橡皮筋串并联劲度系数的变化规律

牟 平

(白银市平川中学 甘肃 白银 730913)

橡皮筋串并联劲度系数的变化规律

牟 平

(白银市平川中学 甘肃 白银 730913)

就一道关于橡皮筋长度问题的检测题的解答正确与否，教师们有分歧和争论，由此就橡皮筋的劲度系数变化规律做了归纳总结，指出了原题解答的错误所在.

检测题 错解 橡皮筋 劲度系数

在一次集体备课时，就《当代中学生报》上的一道物理单元检测题的解答对错与否，几位教师见解不一，展开了热烈的争论，原题及解答如下.

【题目】如图1所示，一橡皮筋原长L0=10 cm，其下端悬挂质量m=1 kg的重物后，长度变为L=14 cm，已知在弹性限度内，此橡皮筋的弹力与形变量符合胡克定律，取g=10 m/s2.

图1 题目的题图

(1)求橡皮筋的劲度系数.

(2)若将橡皮筋绕过一小定滑轮后，两端均固定于天花板上，再将重物悬挂于定滑轮下，不计定滑轮的大小、重量与摩擦，两端橡皮筋竖直，求此时橡皮筋的总长度L′.

解：

(1)根据胡克定律有

F=κx

而

F=mgx=L-L0

解得

κ=250 N/m

(2)此时每段橡皮筋上的弹力为

每段橡皮筋的伸长量为

橡皮筋的总长度为

L′=L0+2x′=14 cm

那么，上述解答是否正确呢？要回答这个问题，先要弄清楚以下有关橡皮筋劲度系数变化的几种情形.

1 橡皮筋截短后的劲度系数

如橡皮筋的原长为L0，劲度系数为κ，则弹力F与伸长量x遵从胡克定律，即

F=κx

(1)

(2)

设其劲度系数变为κ1，则

F=κ1x1

(3)

由以上式(1)、(2)、(3)可得

如果选取

则

κ1=2κ

可见橡皮筋截短后，劲度系数变大.

2 橡皮筋串起来后的劲度系数

设两条橡皮筋的原长分别为L1和L2,劲度系数分别为κ1和κ2，串起来后的劲度系数为κ，则当用力F拉橡皮筋时，两条中的弹力均为F，故其伸长量分别为

总伸长量

所以整体的劲度系数

同理，如劲度系数分别为κ1，κ2和κ3的3条橡皮筋串起来，则其总的劲度系数为

3 两条橡皮筋并起来后的劲度系数

设两条橡皮筋的劲度系数分别为κ1和κ2，如两条橡皮筋原长相等，则可直接并起来．而如果原长不相等，就需要用细线将短的一条加长后再和长的并起来使用，如图2所示．

图2 并起来的两条橡皮筋

此时如果用力F拉橡皮筋，则两条中的弹力不相同，设分别为F1和F2，则总弹力F=F1+F2，而每条橡皮筋的伸长量和总伸长量均为x，故劲度系数

同理，如劲度系数分别为κ1，κ2和κ3的3条橡皮筋并起来，则其总的劲度系数κ=κ1+κ2+κ3．如3条劲度系数均为κ的橡皮筋串起来，则其劲度系数变为3κ．

可见，橡皮筋并联起来，其等效劲度系数变大.

4 应用讨论的结果求解题

弄清楚橡皮筋劲度系数的变化规律后，再看文章开头的题目．

第一种思路是橡皮筋相当于先被截为等长的两段再并起来，如图3所示.

图3 第一种思路解题

每段的劲度系数均变为2κ,两段并起来后总的劲度系数变为4κ,所以有mg=4κx，则

故总长度

L′=L0+2x=12 cm

图4 第二种思路解题

故总长度

L′=L0+x=12 cm

原题解答错在认为将重物用滑轮按图3方式挂起来后两段的劲度系数仍然为κ.实际每段的劲度系数已变为2κ,而两段的伸长量相等，均为

故总长度仍为L′=L0+2x=12 cm

这应该是第三种思路.

2016-11-30)