探究弹簧劲度系数的影响因素

陈学志 罗 莹

北京师范大学 北京 100875

探究弹簧劲度系数的影响因素

陈学志 罗 莹

北京师范大学 北京 100875

在人教版《高中物理(必修)1》中关于弹簧劲度系数的引入是这样叙述的：“弹簧弹力的大小F和弹簧伸长x(或压缩)成正比，即：F=kx。”

式中的k为弹簧的劲度系数，单位是牛顿/米，单位符号N/m。生活中有时说弹簧“硬”，有的弹簧“软”，指的就是它们的劲度系数不同。这个规律是英国科学家胡克发现的，叫做胡克定律。在高中物理课本中没有对弹簧的劲度系数给出更多的解释，这样就使得中学生在学习高中物理时经常产生这样的问题：若把一个劲度系数为k的弹簧均分为二段，每段弹簧的劲度系数如何变化，原来一样，均为k？还是不同？弹簧的劲度系数由什么决定的？

在大学物理课程中关于弹簧劲度系数的讲解也很少，例如：在赵凯华著的《新概念物理教程》、梁绍荣和管靖著的《基础物理学》等大学物理教材中均没有涉及劲度系数与哪些因素有关的问题。由于这是一个比较容易理解的问题，教师仅在课堂上一带而过，所以在大学基础物理课程的作业中仍然会出现两个串联弹簧的等效劲度系数等于两个弹簧的劲度系数之和，这种不应该出现的错误。笔者力图通过一系列简单的实验说明弹簧的劲度系数与哪些因素有关？帮助学生改变头脑中关于劲度系数的前概念，建立正确、清晰弹簧劲度系数的概念。

一、实验设计

生活中最常见的弹簧之一为圆柱形的弹簧，对于这种圆柱形的弹簧，影响弹簧的劲度系数的因素应包括原长、弹簧的半径、制备弹簧所用的材料以及弹簧制造的工艺等。为了确定圆柱形弹簧的劲度系数与哪些因素有关，笔者采用控制变量的方法，分别选取4对弹簧(详细情况见表1)作为测量对象，通过焦利氏秤(如图1所示)分别测量它们的劲度系数。

表1 实验的圆柱形弹簧样品

图1

二、实验结果及其分析

对于表1中的弹簧，采用焦利氏秤测量弹簧的劲度系数的结果，见表2。

表2 测量的圆柱形弹簧的弹性系数

在表2中,对于第1对弹簧,它们的劲度系数分别为4.25N/m,4.21N/m,测量的不确定度均为0.07N/m。这说明当圆柱形弹簧的原长、直径以及制备弹簧的材料性质相同时,弹簧的劲度系数在测量误差的范围内是相同的。第2对弹簧,两个弹簧的原长不同,但其截面相同,其制备弹簧的材料性质相同。弹簧2的原长比弹簧2’约短一半,弹簧2的劲度系数(N/m)比弹簧2’的(N/m)大近似为1倍。第3对弹簧,两个弹簧的原长相同,其制备弹簧的材料性质相同,但其直径不相同。也就是说对于第3对弹簧,它们的圆柱形截面不同,表2中的数据显示弹簧3的劲度系数比弹簧3’大,也就是直径大的弹簧的劲度系数比直径小的弹簧的劲度系数小。对于第4对弹簧,虽然它们的形状、原长、直径均相同,但是制备它们的材料不同,这也导致了它们的劲度系数差别很大。

上面的讨论表明,弹簧的劲度系数与制备弹簧的材料性质有关。制备弹簧的材料形状包括制造弹簧的金属丝(截面的性质与大小)、金属丝的材质等因素,这些因素对于弹簧的劲度系数有重要的影响。此外,弹簧的劲度系数与弹簧的形状有关。对于实验测量的圆柱形弹簧,弹簧的原长和其截面的直径之间影响弹簧的弹性系数。表中的实验数据显示圆柱形弹簧的劲度系数与其原长、直径均有关。原长越长,其劲度系数越小；直径越大,其劲度系数越小。

通常来说，影响弹簧劲度系数的因素大体上可以分为两类，一类为弹簧的形状、大小等因素，例如：圆柱形(半径、原长)、圆锥形(半径、高)等因素；另一类是制备弹簧所用的材料形状，如材料的弹性模量、剪切模量、弹簧丝等因素。简单地可以概括为在弹性限度内，弹簧的劲度系数表示弹簧的一种属性，其大小与弹簧的材料，弹簧丝的粗细，弹簧圈的直径，弹簧的原长等因素有关。此外弹簧所出的环境温度对于其劲度系数也有影响，这是由制备弹簧的材料性质所决定的。

在教学和生活中经常使用的圆柱形弹簧，通常是由细丝线密绕而成。对于这类弹簧，当弹簧原长远大于其半径，弹簧的半径远大于弹簧丝的半径时，其劲度系数可以近似表示为

其中G为弹簧材料的剪切模量、r为弹簧丝半径，n为有效圈数，R为弹簧的半径。

有效圈数n与圆柱形弹簧的原长L的关系为L=2rn,因为这类弹簧是密绕而成的。将其代入上式得

由此可见，对于通常使用的圆柱形弹簧，其劲度系数与其原长成反比。表2中的第2对弹簧的测量结果证实了这个结论。依据这个结论，我们可以推算出如果将一个圆柱形的弹簧截成两个原长相等的弹簧，那么得到的新弹簧的劲度系数比原来大还是小？答案应该新弹簧的劲度系数是比原来大，而且比原来弹簧的劲度系数大一倍，因为弹簧的原长变为了原来的1/2。

对于这个问题，也可以这样理解。原弹簧可以看作两个“相同的半弹簧”串接，设原来的弹簧劲度系数为k，这两个半劲度系数为k1=k2=k’。当原弹簧受力变形时，每个“半弹簧”变形量为x，则整个弹簧变形为2x。则有弹簧受到的弹簧力为

如果把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，则其弹簧的劲度系数为多少，等于原来的两倍吗？通过上面的推导可以得到这个弹簧的劲度系数为原来弹簧的4倍。

[1] 江昌龙.能量法求解弹簧的弹性系数[J].力学与实践，2008，6

陈学志，大专，实验师。罗莹，博士，副教授。