理论力学教具动手制作系列(一)小熊爬绳——摩擦自锁与解锁

高云峰

(清华大学航天航空学院，北京100084)

在理论力学教学中，摩擦角和摩擦自锁是重要的概念，而多点摩擦问题又是其中的难点。

为了增加学生对摩擦问题的兴趣，也给学生提供一个理解摩擦问题的新视角，我特意设计制作了一个简单巧妙的装置，同学们看过之后无不感到摩擦现象的神奇，并由此产生了浓厚的兴趣。

1 现象演示

首先尝试用细铁丝做一个装置，如图1所示(可以借助铅笔把铁丝绕出小圆圈)，注意不是图2 的样子。图1和图2两者的区别是：图1中小圆圈与梯型垂直；图2 中小圆圈与梯形平行。这个区别在后面原理解释中会用到。

图1 正确的做法

图2 不正确的做法

然后把细绳如图3 穿过装置上的圆孔，挂在钉子上(也可以用手握铅笔代替钉子)，再把绳子两端打结，手抓住绳结且左右来回摆动，同时让绳子保持一定的张力，这时你会看到铁丝慢慢向上爬升！第一次见到这个现象的学生会很惊讶：铁丝是怎么爬上去的？装置如此简单，却不容易理解。

图3 绳子与装置的连接方式

2 原理说明

为了简单直观地说明其中的道理，我们来看看下面更简单的几次试验：竖杆垂直插在底盘上，看看圆筒能否停留在图4 的竖杆上？注意圆筒内径比杆子外径要大。

第一次把较长的圆筒套在竖杆上，一松手圆筒会落下。这是很自然的结果，因为圆筒内径明显比竖杆外径大。

图4 几次参数不同的试验

第二次做一些改变，把较短的圆筒套在竖杆上，一松手圆筒仍会落下。

第三次把配重加在长圆筒上，改变重心位置看看，但一松手还是落下。

当然学生可能会怀疑：长短圆筒内径相同，都比杆子粗，能成功吗？这时可以提醒学生：历史上很多科学家做了大量的科学探究试验，经历过无数次的失败后，才从中找出或发现了有价值的结论来为人类造福。所以科学探究试验，不能保证一定成功，但是每一次失败都排除了一种可能性，从而使后面的试验更接近成功。

例如，爱迪生成功发明电灯之前做了两千多次试验，有个年轻记者曾经问他为什么遭遇这么多次失败？爱迪生回答：“我一次都没有失败，我发明了电灯。这只是一段经历了两千步的历程。”

第四次把配重加在短圆筒上，松手后，发现圆筒真的可以停留在竖杆上了！

前三次试验圆筒都落下，而第四次没有，有理由认为第四次试验是“与众不同”的。那第四次试验与前几次有什么明显不同的地方呢？

通过观察可以很快看出：第四次试验中装置的倾斜角度是最大的！所以可以直观地归纳出这样一个结论：摩擦问题中，物体倾斜角度越大越容易被卡住。这个结论的合理性后面会分析，现在利用这一结论，可以很容易解释前面试验中铁丝会向上升的现象。

设开始时装置水平，当手掌抓住绳子逆时针转动时，左边绳子AB段下降，右边绳子CD段上升(图 5)。

图5 逆时针转动时的状况

由于铁丝与绳子之间有摩擦，装置跟随绳子作逆时针转动(A点下降D点上升，此阶段装置中心基本不动)。当装置转动至A、B两圆环接近垂直位置时，等价于左边AB绳子穿过一个比较细的圆筒中，右边CD绳子穿过一个比较粗的圆筒中。注意，只有圆环与梯形垂直时，才有这种等价关系。如果圆环与梯形平行，就不能等价于圆筒了。

根据前面的结论：物体倾斜角度越大越容易被卡住，CD绳子与铁丝容易卡住，AB绳子不容易卡住。所以CD段绳子上升带动铁丝上升，而AB段绳子下降不妨碍铁丝上升。

当手掌抓住绳子顺时针转动时，情况正好相反，AB段绳子与铁丝卡住了，AB段绳子的上升带着铁丝上升。当然，如果铁丝弯的形状不合适，装置是不会上升的；如果绳子没有适当绷紧，装置也不会上升。

3 结合习题进一步分析

前面是定性的分析，下面结合一道理论力学习题，来做定量分析。

习题:图6 为工人攀登电杆时脚上所带的套钩。已知套钩的尺寸b、电杆直径d，摩擦系数µ。求套钩不致下滑时脚踏力P距电杆中心线的距离l。

图6 理论力学习题

解答：在摩擦问题中，临界情况下全反力RA和RB分别沿摩擦角θm的边缘。套钩在RA，RB和主动力P三力作用下处于平衡，三力必汇交，其交点C就是临界的安全位置(图7)。由三角形△AEC有

图7 套钩受力图

为什么说求出的尺寸是最小值而不是最大值呢(即C点的左边是危险区域，右边是安全区域)？这可以直观看出：如果P点向左移动，在满足三力汇交的条件下，A和B一定有某一处全反力会超出摩擦角的范围(图8)。如果P点向右移动，在满足三力汇交的条件下，A和B两处的全反力均不会超出摩擦角的范围(图9)。所以说C点的左边危险，右边安全。

图8 危险区域受力图

图9 安全区域受力图

利用习题的结论，可以证明前面探究试验的结论“物体倾斜角度越大越容易被卡住”是合理的。

从图10可以看出，当圆筒较长时，物体倾斜角度小，摩擦角θm的边界交点C距离竖杆远，重力P的作用点落在危险区间，装置会落下；而当圆筒较短时，物体倾斜角度大，摩擦角θm的边界交点C距离竖杆近，重力P的作用点落在安全区间，装置可以停留在竖杆上。

本问题的核心是摩擦角的交点与重力的位置关系，虽然“物体倾斜角度越大越容易被卡住”只是一个表面现象，但是可以帮助我们快速理解一些复杂的问题，也符合人们的认识是不断深入的规律，也是有价值的。

图10 利用摩擦角验证前面的结论

4 装置改进

在清楚了其原理后，可以把简单的铁丝改进为全自动装置，用小熊代替铁丝，用电动机带动曲柄连杆机构模拟手的来回摆动。装置做好后，一按开关，小熊会自动慢慢地向上爬升(图11)。

图11 自动爬升的小熊

改进的装置更有趣味性，也更为复杂，涉及到静力学、运动学和动力学，是一个综合的理论力学演示道具。

首先，小熊爬升的核心原理是绳子角度的变化导致的摩擦自锁和解锁，在前面已经解释了，属于静力学问题。其次，曲柄连杆机构要适当设计，各部件既不能冲突，又要能模拟手的来回摆动，属于运动学问题。最后，电动机要带动装置的运动，小电动机的扭矩可能不够大，要适当通过减速增加扭矩，而绳子绷紧的程度也很有讲究，太松了小熊上不去，太紧了电动机带不动，这些又属于动力学问题。

总之，通过这个教学道具，可以很好地演示神奇的摩擦现象，激发学生深入学习的热情和兴趣。