基于“四个理解”的高中数学模块化研学

摘    要：数学教学是在理解数学、理解教学、理解学生、理解技术基础上的思维与实践活动.高中数学模块化研学基于知识模块展开片段式和局部性的学习研究，追问本质，厘清关系，构建结构，使学生的思维过程条理化、显性化、层次化，以数学思维的不断进阶，打通知识到素养的通道，实现造就优秀大脑的目的.

关键词：四个理解;模块化研学;抛物线的标准方程;数学思维

高中数学模块化研学是指在数学教学活动中，按知识的发生发展自然形成的若干学习模块展开片段式和局部性的学习研究活动，通过不断地追问本质、厘清关系、构建结构等一系列思维过程，促思维、长智慧、提学力，促进学生的研究力、理解力、应用力和创新力提升，形成系统思维的结构观念[1].

数学教学要在理解数学、理解教学、理解学生、理解技术的基础上设计和践行活动.基于“四个理解”的高中模块化研学如何促进学生形成积极的内在动机，形成兼具务真性、批判性、创造性的基本思维特征？现以《抛物线的标准方程》教学为例加以说明.

一、理解数学   高中数学模块化研学之本

理解数学，就是从整体上把握教材的结构，把握知识产生的背景和前后联系，把握其蕴含的数学方法[2].章建跃博士认为：“要充分发挥‘一般化观念对数学创新活动的引导作用，引导学生构建研究数学对象的基本路径，获得有价值的数学结论.” [3]抛物线是学生高中阶段接触到的第三种圆锥曲线，所以，椭圆、双曲线的研究思路是学生开展研学活动的基础.通过研学方法的联想类比、迁移应用，让数学思维在相关知识的轨道上运行和展现，能激发学生愿意尝试和基于逻辑合理猜想的意愿，引发学生进行新知探索并产生高阶思维，体现数学的整体性、逻辑的連贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性.

【教学实录】概念起始模块的研学过程

师：解析几何的实质是用代数的方法解决几何问题.前面我们学习了椭圆和双曲线两类圆锥曲线，那么研究它们的思路是什么？

生（齐答）：先推导标准方程，然后研究其性质.

师：如何推导标准方程呢？

生（齐答）：建系，设点，列式，化简.

师：我简单总结一下：以椭圆为例，首先看其图形特征（到两定点的距离和为定值），然后推导得出标准方程，接下来研究其性质.其过程是从形到数再到形.

教师板书总结.

师：今天，我们采用同样的研究路径来研究抛物线.

【设计意图】模块化研学通过从数学的角度抽象出一类事物本质特征，形成对相似问题的研究方法.没有逻辑联系，就没有思想方法的统整，知识的生成就没有生命力.本节课的起始模块，选取与新知有相似关系的圆锥曲线进行类比联系，唤醒学生已有的思维策略和思维方法.建系，设点，列式，化简，证明，是学生熟悉的椭圆、双曲线的研究方法，用其来审视抛物线，并将其迁移应用于抛物线标准方程的推导之中，能成功推导出抛物线的标准方程.这种有序的研究思路，能从整个圆锥曲线的知识模块中进行类化方法系统，提升数学观念.

二、理解教学   高中数学模块化研学之道

理解教学，就是灵活选择教学活动的组织方式，引导学生以研学视野从不同角度看待问题、分析问题和思考问题，形成对一个问题更准确、更全面和更深刻的认识.课堂创新的本质在于教学过程中如何激发学生更好地思考，重视思维化教学.教学中，教师要帮助学生确立研究意愿，明确研究对象的一般逻辑顺序，有意识地让学生确立研究的框架和手段，引导学生注重内容、路径、方法的归纳总结，帮助学生由“学科思维”逐步走向“学会思维”，由“认同性思维”走向“批判性思维”.

【教学实录】抛物线标准方程推导模块的研学过程

师（给出图1）：研究了抛物线的定义后，下面我们应该做什么？

生（齐答）：推导方程.

师：推导圆锥曲线的标准方程，一般要经历哪些过程？

生（齐答）：建系，设点，列式，化简，证明.

师：很好，请大家来推导一下抛物线的方程，然后小组交流.为了研究的方便，我们统一约定定点F与定直线l间的距离为p.

（学生自行研究推导，并进行小组交流）

师：哪位同学来展示一下研学成果？

生1：我们以直线l为y轴，以过点F垂直于l的直线为x轴，建立如图2所示的直角坐标系.

师：很好，具体推导过程给大家讲一讲.

生1：如图2，显然定点[F（p，0）]，设抛物线上任意一点[M（x，y）]，M在定直线l上的投影为[M′].根据题意[MF=MM′]，即[（x-p）2+y2=x] ，化简可得方程为[y2=2px-p2].

师：从建系，设点，列式，化简等研究步骤来看，上面的推导很完整，大家有没有问题？

生2：我有一个疑问，等式中出现了[x]的绝对值，为什么？

师：这是一个很好的问题，大家想想这是为什么？要不要加？

生1：[x]的绝对值代表点到y轴的距离，如果点[M（x，y）]在点[M′]的左边，这时候必须要加.

师：这位同学提出了一个很好的话题，涉及抛物线的不同开口方向问题，这一点，我们在后面会继续研究.

师：还有其他的建系和推导方式吗？

生2：我们是以F点为原点，平行于直线l的直线为y轴建立平面直角坐标系，我们得到的方程为[y2=2px+p2].（图略）

生3：我们推导的方程更为简单.我们在初中研究的抛物线，大多顶点在原点，因此，我们取过点F且垂直于l的直线为x轴，x轴与l交于N，以线段NF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，我们得出的方程为[y2=2px].（图略）

师：同学们的研究能力太强了.其实，建系的方式可以有[n]种，得出的抛物线方程也会有[n]种不同的形式.但这些方程有内在关联.

生（一脸茫然）：有关联吗？

师：（几何画板演示，如图3）我们可以从图象的左右平移中发现其内在的关联，看出方程间的关系.

师：所以，我们把形如[y2=2px（p>0）]的方程叫作抛物线的标准方程.

师：刚才有同学提出了抛物线的开口方向问题，我们来思考一下，可能会有几种常见的不同开口方向？

生4：应该有四种吧.向右，向左，向上，向下.我不太确定.

师：好的.按照这位同学的猜想，大家来推导一下相应的标准方程.（学生小组合作进行推导并交流）

师：哪个小组来展示一下？

生5：我们组的研究结果是这样的.（展台展示，教师指正修改，如图4）

师：不错，这个组以抛物线的顶点为原点，推导了4种形式的抛物线方程.我们把形如[y2=2px（p>0）]，[y2=-2px（p>0）]，[x2=2py（p>0）]，[x2=-2py（p>0）]都稱为抛物线的标准方程.

师：我们来继续研究.对于形如[y2=2px（p>0）]的抛物线，我们知道其开口向右，顶点为[0，0]，焦点[F（p2，0）]，准线方程为[x=-p2]，那么其他开口方向的抛物线的性质是怎样的？请大家继续研究.

生6：（展台展示，教师及时指正）我们的研究结果如图5.

【设计意图】模块化研学通过迁移进阶化、思维可视化，加深对关联概念之间差异性的认识，着力培养学生形成说理、批判、质疑、反思的理性思维习惯.本模块的学习，借助熟悉的研究圆锥曲线的框架流程，以三种不同形式的建系方式，得出相应的方程，关联比较后，自然得出标准方程.在此基础上，推导不同开口方向的抛物线标准方程，并相应得出性质.这种从统领性问题出发，以一般性研究视角，不断地将新概念纳入已有概念体系，帮助学生在相互联系中认识其本质，形成知识的系统结构，有利于学生获得数学基本思想和基本活动经验.

三、理解学生   高中数学模块化研学之要

理解学生，就是研判将学的数学知识与学生已有认知基础的联系，明察学生的思维层次，顺应学生思维的“最近发展区”，创造适合学生认知水平且有挑战性的研学活动，不断丰富学生研学的视野，提炼一般的数学思想，建立研究问题的框架导图.结构性思维的确立，教师要作为教学活动的引导者和组织者，通过设计新颖而不断深入的问题情境，体现对学生探索、求知的尊重，引导学生确立研究问题的思维路径，不断地发现问题、生成问题，然后完善问题、发展问题.

【教学实录】抛物线性质的研学过程

师：认识了抛物线的性质，下面我们一起来研究例1.（过程略）

例1   求抛物线[y2=4x]的焦点坐标和准线方程.

变式探究1   求抛物线[x2=4y]的焦点坐标和准线方程.

变式探究2   求抛物线[y=4x2]的焦点坐标和准线方程.

变式探究3   求抛物线[y2=ax（a≠0）]的焦点坐标和准线方程.

【设计意图】模块化研学通过概念理解、变式驱动、知能入框三大环节，实现理解数学概念、解释数学思想、反思数学思维的效能.本模块围绕一个母题进行变式研究，通过不同形状位置的反复变换，结合数形结合和分类讨论两种数学思想，确立“先定形，后定量”的同一类问题的思维导图.这种基于一个问题的深度变式研究，能让学生学会猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路与方法，也让学生对数学本质的认识逐步明朗且不断深化，实现对核心问题的“明朗化”和“再聚焦”.

四、理解技术   高中数学模块化研学之效

理解技术，就是紧密围绕课堂教学主线，在思维的疑难处和关键处，通过技术创设直观的教育形态，突破学生思维的难点和盲点，促进更深层次的迁移性学习.现代教育技术具有“思维可视化”的特点，能突破传统教学无法给学生提供的动态展示，使得抽象的数学模型变得直观化，也让学生数学地“看”和“学”有了更多的可能.合理使用教育技术，不仅可以改善课堂的教学形态，也为学生理解数学提供了新的认知途径，思维时空得到突破，思维能力得到增强，探寻数学新知的能力得到锻炼.

【教学实录】抛物线定义理解模块的研学过程

师：给出抛物线的定义.在平面内，与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.（几何画板进行演示）

师：同学们，审视一下抛物线的定义，有怎样的启示？

（学生进行小组讨论）

生：一个定点F和一条定直线l.

生：l不经过点F.

师（追问）：如果l经过点F，则点的轨迹是什么？

生：（展开讨论）是过点F且垂直于l的一条直线.

（教师用几何画板进行验证）

师：（板书）抛物线的定义可以概括为：一动三定.一动：即形成轨迹的动点M.三定：即一定点：F为焦点;一定直线：l为抛物线的准线;一定值：点M到点F的距离与它到定直线l的距离相等.

师：（总结）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;当l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.

【设计意图】模块化研学的过程体现为抽象化认识、图表化演绎、研学化推进、框架化构建的特点，学生不断提炼总结，从思路、知识、方法等方面进行归纳，形成模块的思维逻辑结构.本节课，教育技术的使用虽然不多，但在本模块的学习中，紧扣抛物线概念的组成要素，针对l不经过点F的知识模糊点等，借助几何画板进行一般观念的直观验证，有利于学生深刻理解概念，形成研学思考的习惯.同时，在抛物线方程的推导过程中，为发现在不同建系方式下得出的不同方程间的内在联系，借助几何画板，通过图象移动，直观地呈现出不同方程的内在联系，自然地引出抛物线标准方程，有利于学生从形象思维和直觉思维过渡到逻辑思维.

总之，追寻数学的本源，把握数学的本质，体悟数学思想的内涵，培育分析探求、解决问题的科学思维习惯和理性精神，高中模块化研学应当可以有更大的作为.

参考文献：

[1]王晓东.高中数学教学：理论思考与研学实践[M].南京：南京大学出版社，2019：105-114.

[2]苏里阳.基于“三个理解”，践行“取势明道优术”[J].中国数学教育（高中版），2020（3）：3-6.

[3]章建跃.数学抽象：从背景到概念再到结构[J].中国数学教育（高中版），2019（12）：8-15.