构造(2+1)维扩展浅水波方程的新奇精确解

刘卿君，查石友

(1.曲靖师范学院经济与管理学院，云南曲靖 655011；2.寻甸县第一中学，云南寻甸 655200)

近几十年来，各种非线性偏微分方程的孤子解受到了不同自然科学领域的广泛关注，特别是孤子解可以提供一些有价值的信息来理解非线性物理现象及相应的实验结果.在孤子理论中，水波方程可以描述流体动力学、弹性介质和等离子体中的一些现象.因此，很多学者对研究水波方程表现出极大的兴趣.一般而言，直接求解诸如孤子方程的非线性偏微分方程的精确解是非常困难的.然而一些强有力的方法已经被提出来寻找水波方程的精确解，目前主要有backlund变换[1]，Darboux变换[2]，Wronskian技巧[3]，Hirota直接方法[4-6]等.Hirota直接方法[6]是导出可积方程孤子解的一种有效方法.一旦一个可积方程可以转换成双线性形式，则可以成功考虑这个方程的可积性、N孤子解、backlund变换、拉克对和准周期波解.由Ryogo Hirota教授提出的“直接方法”[6]可以统一的用来解决各种各样的非线性偏微分方程，该“直接方法”简洁有效.为纪念 Ryogo Hirota教授的这项发明，该方法用作者的名字命名为“广田方法”[6].近年来，利用 Hirota“直接方法”研究了一些孤子方程如下形式的lump解和线孤子解的相互作用[7-10]：

在海洋学和大气科学中，浅水波方程用来描述水波传播的模型.考虑(2+1)维扩展水波方程[11]：

这里， u =u(x,y,t )是 x,y,t的实函数，α是任意的实数.当 α = 0时，方程（4）即是 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程.通过Cole-Hopf变换获得了方程（4）的多孤子解[11]，通过 ( G'/G)方法得到了行波解[12]，通过双Bell多项式研究了Lax对、无穷守恒律[13].此外，利用Hirota双线性方法得到了方程（4）含有任意函数φ( y )的Wronskian解、Pfaffian解、周期波解[14].本文借助符号计算软件maple也获得了方程（4）的一类含有任意函数 (y φ)新奇精确解.

1 方程（4）的双线性方程

通过相关变量变换[15]：

这里 f (x,y,t)是 x,y,t的实函数，φ ( y )是y任意实函数.方程（4）变成双线性方程：

这里双线性导数D定义参见文献[4].方程（6）等价于：

2 方程（4）的新奇精确解

条件1 选取测试函数：

代入（7）式得到：

（9）式代入（8）式得到：

（10）式代入（5）式得到方程（4）的第一类新奇精确解：

（11）式中取不同的任意函数(yφ)得到如图1所示的三维动态图.

图1 方程（11）取不同的φ(y)和α=a1=a2=a4=t=1得到不同的三维动态图

条件2选取测试函数：

代入（7）式得到：

（13）式代入（12）式得到：

（14）式代入（5）式得到方程（4）的第二类新奇精确解：

（15）式中取不同的任意函数(yφ)得到如图2所示的三维动态图.

图2 方程（15）中取不同的φ (y)和α1==a2==a=a5==t=1,a4==a8==2得到不同类型的三维动态图

条件3 选取测试函数：

代入（7）式得到：

（17）式代入（16）式和（5）式，得到方程（4）的第三类新奇解：

（18）式中取不同的任意函数(yφ) 得到如图3所示的三维动态图.

图3 方程（18）中取不同的φ(y)和α1=a8=a=a9=t=1,a2=a4=a5=2得到不同类型的三维动态图

条件4 选取测试函数：

代入（7）式得到：

（20）式代入（19）式得到：

（21）式代入（5）式得到方程（4）的第四类新奇精确解：

（22）式中取不同的任意函数(yφ)得到如图4所示的三维动态图.

3 结 论

图4 方程（22）中取不同的φ(y)和得到不同类型的三维动态图

本文基于双线性方法，选取了几个特殊的测试函数，得到(2+1)维扩展浅水波方程一类新解，这些解包含一个任意实函数φ ( y )，选择特殊的函数φ ( y )得到了这些解的有趣的动态图，特别地，从这些三维图中可以看出图1（a）、图2（a）、图3（a）、图4（a）明显受正弦周期函数sin(y )的的周期影响.此外，还可以选取与条件1 - 4不同的测试数会得到一类更丰富的解，有待进一步研究.