从不同视角看函数

刘虹

摘 要：本文探讨函数思想在中学推规律问题中的应用，主要内容包括数形结合将几何量的变化，转化为利用函数关系表示几何图形的变化规律，以及运用函数的性质来解决一些实际问题等内容.

关键词：函数 函数思想 规律 数形结合

各年中考真题凝聚着命题人对数学的理解，是命题人理解教学应该掌握到何种程度的表征，体现命题人对所在区域学生整体学习水平的估计，在复习阶段合理选择真题作为教学例题或训练材料都是理想的选择。

二次函数的有关计算与应用是云南省、昆明市历年中考的必考内容，很长时间压轴题都是以二次函数综合题题型出现（至2016年）。二次函数现今放到22题，21题，大家发现。不是不考二次函数，而是考察体量和难度稍有降低。

本文以寻找一道中考真题的解为线索设计教学，以学生的心理需求层次为分类依据，按照“学生先行、交流呈现、教师断后”的方式展开教学。这种教学过程，以“问题串”为线索，通过“学生先行”身历其境，获得体验;通过“交流呈现”碰撞思维，获得提升;通过“教师断后”，感悟本质，获得认知数学的方法。

一、教学过程设计

通过下列问题串的解决，借助生生、师生交流和教师断后等环节，逐步建构本节课的教学目标。

问题：用列表法画二次函数的图像时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一个值不正确，这个不正确的值是 。

学生先行，其中学生的“思维产品”呈现如下：

1.想直接设表达式y=ax2+bx+c，但发现题目中的条件“自变量x的值以相等间隔的值增加”用不了;

2.y所对应的值中“有一个值不正确”导致不知该不信任那个y，知道的y值也不知道怎么用;

3.画草图，所给信息不足;

教师总结如下：

（1）教师肯定学生的求知态度和探索精神：学生思维产品（1）（2）和（3）的本质一样，条件解决不了问题。

（2）这个问题是出现在中考题中，原题是个选择题，如下：

用列表法画二次函数的图像时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一个值不正确，这个不正确的值是： （ ）

（A）506 （B）380 （C） 274 （D）182

尽管答案的范围缩小为4选1，但似乎因为条件用不了，导致仍找不到答案。

设计意图：作为本节课引入的问题，起点要低，但立意要高。本题貌似很简单，求函数解析式就可以找到答案，但因为条件用不上而止步。怎么办呢？想解决吗？教师顺势引出示例1。

示例：（2015年武威市中考题）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫作三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形……数，依此类推，那么第9个三角形数是 ，2016是第 个三角形数。

解：通过对下面数列及所对应的序号进行观察，可以发现：三角形数随着序号的改变而改变，当序号确定时，都有唯一确定的三角形数与其对应，因此，三角形数是序号的函数，而且相邻的三角形数两次作差后为定值（如图1），因此，可以猜想y是关于n的二次函数。

不妨设y=an2+bn+c（a≠0），将（1，1），（2，3），（3，6）代入，得从而求出解析式为：将（4，10），（5，15）代入，验证成立。

因此，当n=9时，可得y=45;当y=2016时，可得n=63，故答案为45，63。

示范解读：这是一类有关数式变化的规律探寻问题，观察此类问题的规律要从符号、代数式、增减发展趋势、排列分布特征等方面入手，通常运用归纳推理探求规律。

教师断后：教师总结解决此类问题的基本思路如下：

1.标序号;

2.观察序号与其所对应的数或代数式的关系，将每一部分与序号之间的对应关系用代数式表达;

3.根据找出的规律得出第n个代数式;

4.检验所得结果;

5.得出结论。

本题中的三角形数随序号的变化而变化，并且序号的每一次改变，都会对应唯一确定的三角形数，它是一种特殊的函数。教学时，教师需引导学生关注“定”与“变”的关系。比如：该题变化的是序号、序号所对应的三角形数、三角形数第一次作差的结果，不变的是三角形数两次作差的结果。作为拓展思考，本题还可以转化为表格、图形等形式呈现，给数赋予不同的情境。

极速反馈1：（2016年安顺市中考题）观察下列砌钢管的横截面图（图2）：

则第n个图的钢管数是 （用含n的式子表示）。

学生先行，其中学生的“思维产品”呈现如下：

（1）生1：根据图形排列的规律，如图3方式按行自上而下进行分割，n=1时，钢管数为3=1+2 ; n=2时，钢管数为9=2+3+4 ; n=3时，钢管数为18=3+4+5+6 …

（2）生2：如图4将其左右分割：

n=1时，钢管数为3=3+0×2 ; n=2时，钢管数为9=6+1×3 ; n=3时，钢管数为18=10+2×4;n=4时，钢管数为30=15+3×5 …再将问题转化为熟悉规律模型或直接借助结论解决问题。

（3）生3：通过观察图形结构，可以发现，当n=1時，钢管数为3;当n=2时，钢管数为9;当n=3时，钢管数为18;当n=4时，钢管数为30。仿照示例1：如图3

可以发现y是关于n的二次函数。把序号n看作自变量，钢管数y看作是序号n的函数。不妨设y=an2+bn+c（a≠0），将（1，3），（2，9），（3，18）代入，得从而求出解析式为：。将（4，30），代入，验证成立。

故第.n个图的钢管数是。

该题经改编出现在昆明市五华区2017—2018年九年级上期末学业水平测试卷第6题，长这个样子：

极速反馈2：如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到19层（n =19）时，需要 根火柴。

示范解读：

解决有关图形变化规律探寻问题的关键在于数形结合地将图形变化规律探寻问题转化式变化规律探寻问题，也就是转化为代数问题，达到化难为易的目的。

问题回放：

回到本文的引入：用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一个值不正确，这个不正确的值是： （ ）

（A）506 （B）380（C） 274（D）182

现在就可以据当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加，对二次函数y所对应的值做再解读：

可以判断与18有关的数是呈二次变定的规律，反推出274为问题数，本题选C。

教学时，可以让学生先关注图形中的基本结构，通过观察，明确图形结构中不变化的基本图形，利用适当的方式（如分割、增补等）加以处理，比较图形之间发生变化的部分，分析得到变化图形的数量与序号之间的联系，其中对图形的不同处理方式会引发不同的求解思路。

教师断后：

图形变化规律探寻问题可以避开图形的干扰，转化为示例1中的方法解决，如本题解法就是直接研究每一序号对应的数与序号之间的联系，解法3与示例1中的解法2如出一辙。

达到通过利用图形语言向符号语言的转化，降低解题难度。

注意：由于题目赋予了实际背景一一图形，因此，有效地关注图形结构，可以适当优化解题方法，同时，用图形结构辅助分析式子的构成及验证结果，也不失为一种有效的方法。

解题过程中始终注重图形、符号、文字语言的转化，形成新的关联。

二、课后建议

1.重视过程研究，积累活动经验

积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。在规律探寻问题的教学中，教师要避免直接告知解题术或解题方法，记忆解题技巧，然后大量进行重复、机械训练的教学方式，而是通过适量的典型习题训练，让学生经历观察、分析、比较、概括、归纳、猜想和验证的全过程。教师要鼓励学生表达，首先是自己表达，然后是相互交流，进而是教师评判，提升质量。引导学生从变化特殊性中寻找出不变的本质和规律，并对相关的题目进行分类整理，教师还需注意引导学生对规律探寻问题的应用育景、使用条件、解决问题的一般过程与步骤加以概括，从面积累活动经验。

2.体会思想方法，发展核心素养

规律探寻问题因其具有结构独特、问题情境变化多样等特点，已成为学生体会思想方法，发展学科核心素养的良好载体，逻辑推理、数学抽象是重要的数学学科核心素养，推理意识贯穿数学教学的始终，本文中的示例运用的是合情推理中的归的推理有利于培养学生根据情况预测结果和根据结果探究成因的能力，不被表面现象所速感，能通过现象看本质，具有数学地看待和思考间题的习是学生具备象意识的具体体现，在规律探寻问题的教学中，教师需注意引导学生做到三点：首先，通过对众多不同形式的呈现方式和结果分析，揭示几类问题的共性和差异，寻找化归的切入点，并养成把其他问题化为数学问题的意识;其次，有意识地区分问题的主要因素与次要因素，本质特征与表面现象，从面抓住本质解决同题，即在不断变化的数、式和图形中寻找不变的量或关系，从而刻画变化的规律，体会数学思想方法

再次，当学生理解了具有特殊結构的数学模型的抽象意义之后，教师还可以围绕某一具有特结构的数学模型，如例1中的·引导学生把模型“转移”到自已熟悉的、联系紧密的、具体的事物中去，为模提供大量的具体例证，使学生对抽象模型获得较为具体而全面的感知，力求做到学一反三，触类旁通。