四阶椭圆奇异扰动问题混合有限元方法

刘 凯，黄学海，王文庆

(1.温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035；2.温州商学院，浙江温州 325035)

对于四阶椭圆奇异扰动问题，常用的方法是采用非协调有限元来近似求解[1-2]，而本文是选用混合有限元方法[3]来求解该类四阶椭圆问题.在二十世纪七十年代，混合有限元方法是由Babuska和 Brezzi等[4-5]提出的，其基本思想是为了降低有限元空间光滑性，把高阶方程通过引入中间变量降为低阶的方程组.

我们首先建立了连续 inf-sup条件，由此得到了四阶椭圆奇异扰动问题混合变分形式的适定性.然后定义网格依赖范数，建立了离散 inf-sup条件，从而证明了四阶椭圆奇异扰动问题Hellan-Herrmann-Johnson（HHJ）混合有限元方法解的存在唯一性.最后，对HHJ混合有限元方法进行了误差分析.

1 预备知识

设Ω⊂ℝ2为有界的多边形区域，并记∂Ω为边界.本文讨论具下列形式的四阶椭圆奇异扰动问题[6-7]：

使得

混合有限元方法通常涉及两个不同的空间，但这两个空间并非任意选取，而需满足一定的条件，即inf-sup条件.

证明：由文献[8]中的定理2.6知，混合元方法的适定性等价于下列inf-sup条件：

2 离散问题

定义有限元空间[9-11]：

当 k ≥1, K ∈Th，空间Σh的局部自由度为：

空间Vh的局部自由度为：

对于混合变分形式（3） - （4），四阶椭圆奇异扰动问题HHJ混合元方法为了

应用分部积分，则有

定义网格依赖范数

下面证明离散inf-sup条件.为了证明离散inf-sup条件，作引理1与引理2的证明，进而证得引理3，最后由文献[8]中的定理2.6，证得离散inf-sup条件.

由

有

结合（8）式证得（7）式.

证明：由逆不等式得

由（9） - （10）式得证.

证明：由

得

结合引理1和引理2，引理3得证.

然后由文献[8]中的定理2.6，有下列inf-sup条件：

3 误差估计

为了求得HHJ混合元方法的误差估计，定义下列几个插值算子.

证明：运用分部积分，得

最后应用引理4得证.