用三角形法则，可以非常方便地对多个向量连续求和，只需要让这些向量保持首尾相接即可。

2.平面向量的减法：“减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量”。通过相反向量，把向量的减法于加法统一成了一种运算，为向量的线性运算提供了方便。

3.平面向量的数乘运算：“实数与向量的乘积仍是一个向量，记作，叫做的数乘向量，这个向量的摸等于，方向：当时，与同向，当时，与反向，当时，就是零向量”。在规定了零向量与任何向量同向后，通过数乘向量，得出了“两个向量与共线的充分必要条件”：存在唯一确定的实数，使（或）成立。它是后面“平面向量基本定理”的基础。

5.平面向量的内积：我们把，及三个数的乘积叫做向量与的内积（这里符号表示向量与的夹角，范围：，显然有），记作，即。向量的内积源自物理学中“功”的定义，具有现实的指导意义。

内积的运算律：交换律;分配律;

特别需要强调，乘法（内积）结合律不成立，即一般地，想想与各自的含义，就不难理解。同样的，消去律也不成立，即不能由，推出，因为可能不共线，即便它们共线，方向也可能相反。这与实数乘法的运算律有很大区别，学习中，如果不注意，往往由于知识的负迁移，容易把实数运算律搬到向量中来，产生不必要的错误。

对于交换律，由内积的定义，结合实数的运算律是很容易证明的，而分配律的证明就不太容易，需要用到向量的射影定理。

有了向量内积运算的分配律，我们在后面推导向量内积的坐标运算法则时就有了依据，使得向量和与向量和的内积也可以按照多项式乘法展开计算了。

三、平面向量的坐标及向量的坐标运算

1.平面向量基本定理：设与是平面内两个不共线向量，则对于平面内任意一个向量，必存在唯一有序实数对，使得成立。

这个定理，根据前面定义的向量加法的平行四边形法则，很容易得到证明，这里把证明留给读者。

2.平面向量的坐标：设、分别是与x轴、y轴同方向的两个单位向量，由平面向量基本定理知，平面内的任意一个向量，都存在唯一有序实数对，使得

以上对平面向量运算的探讨，有助于学生对向量的认识和理解，当然，限于篇幅，有些地方过于简单，仅供参考。