用问题提出和问题解决测试小学生对平均数的理解

宋乃庆，胡 睿，蔡金法

用问题提出和问题解决测试小学生对平均数的理解

宋乃庆1，2，胡 睿1，2，蔡金法1，3

（1．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2．中国基础教育质量监测中心协同创新中心西南大学分中心，重庆 400715；3．美国特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

平均数是小学阶段重要的统计概念，探究小学生关于平均数概念的理解认知情况，有利于教师进行针对性教学，为后续开展统计教学打下基础．而问题提出不仅作为可以激发学生创造力的认知活动，问题提出与问题解决作为教学目标在各国课程标准中逐渐引起重视，而通过对学生问题提出与问题解决表现的评估研究，有助于深入考察其概念理解情况以及思维过程．从重庆市及四川省的4个区县选取8所城市与农村学校，共计321名具有广泛代表性的五年级学生，通过相同情境不同要求的4对任务，从问题提出合理性、扩展性、内容性质以及问题解决准确性、解题策略、表征模式等方面对学生表现进行分析，并进一步探究其问题提出与问题解决表现之间的内在联系．研究表明：小学生在平均数任务情境下能够提出较多的合理数学问题，随着要求难度的提升，学生所提数学问题更加新颖和复杂；小学生对于平均数算术概念性理解的掌握优于统计概念性理解；城市学生相较农村学生对于平均数的概念理解掌握更好；小学生在平均数任务情境下，问题提出与问题解决表现具有一定的关联性．

问题提出；问题解决；平均数；学生认知；小学生

1 问题提出

随着科学技术的进步和大数据时代的发展，统计的思想和方法己经成为公民生产生活所必备的基本常识[1]．在义务教育阶段强调发展学生数据分析观念，强化统计教育，合理进行统计教学正成为各国课程改革关注的热点课题[2]．平均数作为重要统计概念，在小学阶段中所教授学习的一般是指算术平均数，也就是将一组数据相加求和，再通过除以这组数据的个数所得的商．研究表明算术平均数的概念包含算术程序性理解、算术概念性理解以及统计概念性理解等3种类型[3]，不仅具有类似于除法中“平均分”的计算过程，也需要灵活使用这种算法解决复杂的平均数任务情境，同时作为统计量能够刻画数据的集中趋势，直观简明地表示数据的一般情况，也可利用平均数进行不同组别数据地比较．关于学生对平均数的概念理解情况，国际上已有一些研究对其进行探讨，如对于其算术概念，Cai发现学生往往知道“相加并除”的平均数算法，但是其中只有一半的学生能够运用这个算法解决问题任务[4]；而对于其统计概念，Watson等通过访谈分析发现，能够运用平均数比较图表中的数据集为学生平均数概念理解的较高水平[5]．国外研究表明，由于平均数概念的复杂性，学生并不能对其进行完全的理解．对学生平均数概念理解情况进行研究，区分学生在不同题目类型的表现差异，为教师准确认识学生认知情况，进行针对性教学改进，推动课堂教学提供参考．

数学问题提出对于学生来说是指：（1）学生能够根据已有情境提出包括数学表达式和数学图表的数学问题；（2）学生能添加合理信息重构造原有问题[6]．问题提出不仅作为学生发挥创造性思维的认知活动[7]，作为教学目标也逐渐走进国内外数学教育界的视野，各国课标对其都有相应的具体要求[8–10]，教师在实际课堂教学中将问题提出作为教学手段融入能够促进学生的概念理解[11–12]，同时作为评估手段，也能够通过提出问题的类型有效评估学生与教师的概念理解情况[13–14]．而数学问题解决不仅仅是解决数学问题的结果，整个数学学习与解题过程，都是在解决问题[15]．策略是一种达到目标的方法或计划，数学解题策略是为了解决数学问题的解题步骤与计划，问题解决表征模式是指解决数学问题时所采用的方法步骤的外在表征形式，认知心理学认为如解题策略和表征模式之类的认知方面在问题解决中是非常重要的[16]，对于其研究能够有效分析学生的思维过程与特质[17]．因此对于学生问题提出与问题解决的表现以及两者间的内在联系的研究，有助于深入考察学生学习理解及其思维过程．同时，问题提出与问题解决之间的关系也是学界研究的热点，对于其关系也尚无定论，需结合任务情境具体分析[18–19]．

鉴于平均数概念的复杂性，过往研究尽管以国外学生作为研究对象，涉及内容包括其对于平均数各种概念类型的探究．但目前相对缺乏对于国内学生理解平均数概念情况的研究，更缺乏结合问题提出与问题解决手段考察学生算术平均数概念理解的研究，对于问题提出与问题解决之间的关系也缺乏在相同情境下的探讨．因此，研究旨在通过使用相同的4个任务情境，探究学生在问题提出与问题解决测试中对于算术平均数的理解状况，以及不同区域学生的理解是否存在差异，并且在含有算术平均数的任务情境下学生的问题提出表现与问题解决表现存在怎样的关系．

2 研究设计

2.1 研究对象

选取重庆市及四川省的4个区县，在每个区县各抽取2所样本学校（城市、乡村各1所），共8所小学校中选取321名五年级学生先后进行测试卷一、二（即“测试卷一：小学生平均数‘问题提出’任务测试卷”和“测试卷二：小学生平均数‘问题解决’任务测试卷”）的调查研究．将在规定时间作答并提交两份测试卷的视为有效数据，回收有效数据301人次，测试卷有效率93.8%．其中，城市小学161人次（53.8%），农村小学140人次（46.2%）；男生135人次（44.9%），女生166人次（55.1%）．

2.2 测试工具

关于“问题解决”测试题的来源方面．从教师试测学生在平均数知识上的解题策略以及表征模式的研究中[3]选取4道复杂程度相当的问题，这些题目历经多次学生测试与长期面向学生教学，问题本身可靠性较高．根据平均数的算术概念性理解和统计概念性理解对题目进行分类，具体内容见表1．

表1 “问题解决任务”测试卷题目分布结构

关于“问题提出”测试题的来源方面．将问题解决任务中的“问题”部分去掉，并要求学生根据所给情境分别提出3个不同层次的问题：一个简单的问题（P1）、一个中等难度的问题（P2）和一个较难的问题（P3）．目的在于一方面可根据学生对所提问题难度的划分更好地了解其数学认知；另一方面，在时间有限的情况下，能使学生集中精力提出更高认知要求的数学问题．

2.3 数据编码与分析

对于学生问题提出的表现，参考以往相关研究的编码框架[3，18]，先从所提问题的“合理性”进行编码，再对合理的数学问题从“扩展性”和“内容性质”两方面进行编码，考察学生能否提出数学问题、能否提出更加具有新意的问题以及具体能够提出怎样情境的问题．对于学生问题解决的表现，将从问题解答的“准确性”“解题策略”“表征模式”3个方面进行编码．不仅考察学生的概念掌握情况，也对其认知过程进行探究．对学生所使用的具体策略以及表征模式均可以反映学生处理问题的过程以及数学思维与推理的过程．这样的认知分析在以往研究中已被证明可以对学生进行有效分析[17]．同时，另请一位熟悉问题提出与问题解决的数学教育研究人员进行核查．在每个班级的样本中各随机抽取10%样本数据进行独立编码分析，两位研究者在“问题提出卷”与“问题解决卷”的编码一致性均超过85%，具有良好的信度．

学生所提问题的合理性是指学生是否能够根据题目所给出的情境，提出合理的、可解的数学问题，而非合理性问题指对于给定条件的，随意添加数学关系的问题或没有意义的问题．问题的扩展性方面，扩展性问题是指不局限于已有题目的给定条件，添加或补充合理信息的数学问题；而非扩展性问题，即根据题目给定条件提出的数学问题．问题的内容性质方面，参考先前解决一般模式问题与解决具体数学模式问题的研究[20–21]，每个问题按照其内容性质进行划分，共分为7种类型的问题（如表2所示）．其中前3个类型“求和”“比较”“分配”是与算术平均数无关的问题；后4个类型中，“平均”类型问题涉及平均数算术程序性理解以及算术概念性理解的题目，“表征”“最值”“判断”类型问题涉及平均数统计概念性理解．需要注意的是，具体的内容性质分类依题目类型不同而变化．

对于学生问题解决的表现，问题解决的准确性采用定量评分方法进行分析．借用QUASAR项目上计算得分的方法，每道题分为5个得分等级（0—4）．一般来讲0分表示完全不理解或不作答；1分是学生的解释和解答过程只能表示其有限理解的程度；2分是学生的解释和解答过程只能表示其部分理解的程度；3分代表学生的解释和解答过程基本完整，但存在一些细微的错误、遗漏或含糊不清；4分表明学生的解释和解答过程能够展示出完整且正确的理解程度[22]．在问题解决的解题策略方面，结合过往对于学生平均数算术概念性理解以及统计概念性理解的解题策略[21，23]，与学生在测试中不同类型题目的实际表现，将其解题策略分为如表3所示的形式．在问题解决的表征模式方面，学生一般的常采用4种问题表征模式[4]，分别是算术表征，即运用算术式子进行解答；代数表征，即运用代数式子，比如方程来进行解答；言辞表达，即直接使用文字来表示解题过程；直观图示，即借助示意图或画图形式来进行解答．因为这里没有学生使用直观图示的表征模式，所以研究中的问题表征模式以上述前3种进行分类编码．

表2 问题提出内容性质编码

表3 问题解决策略编码

3 研究结果

3.1 问题提出表现的分析

3.1.1 问题提出合理性的分析

总体而言，学生在第4题“幼崽问题”情境中，无论是提出合理性问题的平均个数（2.53），还是在各个难度上提出合理性问题的占比（90.7%、88.4%、74.1%，见表4），表现都是最好．而学生在第3题“书价问题”情境中，无论是提出合理性问题的平均个数（1.25），还是在各个难度上提出合理性问题的占比（60.8%、32.6%、30.9%），表现都是最差的．在第1、2题上人均提出两个以上的合理问题，表现较好．此外，随着问题提出难度要求的提升，学生能够提出合理性问题的占比随之减少．就不同区域学生来看，城市学生所提合理性问题的总数量（8.32）稍多于农村学生（7.96），但并无显著性差异．除第1题外，城市学生在其它3个情境中所提的合理性问题均比农村学生多．就差异性而言，城市学生（2.64）与农村学生（2.40）在第4题提出合理性问题数具有显著差异（=2.549，<0.01）

究其原因，一是题目背景信息与给定条件的多寡对学生产生了影响，第4题题目情境较为丰富，充裕的题目给定条件使学生能够提出大量合理性问题．相对来说第3题只有一个给定条件，需要学生自己添加合理信息提出问题；二是对于平均数概念理解的欠缺对学生造成了影响，第3题需要学生理解书本平均价格是代表这10本书的一个数据，不一定是每一本书的价格就是平均价格，只有理解这一平均数的统计概念，在此基础上才能提出合理的问题．相当一部分学生提出把平均价格当成是每本书价格的错误问题．

表4 学生所提问题表现的百分比分布情况（%）

3.1.2 问题提出扩展性及内容性质的分析

如表4所示，学生所提的合理性问题中绝大部分是非扩展性问题，均占合理问题3/4以上，其中在第2题与第4题上占比高达95%以上．此外，随着难度要求的提升，学生提出扩展性问题的比例在不断上升，说明学生在被要求提出难度更高的问题时，学生会更有意识地添加合理信息配合提出更具新颖性的问题．对于第2题和第4题，学生提出的扩展性问题寥寥无几的原因，在于两道题所给出的条件，已经足以使学生不用补充条件就可以提出足够复杂的问题．比如第2题中，学生在较难程度（P3）提出的非扩展性问题，提出“平均”类型问题占比相对最高，学生不用补充条件也可以提出例如“去掉最高分和最低分，小明的平均分为多少分”，这一涉及平均数算术概念性理解并且相对复杂的问题．

不同测试题上所提问题的内容性质分布情况各有不同，且都具有统计意义上的显著差异（第1题2=10.09，<0.05；第2题2=13.34，<0.05；第3题2=12.88，<0.05；2=18.05，<0.01）．但在要求提出“较难”（P3）问题上，除第1题外，学生提出平均数相关问题占比更高（在合理问题中占比最低的第4题为62.3%），说明学生在被要求提出难度更深的问题时，认为平均数相关数学问题包含数量关系更加复杂．

值得注意的是，在考察学生平均数算术概念性理解题目中，虽然学生在第1题只有很少学生能够提出涉及算术概念性理解的问题（城市学生3.7%，农村学生2.6%），但在第2题中，依然有人在原有任务情境基础上，开辟新的视角提出涉及统计概念性理解的问题，如根据题目给出的平均分最高分最低分等信息，来求问学生各科成绩存在的可能性的问题，蕴含平均数表征一组数据的统计思想的“表征”类型问题和意图根据题目中所给出的小明的最高分最低分平均分，来判断小明整体考试所处的水平“判断”类型问题．

3.2 问题解决表现的分析

3.2.1问题解决准确性的分析

根据问题解决准确性的评分，每道题3分以上为基本理解，每道题1分以下为基本不理解．结合表7分析，有85.4%的学生在平均数算术概念性理解的两道题目上得分达到或超过6分，而在平均数统计概念性理解的两道题目上只有25.2%的学生达到或超过6分．有2.0%的学生在平均数算术概念性理解的两道题目上得分小于等于2分，而在平均数统计概念性理解的两道题目上却有35.6%的学生小于等于2分．也就是说，学生在平均数算术概念性理解上的掌握明显好过其在平均数统计概念性理解上的掌握（如图1）．

图1 学生在两类题型中≥6分和≤2分的百分比（%）

从不同区域学生的表现来看．相对于平均数统计概念性理解上的表现，城乡学生在平均数算术概念性理解上的表现更好，但整体而言城市学生的表现均明显优于农村学生．对每一道题进行分析发现，城市学生在每一道题上的平均分均高于农村学生，且在统计学意义上也都显著优于农村学生．

3.2.2 问题解决策略的分析

根据表5，总体来看，95.7%的学生在平均数算术概念性理解的题目（第1、2题）中使用平均数公式，解题策略极其类似；第3题学生更喜欢使用“均分配对”（30.6%）与“根据总量试误”（33.6%）的解题策略，第4题只有约一半的学生使用“平均值判断”（49.8%）的正确策略．表明学生对于平均数概念性理解题目的解题模式更加熟悉，而对于统计概念性题目的解题策略则仍在摸索．从不同区域学生来看，城乡学生在第1、2题上的策略选择也类似，但在第3、4题上解题策略的选择和倾向上具有显著差异（第3题2=13.174，<0.01；第4题=2.31，<0.05），且在第4题上城市学生更能够选择正确的解题策略．

表5 学生在第1和第2题使用各解题策略的百分比（%）

对于第4题而言，由于“平均值判断”是该题的正确解题策略，也就是说近一半的学生在第4题使用了错误的策略或者没有作答，即学生对于平均数均衡稳定的性质以及经常作为典型值对多组数据进行比较的概念不能很好地理解．即便是采用了正确的解题策略，学生第4题的平均分也仅为2.72，依然逊于第1题（3.81）与第2题（3.81），其中有学生在求解猫和仓鼠总量的计算错误，也有作商得出的值估算错误的原因．综合起来看，不能理解平均数作为典型值对多组数据进行比较的概念而选择错误策略和正确策略计算失误是造成第4题平均分最低的主要原因．

3.2.3 问题解决表征模式的分析

在表征模式方面，总体而言，尽管学生在不同类型题目中选择的表征模式有所不同，但学生在平均数概念的题目中更擅长使用算术表征，例如近99%的学生在第1、2题用了算术表征，且一半以上的学生在第3、4题（均为平均数统计概念性理解的题目）上也选择了该表征模式（55.4%、72.0%）．从不同区域学生来看，城乡学生在第1、2、4题上的表征选择类似，且都擅长使用算术表征，但在第3题的表征模式选择上具有显著差异（2=14.197，<0.01）．

学生在考察平均数算术概念性理解的第1、2题和考察平均数统计概念性理解的第3、4题的表征模式选择上具有明显的差异，根据研究中收集的数据分析，有两点原因造成了这样的现象．一是选择言辞表达是学生无法使用完整算式解答问题或者使用错误解题策略的原因，而非对于平均数两种概念类型的求解表征需求不同，这点可以从第4题，选择言辞表达的学生平均分（0.71）显著低于选择算术表达的学生平均分（2.06）．二是可能跟题目的形式有关，第3题是4道题目中唯一过程开放的问题，学生需要辅以文字来添加说明表达解题的思路．因此研究只能发现学生在解决两类问题上在表征模式的选择上有明显差异，不能说明不同类型问题所需要的表征模式不同．

3.3 问题提出表现与问题解决表现的关联分析

根据表6分析，从总体来看，总成绩前10%的学生（=30）人均提出9.62个合理性问题，总成绩后10%的学生（=30）只提出6.53个合理性问题，两者间问题提出能力具有显著的差异．而具体到每道题平均提出合理性问题个数的情况来看，前10%的学生在4道题上的表现优于全体学生、后10%的学生，也具有显著差异．此外，研究者利用SPSS对前、后10%的学生的提出问题的合理性个数与解决问题的准确性数据做Pearson相关性分析，相关系数为0.530**，在<0.01上呈显著相关性，也就说明学生问题提出能力与其问题解决能力是正相关的，换言之，问题解决能力较高的学生，也能提出更多合理性的问题．

表6 各成绩阶段学生提出合理性问题平均个数

注：在标**与*的题上，总成绩靠前和靠后的学生平均分的差别分别在<0.01与<0.05是显著的．

由表7看出，提出统计概念性问题的学生与未提出统计概念性问题的学生在第3题关于解题策略的选择在分布上具有统计意义上的显著差异（2=171.78，<0.01）．具体而言，能够提出统计概念性理解问题的学生更倾向于选择“均分配对”的策略（40.8%），而未能提出统计概念性理解问题的学生更青睐于选择“根据总量试误”的策略（34.9%）．

表7 提出与未提出统计概念性理解问题学生在第3题使用各解题策略的百分比（%）

由表8看出，提出与未提出统计概念性理解问题的学生，都更倾向于选择“算术表征”的表征模式．只是在选择的学生百分比上，能够提出统计概念性理解问题的学生比率（63.2%）要多于未能提出统计概念性理解问题的学生比率（53.9%），两者在统计意义上也具有显著差异（=2.09，<0.05）．选择言辞表达的学生中，能够提出统计概念性理解问题的（32.6%）要少于未能提出统计概念性理解问题的学生（43.2%）．

表8 提出与未提出统计概念性理解问题学生在第3题使用各表征模式的百分比（%）

4 研究结论及讨论

4.1 对于平均数算术概念性理解的掌握优于统计概念性理解

总体而言，学生在算术平均数题目情境下，能够提出较多的合理性问题，在第1、2、4题中人均都能提出两个以上的合理性问题．此外，尽管学生更倾向于提出非扩展性问题与非平均数相关问题，但随着难度要求的提升，学生在“较难问题”（P3）上所提扩展性问题与平均数相关问题占比更高．表明学生能够有意识添加合理信息提出更新颖的问题，同时平均数相关问题是学生认为涉及数量关系更复杂的数学问题．

就平均数的算术概念性理解和统计概念性理解而言，学生对于平均数算术概念性理解的掌握明显优于统计概念性理解．问题提出方面，学生在第3题，考察利用平均数描述一组数据的题目情境下，人均只能提出1.25个问题，固然有题目背景信息多寡的因素，但学生不理解平均价格是代表10本书价格的一个典型值占据相当一部分，提出类似于“100元可以买多少本书”“50本书的价格是多少”，这样把平均价格当成是每本书价格的错误问题．同时尽管学生在“较难问题”（P3）提出平均数相关问题所占比重更高，但多是平均数算术理解相关的“平均”类型问题．在问题解决方面，这样的差异就更加明显，学生在考察算术概念性理解的第1、2题的准确性要明显优于考察统计概念性理解的第3、4题，而学生在第3、4题的表征模式上，选择算术表征的比重相对第1、2题也大幅减少，即能够使用完整算式表达这两道题目的学生相对前两题大幅减少．

这样的结论与以往研究相类似[31]，平均数统计概念的理解应用对于学生来说更有难度．但目前课程标准明确要求学生能够理解平均数的实际意义，进而使用平均数解决现实问题．学生在第4题中已经有使用最值、众数等统计量的倾向，因此教师在教授平均数概念时，不仅需要强调平均数作为典型值是什么、如何应用，更要考虑到平均数作为典型值的局限以及真实生活数据的复杂性，充分引导学生讨论平均数作为典型值表述一组数据的优缺点，合理选用相应统计量．

4.2 城市学生对于平均数概念理解优于农村学生

城乡学生提出问题的类型与解决问题的表征选择大体类似，但城市学生在问题解决准确性和问题提出合理性上，表现都优于农村学生．在第3题农村学生使用意义不明解法或没有解答的学生比率明显高于城市学生，而在第4题城市学生选择正确的解题策略比率也明显高于农村学生．说明城乡学生虽然在问题提出性质以及解题表征上思维类型相似，但是城市学生相比农村学生对于平均数的概念理解掌握与解题策略选择更加熟练．

农村相比城市，在大规模学生学业测验[24]、教师知识[25]、家长参与、课外学习投入等方面均与城市有明显差异．因此，首先需要保障农村教育资源，改善农村办学条件，加强农村师资队伍建设，提升农村教育教学质量．然后就是需要建立家长、学校、社会协同配合机制，加强家长参与，完善学生课内课外的学习协调机制．

4.3 问题提出表现与问题解决表现具有一定的关联性

问题解决对比总成绩前10%的学生与总成绩后10%的学生，其问题提出的合理性与问题解决准确性的关联较强，在统计学意义上具有显著相关，即问题解决准确性较高的学生，也能提出更多合理性的问题，这与以往研究得出的结论类似[18]．能够提出涉及统计概念性理解问题的学生，也就是提出问题思维程度更高的学生与其他学生在解题策略和表征模式的选择上有所差异，更能够选择正确的解题策略．表明学生问题提出表现能一定程度的影响其学习理解、策略选择和表征选择．

此外，在第2题考察学生算术概念性理解的题目中，学生提出了统计概念性理解的“判断”类型问题．表明学生不仅能提出更加复杂的问题，还能够在原有任务情境的基础上提供新的视角，提出新颖的问题．过往研究表明，使用问题提出的教学手段进行概念课教学，能够让学生对于课堂学习更有参与感，促进学生的结合现实生活提出数学情境的思考，从而使学生不仅关注“是什么”，而涉足“为什么”，加深学生对于概念的理解[26]．使用问题提出教学手段，促使学生结合生活情境思考，不仅是对于概念的理解巩固．算术平均数作为统计概念，同样需要将其置于“提出问题—收集数据—分析数据—预测结果”的统计问题解决过程中，通过真实情境提出并解决统计问题[27]，还能促进学生对于整个数据处理过程的熟悉．因此，尽管问题提出教学的实施依然面临一些挑战[28]，如教师应当如何淡化形式、注重实质，将理论付诸于课堂教学实践，真正实现可操作的问题提出教学[29]，教师仍应该积极尝试提升自身问题提出能力[30]，合理设计问题提出教学任务改进教学．

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Exploring Students’ Understanding of the Average through Mathematical Problem Posing and Problem Solving

SONG Nai-qing1, 2, HU Rui1, 2, CAI Jin-fa1, 3

(1. School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Collaborative Innovation Center of Assessment for Basic Education Quality-Southwest University, Chongqing 400715, China;3. University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

The average is an important concept in elementary school mathematics. Examining students’ conceptual understanding of the average contributes to teachers’ instructional design, thereby contributing to students’ learning of statistics. In addition, problem posing can both stimulate students’ creativity and be used to understand students’ conceptual understanding and mathematical thinking. In this study, we investigate 321 fifth-grade students from eight urban and rural schools in four districts in Sichuan province and city of Chongqing. The students were given four pairs of tasks, which had the same situations but with different requirements, and we analyzed the problems that were posed by the students based on their appropriateness, their extension beyond the givens, and their content. We also analyzed the students’ problem solving based on correctness of answers, strategies, and representation. We then examined the relationships between students’ mathematical problem solving and problem posing. We obtained four main results: Students were able to pose appropriate problems, and the problems they posed became more novel and complex as the difficulty of the requirements increased; students showed greater conceptual understanding of the average algorithm than understanding of the statistical aspect of the average; urban students had a better understanding of the average than rural students; and there was a relation between the students’ problem posing and problem solving in the context of the average tasks.

mathematical problem posing; mathematical problem solving; average; students’ cognition; elementary school students

G622

A

1004–9894（2020）03–0001–08

2020–04–06

重庆市研究生科研创新项目——问题提出影响小学数学教师教学知识发展的实证研究（CYS19086）

宋乃庆（1948—），男，浙江杭州人，教授，博士生导师，主要从事数学教育、教育统计、基础教育研究．蔡金法为本文通讯作者．

宋乃庆，胡睿，蔡金法．用问题提出和问题解决测试小学生对平均数的理解[J]．数学教育学报，2020，29（3）：1-8．

[责任编校：周学智、陈汉君]