基于奇异值分解的曲面拟合算法

郝 强

(长治学院 数学系，长治 046011)

0 引言

奇异值分解是一种正交矩阵分解法，是最可靠的一种分解法.使用奇异值分解，不仅可以挖掘矩阵中隐藏的重要结构信息，从而发现局部与整体之间潜在的重要的关联模式，而且更为重要的是，它可以降低矩阵的维数.

对奇异值分解进行研究，并将其应用到曲面拟合上，给出一种基于奇异值分解的曲面拟合算法，并采用实例进行验证.结果表明，采用该算法进行曲面拟合，能得到比较满意的拟合效果.

1 奇异值分解

设A的秩为r(r>0)的m×n实矩阵，则存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩阵V，满足

A=UDVΤ，

(1)

σi(i=1,2,…,r)为矩阵A的奇异值.其中矩阵积的分解式A=UDVΤ就是矩阵A的奇异值分解[5].

设U=(u1,u2,…,um),V=(v1,v2,…,vn)，由分解式A=UDVΤ及矩阵V的正交性可知：AV=UD，于是

即(Av1,…,Avr,Avr+1,…Avn)=(σ1u1,…,σrur,0,…,0).

深入推进不动产登记“最多跑一次”改革的几点思考（周张琪） ...................................................................6-38

因此，对任何j=1,2,…,r，都有

Avj=σjuj，

(2)

由于向量v1,v2,…,vr是矩阵AΤA的属于特征值λ1,λ2,…,λr的特征向量，且向量vr+1,vr+2,…,vn是矩阵AΤA的属于特征值0的特征向量，记

V1=(v1,v2…vr),V2=(vr+1,vr+2,…,vn)

则V=(V1⋮V2)，且AV2=(Avr+1,Avr+2,…,Avn)=0

故由(2)式知，对任何j=1,2,…,r，都有

所以(1)式可以写成

(3)

2 基于奇异值分解的曲面拟合算法

对给定的数据点(xi,yi,zi) (i=1,2,…m,j=1,2,…n)，设aij=zij，则得到一个m×n矩阵A=(aij)=(zij).下面用A的奇异值分解来寻求拟合曲面z(x,y).

设m维向量uk=((uk)1,(uk)2,…(uk)m)Τ，对数据点(xi,(uk)i),i=1,2,…,m，可以用曲线拟合或者一元函数插值，求得函数uk(x),k=1,2,…,r.同样，设n维向量vk=((vk)1,(vk)2,…(vk)n)Τ，对数据点(yi,(vk)j),j=1,2,…,n，可以用曲线拟合或者一元函数插值，求得函数vk(y),k=1,2,…,r.

由(3)式

设二元函数

3 实验算例

例：设曲面z=x2+y2，在曲面上任取数据点(xi,yi,zij) (i=1,2,…,7.j=1,2,…,7)，其中(x1,x2,…x7)=(-3,-2,-1,0,1,2,3)，(y1,y2,…y7)=(-3,-2,-1,0,1,2,3).

曲面图形如图1所示，将这些数据点(xi,yi,zij)(i=1,2,…,7.j=1,2,…,7)用线段连接起来得到的图形如图2所示.

下面用基于奇异值分解的曲面拟合算法进行求解：

根据已知条件，可以得到

故矩阵Z的秩为2，基于奇异值分解的曲面拟合算法，矩阵Z可以写成如下形式：

对2维数据点用一元函数插值的方法求得，得到拟合曲面如图3所示，对2维数据点用曲线拟合方法求得，得到拟合曲面如图4所示.

图1 曲面原图图2 连接数据点得到的图形

图3 本文算法(插值方法)图4 本文算法(拟合方法)

由上述四个图形可以看出，利用基于奇异值分解的曲面拟合算法进行曲面拟合，能得到比较满意的拟合效果.

以x=1.5,y=1.5为例，代入曲面函数，可以得到z=4.5.用文中算法(插值方法)进行计算，得到结果z=5.0.而用文中算法(拟合方法)进行计算，得到结果z=4.5，和真实值一样.

因此，在曲面原图未知的情况下，利用基于奇异值分解的曲面拟合算法，进行曲面拟合，得到的拟合效果要比直接用线段连接起来而得到的图形的效果要好.

4 小结

在只知道一些三维点坐标的时候，用基于奇异值分解的曲面拟合算法进行拟合，能得到比较理想的拟合效果.但是，具体曲面拟合过程中2维数据点用一元函数插值的方法求得还是用曲线拟合方法求得，需要根据实际情况而定，并且在用拟合方法的时候，拟合函数要通过反复试验来确定.