一类广义弗比纽斯群

何立国，胡显宇

(沈阳工业大学 数学系，辽宁 沈阳，110870)

1 引言及引理

弗比纽斯群在群论中有着广泛的应用，特别是在置换群论和特征标论中，以至于其定义有很多推广形式，例如群作用形式、模形式、特征标形式等等.Kuisch和van der Waall[2，3]将弗比纽斯群的定义从群元素推广到群的p正则元素上，给出了弗比纽斯群的p-模形式，并研究了相应的群结构，证明了：在p≠2时广义弗比纽斯核是可解的，p=2时广义弗比纽斯核的非交换合成因子都同构于PSL(2，32i)，i是某一正整数，等结果.曾吉文等[4，5]给出了与弗比纽斯群的p-模形式等价的弗比纽斯群的p-Brauer特征标形式并给出了一系列结果.例如，证明了：在p-模弗比纽斯群的极小弗比纽斯核的p-正则共轭类数是3或4时，此p-模弗比纽斯群分别同构于S3或A4；在极小弗比纽斯核的p-正则共轭类数是5时，此p-模弗比纽斯群同构于D10，M10或Z5:Z4.还有其它作者[6-8]对此类群感兴趣，给出相关结果.

在本文中，用素数集π替换素数p，将上述关于素数p的弗比纽斯群推广成如下关于素数集π的弗比纽斯群，并研究相应群结构.符号|G|π表示有限群G的阶|G|的π-部分.π(G)表示|G|的素因子集.

定义1.1取定一个素数集π和一个自然数n>1.假设G传递作用在集合Ω={α1，α2，…，αn}上，|CG(αi)|π>1对于任意i，且|CG(αi)∩CG(αj)|π=1对于任意i≠j.那么称G是一个关于素数集π的广义弗比纽斯群(简称广义弗比纽斯群)，称此群作用为关于素数集π的广义弗比纽斯群作用(简称广义弗比纽斯群作用).

当π(G)⊆π时，满足上述定义的广义弗比纽斯群就是弗比纽斯群.为了研究上述定义下的广义弗比纽斯群的结构，我们需要下列预备结果.

下面关于弗比纽斯群的经典结果主要是由J.G.Thompson和W.Burnside给出的.此处G=N∶H表示G是子群N与H的半直积，其中的N是正规子群.

引理1.2假定G是一个弗比纽斯群具有弗比纽斯核N和弗比纽斯补H.那么G=N:H并且(|N|，|H|)=1，N是幂零的，H的Sylow子群要么是循环群要么是广义四元素群.在H是奇阶时，H亚交换群.

证明.见文献[9]中Satz V.8.3，Satz V.8.5，Hauptsatz V.8.7和Satz V.8.18.

下面是著名的Schur-Zaussenhaus定理.符号π′表示π在全体素数集中的补子集.

引理1.3如果G有一个正规Hallπ′-子群，则G有Hallπ-子群，并且任意两个Hallπ-子群是共轭的.

证明.见文献[10，p112]定理4.3.

如果有限群G有一个正规群列，它的每个因子群要么是π-群要么是π′-群，则称G是一个π-可分群.由定义可见一个π-可分群也是一个π′可分群.π-可分群有如下性质.

引理1.4设G是一个π-可分群，则下列陈述成立.

(1)G的子群及商群是π-可分群.

(2)G有Hallπ-子群，并且任意两个Hallπ-子群是共轭的.G的任意π-子群包含在某一Hallπ-子群中.

证明.见文献[10，p166]定理2.1.

2 主要结果

定理2.1设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π并且G是π-可分群.那么G的任一Hallπ-子群H均是弗比纽斯群.

证明.设G对Ω有一个广义弗比纽斯作用，Ω1⊆Ω是一个H-轨道.由于G对Ω的作用是忠实的，故H对Ω的作用也是忠实的，因而可取|Ω1|>1.对于任意α，β∈Ω1，我们可以得到CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β)，所以阶|CH(α)∩CH(β)|整除阶|CG(α)∩CG(β)|.又因为|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一个π数，可得CH(α)∩CH(β)=1.由引理1.4，G的非平凡子群CG(α)是π-可分群.因为|CG(α)|π>1，可得CG(α)有Hallπ-子群K>1.再由引理1.4，我们可以取Hallπ-子群H满足H≥K>1.因此CH(α)≥K>1.由于Ω1中点的稳定子群彼此共轭，所以这些子群的阶相等并且π-部分大于1，故H对Ω1的作用是弗比纽斯作用，因此H是一个弗比纽斯群.又因为G是一个π-可分群，利用引理1.4得，它的所有Hallπ-子群是共轭的，故G的每一个Hallπ-子群均是弗比纽斯群.证毕.

推论2.2设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π，K是G的次正规Hallπ-子群.那么K是弗比纽斯群.

证明.因为K是G的次正规π-子群，故有次正规子群列，不妨简记为1◁K◁◁M◁G.设g是G的任一π-元素，则L=M是G的一个子群，那么|L|=|M|||/|M∩|.由于M包含G的一个Hallπ-子群，得||=|M∩|，故≤M.因此G的所有π-元素包含在M中.对M利用归纳假设，可知M的所有π-元素都在K中，故G的所有π-元素包含在K中，所以对任意g∈G有Kg=K，因此K是G的正规Hallπ-子群.可见G是一个π-可分群，由定理2.1，K是弗比纽斯群.

定理2.3假设G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π.如果G的π′-元素平凡地作用在集合上，那么G=M:H，其中M和H分别是G的Hallπ′和π-子群，并且H是弗比纽斯群.

证明.设G作用在集合Ω上是一个广义弗比纽斯作用并且作用的核为K，则K是G的一个正规子群.由于G的π′-元素平凡地作用集合Ω上，所以K包含G的所有π′-元素，进而G的所有π-元素对Ω的作用是传递的.因为K≤CG(α)∩CG(β)和|CG(α)∩CG(β)|π=1对于任意不同的α，β∈Ω，所以K不含任何π-元素，得K是一个π′-群并且(|G/K|，|K|)=1，故K=M是G的正规Hallπ′-子群.利用引理1.3，G有Hallπ-子群且所有Hallπ-子群彼此共轭.对于α∈Ω，由于|CG(α)|π>1，利用Sylow定理得CG(α)有p-子群P1>1，对于某一素数p∈π，并且P1包含在G的某一Sylowp-子群P中.由于G的Hallπ-子群包含G的Sylowp-子群并且与P共轭，可取G的某一Hallπ-子群H≥P.取元素个数大于1的子集Ω1⊆Ω是一个H-轨道满足α∈Ω1⊆Ω，可得CH(α)∩CH(β)≤CG(α)∩CG(β)，所以阶|CH(α)∩CH(β)|整除阶|CG(α)∩CG(β)|.又因为|CG(α)∩CG(β)|π=1及|CH(α)∩CH(β)|是一个π数，可得CH(α)∩CH(β)=1.由于H传递作用在Ω1上，故所有CH(α)，α∈Ω1，是共轭的，得所有CH(α)>1，α∈Ω1，所以H对Ω1的作用是弗比纽斯作用，H是弗比纽斯群.证毕.

定理2.4.假定G是一个广义弗比纽斯群关于素数集π.如果G的π′-元素无不动点地作用在集合上，那么G是一个弗比纽斯群，并且G=(K1×K2):H，其中K1×K2是弗比纽斯核，H是弗比纽斯补，K1是一个Hallπ′-子群，K2:H是一个Hallπ-子群.

证明.设Ω={α1，α2，…，αn}，n>1是G作用的集合.由于是广义弗比纽斯作用，可知|CG(αi)|π>1对于任意i.又由于G的π′-元素无不动点地作用在集合Ω上，可得CG(αi)>1是一个π-群.因为|CG(αi)∩CG(αj)|π=1对于任意i≠j，可得CG(αi)∩CG(αj)=1，故G是弗比纽斯群.由引理1.2，G=K:H，其中K是弗比纽斯核，H是弗比纽斯补.G的π′-元素无不动点地作用在集合上，故π′-元素全包含在K中，因K是幂零的，它可写成Hallπ′与π-子群的直积形式，即K=K1×K2，故G=(K1×K2):H.可得K2:H是G的Hallπ-子群.

定理2.5.假定关于素数集π的广义弗比纽斯群G作用在集合Ω上，H=CG(α)，α∈Ω.对于G的任意π-子群K，如果K与H的某一共轭Hg的交K∩Hg>1，g∈G，那么K是弗比纽斯群.

证明.设αg∈Ω1⊆Ω是一个K-轨道 .因为G对Ω的作用是忠实的，所以K对Ω的作用是忠实的，故可取Ω1满足|Ω1|>1.由于Hg=(CG(α))g=CG(αg)，故CK(αg)=K∩CG(αg)>1是一个π-群，因此|CK(αg)|π=|CK(αg)|>1.因为K传递作用在Ω1上，所以任意两个不同的αi，αj，两个稳定子群CK(αi)，CK(αj)是共轭的，因此每个稳定子群的阶|CK(αi)|>1.而|CK(αi)∩CK(αj)|=|CK(αi)∩CK(αj)|π≤ |CG(αi)∩CG(αj)|π=1.因此K是一个弗比纽斯群.

注意到引理1.2表明弗比纽斯群不可能是p-群.这一点可以由定义直接证明.若p-群p是一个弗比纽斯群且作用在Ω上.由于P是幂零群，故其所有子群都是次正规的，不妨设1