基于Tracker的动量定理验证实验

丁益民，吴星星，秦凤玲

(湖北大学 物理与电子科学学院,湖北 武汉 430062)

恒力作用的动量定理的验证实验比较容易进行[1-3]，但是对于变力作用下的动量定理的验证则较为困难，其原因是在变力作用下力对时间的累积即冲量用传统的方法难以测量，虽然利用数字化实验系统DISlab的传感器可以实现对变力作用下的动量定理验证实验[4-7]，但是这些实验设备在中学甚至大学物理实验室并不常见. 所以，目前这种方法还无法推广. 本文在文献[8]的基础上，将对冲量的测量转化成对时间与速度的测量，再使用Tracker的追踪功能，记录物体任意时刻的瞬时速度，从而实现了变力作用下动量定理的验证. 该方法克服了使用光电门测瞬时速度不准确的缺点，同时简化了实验装置，也提高了验证实验的精确度.

1 实验原理

如图1所示,竖直悬挂的弹簧处于自然状态时,下端在P点,挂上小球,此时弹簧长度为L′,小球静止在O点，以O点为坐标原点，建立一维坐标系，竖直向下为正方向. 将小球向下拉到P′点后释放,小球在重力和弹力的作用下,在竖直方向上下振动. 忽略小球受到的空气阻力,则小球受到的合外力为

F=-kx+mg,

(1)

式中,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧形变量,kx为弹簧的弹力,负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反,mg为小球的重力.根据牛顿第二定律微分形式

(2)

把式(2)代入式(1),得

(3)

其通解为

(4)

对式(4)求一阶导数, 得

(5)

图1 悬挂的小球

对式(4)求二阶导数, 得

(6)

当小球在P′点释放,可以通过Tracker分析得到的运动表格来任意选取竖直方向加速度为0的点作为起始点开始计时,即t=0,速度为v=v0,加速度a=0,代入式(5)和式(6),得

(7)

解得

(8)

把式(8)代人式(4),得

(9)

动量定理是指作用于物体的合外力F在时间t1到t2内产生的冲量等于物体在这一过程中动量的改变量, 数学积分形式为

(10)

其中，积分结果为t1到t2时间内的冲量大小，其方向与动量的变化量方向一致. 把式(9)代入式(10)右边,并积分得

(11)

式(11)右边指物体的冲量，左边指物体的动量的改变量. 可以通过Tracker分析表格直接读出来的物理量有速度v1和v2及时间t1和t2，再测出弹簧劲度系数k，将速度v0，v1，v2和质量m, 代入式(11)左边,可求出物体的动量的改变量;将弹簧劲度系数k、小球速度v0、时间t1和t2,代入式(11)右边可求出物体的冲量，最后比较动量的改变量和外力的冲量是否相等，验证动量定理.

2 实验装置和实验过程

2.1 弹簧劲度系数的测量

图2 测量弹簧劲度系数装置

如图2所示，将弹簧挂在约利弹簧秤的支架上，在弹簧下端挂上托盘，调节支架的底脚使弹簧竖直向下.在托盘上加2 g砝码，调节旋钮，使称盘底部与水平支柱在同一水平面上，从标尺上读出L的值，以后每加2 g砝码测1次L，直至加到16 g后再逐次减砝码，测量结果记录在表1中.

表1 弹簧劲度系数的测量数据

用软件将数据处理成L-G图像，可以求出弹簧劲度系数k值，结果为k=1.085 N/m.

图3 L-G图像

2.2 速度和时间的测量

将图2中的托盘替换成质量为0.05 kg的小球，固定好智能手机，如图4所示，打开智能手机录像功能后，竖直向下拉动弹簧一段距离后松手. 待视频录取完成后导入Tracker软件中分析，得到时间、速度和加速度如表2所示.

图4 测量时间与速度装置

表2 小球运动时间、速度与加速度

3 实验数据处理与分析

选取t0=0时为运动起始点(此时小球的竖直加速度为ay=0)，可以直接在表1中读出v0=1.237 m/s，再在表1中任意选取2个时间点的速度v1和v2，以及对应的时间t1和t2(此时的t1和t2应为表1中对应的时间减去t0)，将v0，v1，v2，t1及t2、弹簧劲度系数k、质量m代入式(11)验证动量定理.

从表3可以看出，动量的改变量与冲量的最小偏差和最大偏差分别约为0.42%和2.05%，平均误差约为1.17%.而就是因为本次实验使用的是Tracker自动分析测速的方法，极大地简化了装置，消除了许多不必要的摩擦阻力，才使得该方案更方便并且结果更精确.

表3 动量的改变量与冲量

4 结束语

在文献[8]的基础上，将对变力冲量的测量转化为对时间的积分，又充分地利用Tracker软件的追踪功能，记录并分析出小球运动时的速度与加速度，不仅简化了实验装置，还提高了实验的精度，适用于中学物理教学.