反电势负载单相全波整流电路无功功率的图解法

伍家驹，周 叶，冯上贤，陈亮亮

（南昌航空大学信息工程学院，南昌 330063）

随着电动汽车和微电网技术的发展，蓄电池在生活和工业中的应用也日益广泛[1]。蓄电池充电过程中，其电压、电流波形易发生畸变，进而对电网产生谐波污染[2-4]。在非正弦条件下，传统的无功功率和功率因数的计算方法已不再适用[5]，给无功功率的计量和功率补偿等带来了困扰。文献[6]对带反电势负载的整流发电系统进行分析，通过电流分解来研究整流发电系统的稳定条件，但却忽略了直流侧电流高次谐波的影响，存在较大误差；文献[7]提出一种电动汽车充电站接入公网产生谐波的工程算法，但并未分析充电站工作时的网侧功率因数；文献[8]对蓄电池充电时电流畸变情况下的波形系数进行分析，指出了波形系数与导通角的关系，但也未分析反电势负载下的无功功率；文献[9]引入电压脉动系数来描述负载侧电压特性，通过将电压d-q变换来分析整流系统带反电势负载时输出电压的谐波，但对于导致电源侧功率因数降低的非正弦电流却并未加以分析。IEEE1459-2010标准[10]通过将电流进行Fourier变换，从而求得无功功率；Budeanu功率理论[11]采用频域分析法，在Fourier变换的基础上提出失真功率，表征电流波形失真的程度；Fryze功率理论[12]采用时域分析法，将电流分解为相互正交的有功电流和无功电流，进而得到无功功率；文献[13]通过合成三维Lissajous图，利用其投影测算不控整流电路带纯阻负载的无功分量，但以上4种方法均未对反电势负载的情况作出具体分析。现行功率理论在对无功功率分析时多以纯阻负载为典型，对于带蓄电池等反电势负载模型的无功功率分析鲜有报道。可见，由于在单相相控整流电路带反电势负载的状态下存在特有的停止导电角，分析网侧无功功率和功率因数时尚无先例可循。

反电势负载是整流电路的3种典型负载之一[14]。本文以反电势负载电路为例，通过电压、磁通及电流的表达式合成不同导通角下的三维Lissajous图[15]，并由三维图的投影分解出有功和无功分量。分析结果表明，所提反电势负载的无功功率图解法简单直观，易于测算。

1 单相交流电路带反电势负载功率分析

1.1 反电势负载电路原理分析

当整流电路的负载为一个蓄电池，则可将其视为1个直流电压源，其电路如图1所示。

假设电源侧电压为 u（t）=Umsin（ωt），则对 u（t）积分可得磁通 φ（t），且 φ（t）的相位超前电压 90°，即

式中：ω 为角频率，ω=2πf；Um为电源电压最大值；φm为磁通最大值。

分析整流电路可知，当|u（t）|＞E 时，流过晶闸管的电流为

式中：R为整流电路的反电势负载；E为反电动势。

由于整流电路带反电势负载E，当触发角小于停止导电角，即α＜δ时，晶闸管承受负电压，不能导通。为了保证晶闸管可靠导通，将触发角推迟到ωt=δ时刻，即晶闸管存在的停止导电角δ为

由KVL定律可得整流电路电源侧电流为

1.2 三维Lissajous图合成

已知 u（t）、φ（t）、i（t）的表达式，则以 u（t）为横轴方向上的位移函数、以φ（t）为纵轴方向上的位移函数、以i（t）为竖轴方向上的位移函数进行三维Lissajous图合成。由于u轴、φ轴、i轴相互正交，且u（t）、φ（t）、i（t）的频率相同，若采样点相同，则可合成1条闭合、稳定的三维Lissajous曲线[16]，如图2所示。

图 2 中，t0～t2为正半周的导通区间，t2～t3为正半周的截止区间；t3～t4为负半周的截止区间，t4～t6为负半周的导通区间，t6～t7为负半周的截止区间，t7～t0为正半周的截止区间。

1.3 三维图的绘制

借用Matlab中的plot3指令进行三维Lissajous图的合成，通过设置电流i（t）的通断时间来改变晶闸管的导通角，其绘制步骤[17]如下。

①建立整流电路带反电势负载模型；

②以时间 t为 u（t）、φ（t）、i（t）的自变量，在程序中设置合适的步长；

③分析电路模型，构造电压、电流和磁通表达式；

④根据晶闸管导通角和停止导电角设置电流表达式的导通区间；

⑤以 u（t）、φ（t）、i（t）为函数 f（u，φ，i）的自变量，利用plot3指令绘制u-φ-i三维Lissajous图；

⑥利用view指令得到φ-i面、u-i面的二维投影图；

⑦利用polyarea指令通过计算机测算二维投影图的面积。

1.4 反电势负载有功功率

将图2向φ-i面投影，即得到φ-i平面图，如图3所示。

由于整流电路带反电势负载，则变压器副边电流在整周期内不能完全导通，相比于纯阻负载电路，反电势负载电路延迟δ电角度导通且提前δ电角度关断。因此，图 2 中 φ（t）∈φ（θ）∪[-φ（θ）]对应时刻的 i（t）=0，则 φ-i平面图可由 2个椭圆的一部分拼接组成，如图3所示，则

可知，图 3 截取了式（5）所表示椭圆的 i（t）≥0部分和式（6）所表示椭圆的i（t）≤0部分拼合而成。

1.5 反电势负载有功率分析

图3中，纵轴表示电流，量纲为I；横轴表示磁通，量纲为 L2MT-2I-1，故其乘积 i（t）φ（t）所表示的面积M为功，其量纲为L2MT-2。在第1、3象限内，有i（t）φ（t）＞0，在第 2、4 象限内，有 i（t）φ（t）＜0，因为耗散功是不可逆的，故通过累计面积M来计算所耗散的功时，需取其绝对值|i（t）φ（t）|，则有

将图3面积M除以周期T，其值可表示为单位时间所作的功，也即有功功率，表示为

由式（8）可知，M和P均与积分上、下限有关，积分上限随时间t的增加而增加，即有功功率与相控整流电路的导通角θ成正比；但积分下限也随停止导电角δ的增大而增大，即导通角θ的取值范围随δ的增大而减小，则有功功率与停止导电角δ成反比。当晶闸管导通角θ达到ωT/2-2δ时，有功功率达到最大。

1.6 伪无功功率定义

记反电势电路电压 u（t）=Umsin（ωt）并投影到图2 横轴 u，将其电流 i（t）=[Umsin（ωt）-E]/R 投影到纵轴 i，则 u-i平面 i轴与函数 f（u，i）所围面积为伪无功功率Qf，以表达伴随着交流瞬间功率变化，与近旁电磁场交换的瞬间无功能量流的额度。

伪无功功率流是由近旁电磁场完成的，假设存在等效电感L，但不拘泥于L的电感量，仅关注电感中的电流及其超前90°的两端电压，则能利用Lissajous图在u-i平面投影上的面积来表达。

1.7 反电势负载无功功率图

将图2向u-i面投影，得到u-i平面图，如图4所示。

因为带反电势负载的整流电路存在停止导电角δ，所以图 4中u（t）∈[-u（δ），u（δ）]对应时刻的i（t）=0。 图中 t0～t1、t1～t2及 t4～t5、t5～t6时刻 u-i曲线数值的正负和变化率，反映了电路伪无功功率的存储与释放。

1.8 反电势负载无功功率分析

图 4 中，在 t0～t1期间，u＞0，di/dt＞0，积分所得阴影面积 MΔt0t1m＞0，表示磁场存储能量；在 t1～t2期间，u＞0，di/dt＜0，则阴影面积 MΔt1t2m＜0，表示磁场释放能量；两面积大小相等，方向相反，可相互抵消，即磁场存储与释放的伪无功功率， 对外不彰显无功功率；同理，在 t4～t5和 t5～t6期间，负半周的伪无功功率，则在整周期内反电势负载的伪无功功率正负抵消，对外不彰显无功功率。

反电势负载的网侧无功功率表达式为

等式（9）右边括号内第一、二项分别是正、负半周的伪无功功率，结合反电势负载整流电路，可得其网侧无功功率为

将式（8）与图3中的图形面积相结合，可得有功功率，进而由功率因数的定义得到λ=1。

由式（10）可知，M和Q均与积分上、下限有关，当导通时间t＜T/4时，积分上限随时间t的增大而增大，即无功功率与导通角θ成正比，当t＞T/4时，积分上限随t的增大而减小，即无功功率与θ成反比；积分下限又随停止导电角δ的增大而增大，则无功功率随停止导电角δ的增大而减小，反电势负载整流电路的无功功率在导通角为ωT/4-δ处达到最大。

1.9 反电势负载与纯阻负载区别

在正常导通情况下，纯阻负载电路的网侧电压和电流都是完整正弦波。而对于反电势负载，其网侧电压是正弦波，假设在 Um＞E 的条件下，当|u（t）|＞E 时晶闸管单通，电流为正弦波，当|u（t）|＜E 时，由于半导体器件的单向导电性导致晶闸管关断，无电流通过，因此，在整周期内，电流波形为残缺的正弦波，而从晶闸管停止导通到ωT/2的电角度称之为停止导电角。由于传统的功率计量是通过电压有效值乘以电流有效值，而反电势负载的电流波形非正弦则导致了传统功率计量方法出现问题。将反电势负载电路的电压、电流等参数进行标么化换算，其波形如图5所示。

图 5 中，曲线 1 为 u（t）波形，曲线 2 为 i（t）波形，曲线3为瞬时有功功率p（t）波形，曲线4为平均有功功率P，曲线5为网侧设备最大做功能力pmax即瞬时有功功率的最大值。

由网侧电压和式（4）可得瞬时有功功率为

由式（11）与图5可知，瞬时有功功率呈电压、电流的2倍频脉动，而周边电磁场随之进行能量的存储与释放。

在纯阻负载情况下，瞬时有功功率p（t）随平均有功功率P按正弦规律波动，其能量的存储与释放的能量可以相互抵消，网侧最大做功能力与平均有功功率的差值可以表达为无功功率。而在整流条件或反电势负载情况下时，其能量的存储和释放不能相互抵消， 由于 ωT∈[0，δ]∪[ωT/2-δ，ωT/2+δ]∪[ωT-δ，ωT]，部分 p（t）=0，则瞬时有功功率 p（t）不是完整正弦波，其缺失的部分将在伪无功功率中得到表达。

1.10 反电势负载特点

单相相控整流带反电势负载的电路模型常用于蓄电池充电，当进行充电时，反电势E会随时间逐渐增大，则由式（3）可知，停止导电角δ也随之增大。为方便无功功率的测算，仅取某一时刻的电路模型进行分析，则该时刻反电势E为一固定值，可将其视为一直流电压源。

将图2～图4相结合，把图3的残缺椭圆、图4的阴影三角形代入图2中，可得反电势负载三维图如图6所示。

由图6可看出瞬时无功能量流的变化和伪无功功率存储与释放的过程，便于后续测算和分析。

2 不同导通角下的功率分析

2.1 整流电路表达式分析

以 u（t）=311sin（100 πt），R=5 Ω，E=155.5 V 的带反电势负载单相全波相控整流电路为例进行分析。当触发角α＜δ，晶闸管承受负电压，不能导通。为保证晶闸管可靠导通，将触发角推迟到ωt=δ时刻，晶闸管导通后，由式（4）可得变压器副边电流i（t）为

由式（3）可知，此时停止导电角 δ=30°，晶闸管导通角的取值范围为120°。取几个特殊导通角进行无功功率的具体分析。

2.2 不同导通角下的无功功率

2.2.1 导通角 θ=45°

θ=45°的三维图如图 7 所示。 t0～t1、t5～t6分别为正、 负半周的导通区间，t1～t2、t7～t9为正半周的截止区间，t2～t4、t6～t7为负半周的截止区间， 而 t4～t5、t9～t0的导通时间是由开关元件的特性决定的。

由图7（b）可知，有功功率等于正、负半周的2部分面积之和除以周期T，得P=1.11 kW。

由图 7（c）可知，在 t9～t0期间存于磁场中的能量在 t0～t1期间被释放，由于 u＞0，di/dt＜0，则 Δt0t1t9所围面积构成正半周的伪无功功率，即

在t4～t5期间存储的能量在t5～t6期间被释放，由于 u＜0，di/dt＜0， 则△t4t5t6的面积构成负半周的伪无功功率=-2.10 kvar。

网侧无功功率为正、负半周伪无功功率之和除以工频电角度的平均值，即

功率因数为λ=cosφ=0.86

2.2.2 导通角 θ=90°

θ=90°的三维图如图 8 所示。 t0～t2、t5～t7分别为正、 负半周的导通区间，t2～t3、t8～t9为正半周的截止区间，t3～t4、t7～t8为负半周的截止区间。

由图8（b）可知，有功功率等于正、负半周的2部分面积之和除以周期T，得P=3.30 kW。

由图 8（c）可知，在正半周 t0～t1，由于 u＞0，di/dt＞0，则梯形的面积构成正半周的正伪无功功率，即

在正半周t0～t1，由于u＞0，di/dt＜0，则△t1t2的面积构成正半周的负伪无功功率，即

在负半周，伪无功功率的分析过程与正半周类似，晶闸管重复正半周的工作过程。分析得负半周的正伪无功功率=1.12 kvar，负半周的负伪无功功率=-2.42 kvar。

网侧无功功率为正、负半周伪无功功率之和除以工频电角度的平均值，即

功率因数为λ=cosφ=0.99

2.2.3其他导通角

①当导通角 0°＜θ≤ 60°时，有功功率、无功功率和功率因数的图解可参考第2.2.1节得到。

有功功率的计算如图 7（b）和式（9），在 φ-i平面图中求出图形面积M，再除以工频周期T即可。

无功功率的计算如图7（c）所示，由于整个周期内均有di/dt＜0，故有正、负半周的伪无功功率Qf＜0，即，则求网侧无功功率时，可将式（10）化简为

在求得有功功率和网侧无功功率后，功率因数可根据定义计算得到。

②当导通角 60°＜θ≤120°时，有功功率、无功功率及功率因数的图解可参考第2.2.2节得到，其中θ=120°时的三维 u-φ-i图如图 5 所示。

无功功率的计算如图8（c）所示，将正、负半周以60°导通角为分界，各自分为2个部分，其中di/dt＞0的部分称为正伪无功功率，di/dt＜0 的部分称为负伪无功功率与符号相反，则计算无功功率时，可将式（10）化简为

有功功率和网侧功率因数的计算方法和过程与 0°＜θ≤60°时类似，不再重复叙述。

3 现行功率理论

现今，对无功功率理论仍尚无定论，Budeanu功率理论与Fryze功率理论可以分别适用于频域和时域，各有其优缺点。而IEEE1459-2010功率理论则相对完善，认可度较高，但也仍有不足。

3.1 现行功率理论分析

（1）IEEE1459-2010 功率标准为：Q1=U1I1sinφ1，其中：Q1为基波无功功率；S1为基波视在功率；SH为谐波视在功率；DI为电流失真功率；DV为电压失真功率；SN为非基波视在功率；U1为基波电压；I1为基波电流；UH为谐波电压；IH为谐波电流；φ1为基波电压电流相位差。

（3）Fryze功率理论模型为 ：S=UI，P=UIp，Q=。其中：S为视在功率；P为有功功率；Q为基波无功功率；Ip为有功电流。

表1 单相相控反电势负载现行功率理论比较Tab.1 Comparison with the existing power theory of single-phase phase-controlled rectifier circuit under back EMF load

3.2 各功率理论计算结果

以工频220 V单相桥式相控整流电路带155.5 V反电势和5 Ω电阻负载的电路模型为例，对现行功率理论与本文图解法进行比较，结果如表1所示。

比较表1的数据可知，本文所提图解法计算得到的无功功率Q与IEEE1459-2010标准的基波无功功率Q1、Budeanu功率理论的无功功率QB在数值上仅有小数点后3位的误差，而Fryze功率理论的无功功率Q、文献[18]所提方案的功率因数cosφ则与图解法计算结果有所不同。

IEEE1459-2010标准是通过对电流Fourier变换，分析电流的基波与高次谐波，但由于整流电路二极管的单向导电性，电流只能通过一半的正弦波，故IEEE1459-2010标准仍有不足。而Budeanu功率理论被指出无功功率与畸变功率存在物理意义不明等问题，Fryze功率理论所定义的无功功率不满足功率守恒定律，故上述功率理论均有一定缺陷。

本文所提无功功率图解法是根据电流、电压及磁通波形合成三维图，进行简单计算即可得到无功功率，且计算结果与主流学术观点相同。

4 结语

本文提出了一种基于图解法的单相相控整流电路带反电势负载的无功功率测算方法，定义了伪无功功率的概念。作三维u-φ-i图并将其向u-i面投影得到 f（u，i）的函数图形，则 f（u，i）与纵轴 i所围面积即为伪无功功率，由此可以进一步计算得到网侧无功功率和功率因数。所提的无功功率图解法简单直观，而传统的计算方法是通过复杂的Fourier变换或电流分解，需要进行繁琐的数学推演。