中考数学全等复习的有效策略

毛小霞

【摘 要】 本文主要从一道比较难的全等综合题的讲解教学展开设问出发，层层铺垫，引导学生从不同角度不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓展学生解题思路。

【关键词】 中考数学;全等;有效策略

进入中考备考的复习阶段，常常开展知识板块的复习，复习课不同于新课教授，往往在内容上要求学生对学过的知识加以巩固的同时，还要求教师认真备课精心设计，对典型例题、典型模型进行预设铺垫式问题的剖析，挖掘其深刻的内涵，让学生对此类问题形成深刻的认识，把握这类问题的本质，从而达到触类旁通、举一反三的效果。本文中，笔者借一道较难全等综合题教学的研究，说说中考数学全等复习的有效策略。

一、从一道较难全等综合题的教学说起

考题：如图1，已知四边形ABCD，M、N、G分别为AB、CD、AD三边上的中点，E、F是四边形内部的点，EA=ED，EB=EC，FMAB，FNCD，∠AED=∠BEC=90°，连接GF，求证：GFBC。

考题分析：这道题从答题情况来看，授课的两个班级里没有学生做对，整个年级也只有几个学生做出来，大部分学生无从下手，说明这题的难度确实很大。初看这道题条件很凌乱，要有一些语文基础才能把已知条件理清。为了做好这道题有关知识点的讲解，取得较好的评讲效果，本人进行了一些设计和预设了一系列铺垫问题，层层剥开它的面纱。

问题1：同学们读完题后有哪些想法或解题的思路？

预设：题目中出现了共顶点、等线段的两个等腰直角三角形，想到了手拉手模型，连接BD、AC交于K得到全等，得到相等的边和角。教学中注意让学生先独立思考再相互交流自己不同的想法，优等生带动后进生，找出图形中的第一对全等三角形△AEC≌△DEB（SAS），可以安排后进生把全等的过程写出，有利于大家对问题的理解，便于后续问题的讨论。

问题2：在全等的基础上讨论可以得出哪些结论？这些结论对解这道题有没有帮助？

预设：写出由全等得出相等的边、相等的角有：AC=BD，∠EAC=∠EDB，在老师的引导下，大部分同学可以由“8”字型模型得到∠AKD=∠AED=90°，从而得到AC⊥BD，也就是第三组边相等且垂直。但接下来怎么做，同学都会一脸茫然，一步一步引导，中找出接下来的思路。

问题3：思考能不能找出其他的全等三角形？

预设：连接AF，BF，CF，DF，在问题2的基础上，同学们都能说第一对手拉手模型的全等三角形及相等的边角，特别强调∠AKD=∠AED=90°，接着引导学生由垂直平分线的性质得到第二组手拉手模型的全等三角形△BFD≌△AFC（SSS），写出全等的过程及得出等应相等的边和相等的角。

问题4：请同学们思考：△AFB、△DFC是什么三角形？

预设：由问题3中第二对手拉手全等有∠DBF=∠CAF，∠BDF=∠ACF，在问题2的基础上，学生容易得到∠AFB=∠AKB=90°，∠CFD=∠CKD=90°由于AF=BF，CF=DF得出△AFB、△DFC是等腰直角三角形。做到这，此题基本上做了一半。

问题5：不妨延长GF交BC于H点，试证：∠FBH+∠BFH =90°。

预设：要证∠FBH+∠BFH=90°，因∠AFB=90°，只要证∠FBH=∠AFG即可。FG为△AFD的中线，△AFB、△DFC是等腰直角三角形。跟手拉手模型又有点相似，让想学生想想接下来怎么做。

问题6：现在我们可以大胆尝试中线手拉手模型，勇敢挑战难题。

预设：先引导学生明白这实际上就是等腰直角三角形的中线手拉手的基本模型，用中线倍长作辅助线。延长FG至T，使GT=FG，连接AT。先让优秀学生讲解思路，再让中等生复述，最后让所有学生在下面把过程写出，这样就调动每个学生的学习积极性。如图2，易证△AGT≌△DGF（SAS），得到第三组全等，有内错角的相等得到AT∥DF，为第四组△AFT≌△FBC（SAS）全等中提供角的相等。由全等就解决了问题5中∠FBH=∠AFG，从而得到∠FBH+∠BFH=90°，即可证GF⊥BC。这个过程中复习了手拉手模型和中线手拉手模型。

组织这些教学环节的过程中，注意发挥优等生的示范展示作用，在他们讲解思路之后，再请中等生复述思路，让更多的学生参与。特别是问题6中的中线手拉手以前讲过，但平时用得比较少，大部分学生都忘了，那就要求将它的特征及辅助线作法讲得更细更清楚。这道题很复杂，其中有四次全等，每次全等都不是那么简单，但将每个环节想清楚了，就像是一层一层地剥开外面的纱，也就真相大白了，通过理清这道题的思路，对学生以后学习复杂的难题很有帮助。

变式练习：

（1）如图3，已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE共顶点A，连接BD、CE，M、N分别为BD、CE的中点，连接AN、AM，求证：△AMN为等腰直角三角形。

（2）如图4，已知△ABC和△ADE是等边三角形，连接CD和BE，CD和BE的垂直平分线交于点O，连接OC、OB、OD、OE，求∠BOC+∠DOE的值。

设计意图：这两道习题针对上面的问题而设计，可有效反馈学生对手拉手模型和中线手拉手模型的掌握，以及一些结论的很好的认识，达到巩固知识点的作用。

二、复习全等综合题解题教学的几点思考

1.精心预设全等综合题的教学过程

全等综合题作为中考考点之一，能思路清楚、顺利完整解答的学生并不是很多，并且一部分题需要添加辅助线，在评讲之前，要求教师做好充分的课前准备，主要针对全等综合题的深刻理解，特别是对几个问题之间的铺垫步骤和思路要理清，对如何引导學生突破关键点进行铺垫式设问，层层递进。对于一些较难的综合，不能像参考答案一样只管呈现所谓的“规范答案”，而要通过恰当的问题引导促进学生积极参与。比如，上面考题讲解“问题2”，这是一个开放式问题，目的就是让全体学生都参与进来，尽管并不是每个学生都能答到点子上，但是每个人读完题目后都会有自己的想法和态度，也可以在小组内交流，教师通过恰当的追问促使学生更好更快地掌握对应的知识。

2.教会学生弄清问题本质发现数学模型

这道全等综合题，我们通过分析、梳理，发现其本质就是手拉手模型，找出了关键，就可以通过模型解题了。教师在教学过程中要教会学生总结和归纳，洞察问题的真相，掌握模型的变化，例如上题中“问题3”，如果学生在掌握手拉手模型结构，教师铺垫式提问就能做到一针见血。教会学生类比延伸，利用问题的联系，实现模型的扩展，再如上题中“问题6”，它不但是跟手拉手模型有关，还与中线倍长有关，通过作辅助线来构造全等来解决问题，数学模型的应用更好地体现了数学运用的广泛性和灵活性，更有利于培养学生的能力。

3.全等综合复习教学要注重变式

在讲解之后，为了即时反馈学生掌握情况，进行变式练习是有效的检查方式，本文选用了手拉手模型和中线手拉手模型各一题，其实就是对比较难的全等问题的变式改编，这样能有效评价学生对评讲内容的理解、掌握及应用情况。在复习备考全等综合题过程中，要善于把经典的全等模型进行改编包装，以训练学生识别能力，练就“火眼金睛”，达到快速解题的目的，这样要求教师在日常课堂教学中针对例题习题的改编和变式更需要有扎实的命题基本功。

三、启示与感悟

1.整体设计精心预设

通过这道较难全等综合题的讲解，发现中考复习阶段需要有计划、有步骤地安排复习，明确复习思路。在这节复习评讲课上做到整体设计精心预设，用全等这条主线把题目串起来，用几个问题式的提问把学生调动起来，这样不但能让学生对数学基本思想有充分的认识，还能提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

2.倡导主题式复习

这节复习评讲课也体现了主题式复习，以“全等”为主题贯穿整节课，同时教学内容和难度也在层层深入，最后一个中线手拉手将本节课进一步升华，充分体现了以学生为本的教学理念，做到充分调动学生的积极性，发挥学生复习时的主动性，提高复习效果。

【参考文献】

[1]任维.解题教学要教学生学会思考—从一道较难填空题的讲评说起[J].中学数学（下），2019（5）.

[2]王裕龙.经典几何问题及变式教学—从一道几何综合题的讲评说起[J].中学数学（下），2019（8）.