小学数学典型错例分析及矫正策略

数与代数

【错例】

下图显示了京东2019 年“双十一”期间累计下单金额和快递员累计送货距离情况。看图回答：下单金额省略亿后面的尾数，约是（204 亿或460亿）元。

正确答案：下单金额省略亿后面的尾数，约是（2044亿）元。

【诊断】

1.数学应用意识欠缺。

学生课堂学习及日常练习中较少接触到现实情境中第一手原生态的素材，导致数学应用意识较为淡漠，对真实数据的分析及挖掘能力较差。

2.中外计数方法差异的影响。

我国的多位数计数习惯是从个位起，每四个数位是一级；英、美等国家读写大数时采用三位分节的方法。为了便于国际交往，我国财经、统计等部门写数时也采用三位分节法。错误多源于对三位一节的辨析不够清晰。

【对策】

1.理解多位数读写的历史。

让学生了解知识的缘起，知道数学知识的发生和发展的历程，有助于他们在更广阔的数学文化背景中思考数学之用，并感悟数学精神。教学中，组织学生讨论，远古人类怎样记数？如果数量再多一些，该怎么做？启发学生思考，多位数读写中有哪些重要约定？然后教师出示古今中外的记数和计数方面不同的方法，学生感受数学是人类文明进步的产物，再概括“十进制”的本质，建构数字的位置关系和数位顺序，进一步理解聚少成多的大数所包含的统计学意义。

2.熟悉生活情境中的大数据。

近年来，基于生活应用的深度学习逐渐形成共识。教学“大数的认识”时，布置学生在课前或课后从报纸、电视及网络上收集多位数，了解多位数在日常生活和现代科技等方面有着广泛的应用，并从宏观及微观角度接触生活中大数的一般取值范围。如，人体细胞约有40万亿～60万亿个；2018年我国稻谷播种面积为30189 千公顷，大米产量达2.12 亿吨；2018 年，全年国内生产总值900309亿元，全年货物进出口总额305050亿元……课堂中教师可以集中展示、交流反映新中国建设成就的系列数据，以此激发学生较为强烈的爱国热情与民族自豪感。

【练习】

（1）北京时间2019 年4 月10 日，全球六地联合召开新闻发布会，公布了人类历史上首张黑洞照片，此次发布的黑洞图像揭示了M87 星系中心的黑洞，它距离地球5500 万光年，改写成以“亿”为单位的数是（ ）光年；其质量约为太阳的6 500 000 000倍，这个数读作（ ）。

（2）2018 年末中国大陆总人口：139538 万人，从性别结构看，男性人口71351 万人，女性人口68187 万人。根据上述信息将三个人口数改写成以“亿”为单位的数，并保留两位小数：139538 万≈（ ）亿；71351 万≈（ ）亿；68187 万≈（ ）亿。

（3）一个两位小数保留整数是10，这个数最小是（ ），最大是（ ）。

【错例】

43-x=38

解：43-x+43=38+43

x=81

检验：方程左边=43-x=81-43=38

=方程右边

所以，x=81是方程的解。

正确答案：

43-x=38

解： 43-x+x=38+x

43=38+x

x+38=43

x+38-38=43-38

x=5

检验：方程左边=43-x=43-5=38

=方程右边

所以，x=5 是方程的解。

【诊断】

1.对解方程的理解不到位。

错例中将43-x=38 和x-43=38 混为一谈。在运用等式性质解答时，方程两边同时“+43”后，方程左边“43-x+43”并不能化简得到x。对于方程中43、x、38三个数的关系缺乏整体认识。

2.检验环节没有认真演算。

错例中的检验没有将数值与x原地替换，而是想当然地调整位置，从而让检验失去纠错功能。

【对策】

1.加强方程理解和比较。

在五年级“简易方程”单元中，形如a-x=b和a÷x=b是极易出错的两种类型，一般需要经过两次的等式变换，解答书写步骤较多，学生会因为书写的繁琐而认为这类方程很难。教学中要带领学生仔细梳理每一步的目的及依据，并注意加强同一种运算中不同方程类型的比较，如43-x=38和x-43=38、20÷x=4 和x÷20=4 等。不管教学哪种类型的解方程，最初都要强调列方程的本质，让学生经历建立方程模型的过程，并注意归纳整理不同类型的方程的一般解法。

2.沟通方程的解法联系。

为了更好地做好中小学教学衔接，必须重视以等式性质为依据的解法。大部分学生熟悉这种思路后，可以简要介绍利用算式各部分之间关系为依据的解法。如，减数=被减数-差，43-x=38 中，x=43-38 ，x=5。注意和以前习题的联系，唤醒已有解题经验，实现数学知识和思想方法一体化建构。如将43-x=38 中未知数遮盖转化为学生在低年级学习中就接触过的43-□=38。

3.规范方程的检验回顾。

检验是把未知数的值代入原方程再计算比较的过程，也是自我纠错的保证。教学中，要强调代入原方程时的位置不变和认真计算等要求，发现错误要及时查找原因并改正。

【练习】

解方程：

（1）2.1÷x=7

（2）2（16-x）=8

（3）3x-x=2.4

（4）15+5x=60

【错例】

计算下面各题，能简算的要简算。

正确答案：

【诊断】

1.抗干扰能力较差。

学生简算能力不够强大时，“能简算的要简算”是很大的干扰，特别是面对能够“凑整”的两个数时。

2.缺乏估算意识。

估算作为计算的一种，可以评判精确计算的结果。特别是运算前的估算，会更关注算式的结构和结果取值范围。学生在四则混合运算（包括简算）时，通常缺乏估算这方面的训练。

【对策】

1.注重解题完整性训练。

简算教学中，要坚持少练和精练，不搞浅尝辄止的口头练习，要注重解题的完整，从题目审题到过程书写，从错误预判到结果回顾，都要花足时间，从而提高简算的正确率。

2.加强变式练习。

通过变式训练，对习题灵活变通，多元表征，引申推广，从而发现解题规律，加深对知识的理解，达到举一反三的目标。乘法分配律的应用从整数推广到小数、分数乘法时，除了继续加强学生对算理的理解外，还要加强学法的指导。

3.注重培养简算意识。

对于有明确的简算要求、明显的简算结构的习题，学生大都能准确应用运算律去简算，而对于计算过程或实际问题解决中内隐的简算环节，学生又常常想不到或不敢使用运算律简算。简算的教学应该贯穿在更为广阔的问题情境和实际需求中。比如在稍复杂的购物问题、相遇问题的多种解法比较中，应促进学生自觉选择运用乘法分配律。

【练习】

计算下面各题，能简算的要简算。

（1）19.2-12÷25-4.52

（2）1.25×32×2.5

【错例】

某县为鼓励居民节约用水，特规定：每户每月用水量不超过10立方米（含10立方米），每立方米2元；10立方米以上超过部分，每立方米4元。张丽家3月份用水18立方米，应交水费多少钱？

4×18=72（元）

答：用水18立方米应交水费72元。

正确答案：

18-10=8（立方米）

4×8=32（元）

2×10=20（元）

20+32=52（元）

答：用水18立方米应交水费52元。

【诊断】

1.没仔细划分计费的梯度。

学生没有把用水总量按照题目要求仔细划分为两个部分，没有学会用摘录的方法收集和整理信息。

2.对分段计费问题缺乏实际思考。

学生出错的原因还在于缺少生活调查和日常积累，不理解收费方案的价值导向。自来水单价从2元到4元，前提是倡导节约用水。其中，每立方米2 元的优惠是每家每户都享有的，区别是超过10立方米的部分。

【对策】

1.回到原点去理解。

生活中坐出租车、用水用电、停车、个税、折扣等项目，在有的地区常常涉及分段计费。教学时，首先要组织学生调查和交流，一开始就弄明白为什么这样设计收费方案。比如，学生收集不同城市的出租车计费方案，思考定价方案的合理性。

2.回到起点来推算。

分段计费问题中计费主体有一个数量累积过程，其对应的钱数由少到多有规律地变化。教学中，不急于列式计算，先从最基本、最简单的路程变化想起，列表整理。有了列表整理的活动经验垫底，再出示折线统计图，最后用分段计算的方法解答，一题多解就水到渠成了。在列表、画图、计算等循序渐进的教学处理中，学生不仅逐条逐句地解读计费标准和里程条件，还深入探究分段计费问题的数量关系，形成举一反三的解决问题能力，同时初步体会了函数思想。

【练习】

（1）小雪给《小学生必读》编辑部投稿，信件要从江苏徐州寄到河北石家庄，信件总重为49 克。为防止遗失，她想挂号邮寄，她要付多少元？（国内普通信函资费如下，单位：元）

__项目计费单位________重量在100克以内，每重20克（不足20克，按20克计）100克以上部分，每增加100克加收（不足100克，______________________________________________________按100克计）每件每件本埠（县）_外埠0.80 1.20信函1.20 2.00明信片挂号费0.80______3.00______

（2）某公司出租汽车收费标准：里程3千米以内（含3千米）收费6元；3千米以外，每增加1千米收费1.5 元。小华乘出租车去少年宫行驶了4 千米，应付费多少元？小华爸爸从家乘出租车到火车站共付了18元，两地的路程最多为多少千米？

【错例】

一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地。2小时后，客车距乙地还有全程的，货车距乙地还有55 千米。已知货车每小时比客车少行15 千米，求甲乙两地之间的路程。先在下图中表示出相应的条件，再解答。

正确答案：

答：甲乙两地之间的路程是175千米。

【诊断】

1.没有全面把握题目要求。

本题包含画图分析和解答两个要求。部分学生审题不严造成遗漏有关要求、导致解答不完整而失分。此题中，认真完成第一个要求标注出条件，对最后正确解题有很大的帮助。

2.量率对应关系解读混乱。

根据题意和图示可知，客车和货车的路程差是两个小时的，是（15×2）千米。换个角度，全程的对应的路程是（55-15×2）千米。本题的单位“1”是甲乙两地路程，是未知量。要求单位“1”的量，用除法计算或者列方程解答即可。

【对策】

1.积累经验，建立问题模型。

行程问题不仅涉及运动物体数量，还有运动方向和运动时间的限制，以及运动场景、运动距离等多种因素。不过，反映出来的数量关系是相同的，速度×时间=路程。教学中围绕两个物体运动的情况可以组织不同层面的操作和想象。比如，用双手模拟物体运动变化，在双手一张一合中体会“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况；画路线图表现运动结果，感受速度差、路程差和相遇地点等；观摩体育课、运动会等活动场景，分析运动状态，编制行程问题。

2.有的放矢，增强画图需求。

画图是一种重要的解题策略。为了画图而画图显然不是教学追求。画图方法的教学重点要放在“画图需求”上，变“要我画”为“我要画”。教学中，教师要精选习题，由浅入深，逐步引发画图需求，促使学生认可画图的价值，意识到画图确实能够更清楚地表示数量之间关系，发现解题前画图能够帮助我们顺利找到解题方法。然后题组辨析，不断增强画图需求，引导学生从主观和客观两个方面考虑要不要画图，突出画图选择依据，感悟“画图即解题”的数学化思考。

【练习】

（1）甲乙两车同时从A地出发驶往B地，经过一段时间后发现甲车已经行了全程的，乙车行了全程的。照这样速度继续行驶，甲车到B地后立即返回，在离B 地28 千米处与乙车相遇。AB 两地间的路程是多少千米？

（2）“太阳将下西山坡，鸭子嘎嘎要进窝。一半的一半随水波，四分之一岸上走，身后还跟八只鸭。”请问鸭子一共有（ ）只。

【错例】

甲、乙两袋面粉的质量比是2∶3。从甲袋倒出5 千克给乙袋后，甲、乙两袋面粉的质量比变为3∶7，求两袋面粉的总质量。

5÷（7-3）×（3+7）=12.5（千克）

正确答案：5÷（）=50（千克）

【诊断】

1.解题分析不到位。

对于其中甲乙两袋面粉变化前后的两个质量比分析不准确，没有找准5 千克相当于总质量的几分之几。

2.关注变化不全面。

错例中抓住乙袋份数变化情况来解题的思路是对的，疏漏之处在于没有注意到变化前后总质量对应的总份数是不同的，这样变化前后每份的量不一样，就不能直接加减了。

【对策】

1.深入理解按比例分配中的对应关系。

按比例分配问题在生活中还是比较常见的，如混凝土、黑火药、饮料配制、股票分红等。教学时，不仅要组织学生交流，说明各是几份，一共是几份；还要理解各占总数的几分之几，从而将问题转化为归一、归总问题，或者转化为分数乘、除法的问题，在解法多样化中深化理解。

2.研究变与不变，内化知识结构。

按比例分配的问题中，“不变量”有两种类型：一是总量不变，二是某个部分量不变。不变量÷对应的份数，就能求出一份数，进而求出所要求的问题。从甲袋倒给乙袋，甲袋减少，乙袋增加，但是此消彼长中两袋面粉的总量仍然不变。将两个比对应的总份数统一为10 份，再比较和计算。如果是将甲袋倒出（用去）5千克，则乙袋是不变量，就把两个比中的后项（乙袋）化成相同的数，然后根据质量变化求出一份即可。

【练习】

（1）2∶5的前项加上4，要使比值不变，后项应加上（ ）。

（2）小明今年上小学六年级，他的爷爷与爸爸的年龄之比是8∶5，爸爸与小明的年龄之比是10∶3。三个人的年龄比是（ ）。

（3）港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，全长55千米，把它反映在比例尺为1∶250000的地图上，长是多少厘米？

（仲崇恒）

图形与几何

【错例】

图中线段有（7）条，射线有（4）条，直线有（3）条。

正确答案：线段有（3）条，射线有（8）条，直线有（1）条。

【诊断】

1.概念不清。

学生对线段、射线和直线概念混淆不清，没有正确认识线段、射线和直线概念的本质。

2.思考无序。

学生没有按一定的顺序或规律分类数出线段、射线和直线的条数，有序思维有待提高。

【对策】

1.厘清概念。

线段有两个端点，有限长（有始有终）；射线有一个端点，无限长（有始无终）；直线没有端点，无限长（无始无终）。除了借助前面括号里的成语帮助学生理解三种线的概念本质，还可以结合简单的图形帮助学生认识线段、射线和直线的表象特征。比如，让学生找一找下图中的线段、射线和直线。

2.有序思考。

引导学生按照一定顺序分类别数线段、射线和直线，不能盲目地数，培养学生的分类思想和有序思维。因为线段有两个端点，图中围成三角形ABC 的三条边，每条边都有两个端点，所以线段有3 条，可以按顺序得出线段AB、线段AC、线段BC。射线只有一个端点，数射线可以从它的这个特点入手，按顺序以图中三个交点A、B、C作为射线的端点来数。以点A为端点的射线有AB、AC这两条，以点B 为端点的射线有3 条（让学生逐一指出），以点C 为端点的射线也有3 条，所以射线共有2+3+3=8（条）。直线没有端点，可以向两端无限延长，显然，符合这个特点的只有直线BC。

【练习】

1.判断。

（1）一条直线长5厘米。（ ）

（2）直线比射线长。（ ）

（3）线段是直线的一部分。（ ）

2.数一数。

图中线段有（ ）条，射线有（ ）条，直线有（ ）条。

【错例】

平行四边形相邻的两条边为6 厘米和10 厘米，高是8厘米，这个平行四边形的面积是多少平方厘米？

平行四边形面积：10×8=80（平方厘米）

正确答案：6×8=48（平方厘米）

答：这个平行四边形的面积是48平方厘米。

【诊断】

1.缺乏对应思想。

计算平行四边形的面积用公式底乘高，但这里的底和高必须是对应的，不能随便找一个底和高。这里学生认为只要是底乘高就是这个平行四边形的面积，没有考虑到底和高的对应关系。

2.思维不够严谨。

学生被题目中的信息所干扰，未能对题目所提供的信息进行深入分析，无法触及知识的本质，只是凭直觉使用平行四边形计算公式解决问题。

【对策】

1.放手学生辨析。

这样的题目呈现给学生，一般会出现两种算式：6×8=48（平方厘米）和10×8=80（平方厘米）；三种意见：认为正确答案是48 平方厘米、80 平方厘米或两种结果都是正确的。教师不妨放手让学生进行自由辨析，在辨析中寻错、析错和改错，这样主动思维和探索往往可以使他们的认知由模糊走向清晰，从而实现对自己认知结构的调整和扩展，进一步提升思维的严谨性。

2.揭示问题本质。

引导学生利用直观图形深入领悟知识的本质。追问：为什么答案是6×8＝80（平方厘米）而不是10×8=80（平方厘米）？学生会对照示意图解释：图1从平行四边形的一个顶点向10厘米长的底边作高，得到一个直角三角形，斜边在这个直角三角形中是最长的线段，它的长度是6厘米，所以直角边不可能是8厘米；图2从平行四边形的一个顶点向6厘米长的底边作高，得到一个直角三角形，斜边在这个角形中是最长的线段，它的长度是10厘米，直角边一定比斜边小，这里直角边可以是8厘米，所以这里的平行四边形面积要用6×8 的算式来计算。

图1

图2

【练习】

1.计算下面图形的面积。

2.平行四边形的底是12 米，它的两条高分别是10米和14米，这个平行四边形的面积是多少平方米？

【错例】

有一块长方形菜地，长是30米，宽是18米，如果要把这块长方形菜地平均分成面积相等的3小块长方形菜地，每小块长方形菜地的周长是多少米？

原来周长：（30＋18）×2=96（米）

每小块周长：96÷3=32（米）

正确答案：

图1

图2

图3

图4

图1：

图2：

图3：

另一块小长方形菜地周长算法同图1；

图4：

另一块小长方形菜地周长算法同图2。

【诊断】

1.概念理解不清晰。

图形的面积和周长是两个不同的概念，它们的计算方法也不一样。实际生活中把一个平面图形平均分成若干份，面积可以均分，周长不可以均分。这里学生错误地以为把周长平均分成3份，就是把周长除以3。

2.考虑问题不全面。

同等面积的条件下，计算平面图形的周长要考虑这个图形的具体形状，这里学生没有从多角度去思考问题。

【对策】

1.图形直观。

画图可以帮助学生直观理解题意，降低思维难度，有助于快速找到解决问题的方案。其实学生只要画出示意图，把要求的周长在图上描出来，就很容易看出小长方形周长不是原来大长方形周长的均分，而是由原来长方形两条线段和等分后两条线段围成的。

2.发散思维。

可以让学生拿出一张长方形纸，把这张纸看成这块地，动手分一分，重点强调让学生探索有哪些不同的分法，发散学生的思维。如果能给足学生探索的时间，学生的思维往往会让教师惊叹，学生也会体悟多向思维解决数学问题的魅力。

【练习】

1.用同样长的绳子围成的长方形和正方形的面积（ ），周长（ ）。

A.长方形大 B.正方形大

C.一样大 D.不能确定

2.用同样大小同样数量的小正方形拼成的长方形和正方形的面积（ ），周长（ ）。

A.长方形大 B.正方形大

C.一样大 D.不能确定

3.如图，有一块菜地，长35 米，宽29 米，菜地中间留了宽1米的路，把菜地平均分成四块，每块的面积是多少？

【错例】

一个水瓶可以盛750毫升，这是水瓶的（B）。

A.体积 B.净含量 C.容积

正确答案：C

【诊断】

1.概念运用不灵活。

这道题实际上考查了学生对概念的理解和运用。一般选错的学生对体积和容积还是能够区分的，但对净含量概念的理解比较模糊。

2.审题比较随意。

很多学生选择了“净含量”，主要是觉得题目中并没有说明装满水，凭感觉选择了B选项，如果让他们反复读题，仔细推敲也能做对。

【对策】

1.联系实物，认识概念。

这道题错的主要原因是对净含量概念理解不够清晰。可以让学生寻找生活中标注净含量的物体，明确食用油、盒装奶、酒类等物体上标注净含量的实际意义，用生活实例帮助学生建立概念表象。

2.重视比较，揭示本质。

在教学中可以让学生联系生活去比较体积、容积以及净含量的不同。净含量指的是除去包装容器和其他包装材料后内装商品的量。净含量的注明公制单位有克、千克、毫升、升等。容积是指容器所能容纳物体的体积，也就是说容器装满物体后物体的体积才是容器的容积。一般来说，固体的容积单位与体积单位相同，而液体和气体的容积单位一般用升、毫升，计算方法同体积。如长方体玻璃鱼缸，从外面量出的长×宽×高，计算的是体积；里面量出的长×宽×高，计算的是容积；里面量出的长×宽×水面的高，计算的是鱼缸内水的体积。

【练习】

1.一台冰柜，从外面量，长1 米，宽0.6 米，高1.1米；从里面量，长9分米，宽4.5分米，深6分米。

（1）这台冰柜所占的空间有多大？

（2）这台冰柜的容积是多少？

2.一个花坛，高0.5米，底面是边长1.2米的正方形，四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土。

（1）花坛所占的空间有多大？

（2）花坛里大约有泥土多少立方米？

【错例】

如图，有一个长5分米、宽3分米、高4分米的长方体硬纸箱，用绳子将箱子捆扎起来，打结处共用1.5分米。一共要用多长的绳子？

（1）(5+3+4)×2+1.5

=12×2+1.5

=24+1.5

=25.5（分米）

（2）(5+3+4)×4+1.5

=12×4+1.5

=48+1.5

=49.5（分米）

（3）5+3+4×2+1.5

=8+8+1.5

=17.5

（4）5×4+3×4+4×5+1.5

=20+12+20+1.5

=53.5

正确答案：

（5+3）×2+4×4+1.5

=16+16+1.5

=32+1.5

=33.5（分米）

答：一共要用长33.5分米的绳子。

【诊断】

1.概念本质认识不清。

学生直接运用长方形周长计算公式和长方体棱长和计算方法，说明学生对长方形周长和长方体棱长和这两个概念缺乏本质的理解。学生只会在简单的图形中运用长方形的周长和长方体棱长计算公式，部分学生只记住了长方形的周长是两个已知数字相加再乘以2和长方体的棱长是三个已知数相加再乘以4。

2.空间想象能力缺乏。

多数学生在计算捆扎这个长方体绳子长度时，都是看图数出每个面根数（线段）再计算的，但在计算时，由于空间想象能力的缺乏，能正确数出长宽高根数的学生为数不多。“5+3+4×2+1.5”这种算法的学生只数出能从图上直接看到的绳子（线段）；“5×4+3×4+4×5+1.5”这种算法的学生不仅数出图上直接看到的绳子（线段），还把图上能看见的长方体棱长数进去了。

【对策】

1.重视算法多样化。

教学中不要过早强化用公式计算周长和棱长和，让学生经历按顺序“数线段”“算总长”的过程。在学习初始阶段推迟使用公式计算的好处是学生可以充分理解算法的道理，避免形成思维定势。比如学习计算长方形的周长，引导学用多种方法来计算周长，学生自己的算法“长+长+宽+宽、长×2+宽×2、长+宽+长+宽”，这些方法看起来比较麻烦，但它有助于学生真正理解长方形和正方形的周长是四边之和。一段时间后，学生会明白长加宽的和就是半个长方形的周长，再乘以2 就是一个长方形的周长。此时他们才真正理解了公式“（长+宽）×2”的意义。

2.联系生活直观演示。

让学生亲自动手用毛线捆扎一个长方体物体，观察捆扎后各个面上毛线的根数和特点。实物和图形直观演示是帮助学生解决图形问题的主要教学策略，因为实物和图形的直观性很强，容易被学生认识和理解，也容易使学生建立起空间观念。利用“实物和图形”也就是运用和借助实物和图形让学生通过观察、比较、综合、抽象、分析等方法认识客观事物，这是帮助学生建立空间观念最好的途径。

【练习】

1.如图，有一个长5 分米、宽和高都是3 分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2.5 分米。一共要用多长的绳子？

2.用塑料绳捆扎如图的一个圆柱形的蛋糕盒，交叉处是底面圆心，打结用去绳长25厘米。

（1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？

（2）捆扎这样的一个盒子至少用去塑料绳多少厘米？

【错例】

用48 厘米长的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高之比为3∶2∶1，求这个长方体的体积是多少立方厘米。

3+2+1=6

体积：24×16×8＝3072（立方厘米）

正确答案：

48÷4＝12（厘米）

体积：6×4×2＝48（立方厘米）

答：这个长方体的体积是48立方厘米。

【诊断】

1.图形表象不清晰。

这道题在学生头脑建立的表象是：48 厘米是这个长方体的长、宽、高三条棱的长度。实际仅凭长、宽、高三条棱是不能做成长方体框架的，做错这道题的学生头脑中没有长方体框架表象。

2.数量关系不对应。

一般按比例分配问题量、比是可以直接对应的。比如甲、乙、丙总和为n，甲、乙、丙三个数的比例是a:b:c，这里总量的和n与比的和（a+b+c）是对应的，可以直接用按比例分配的方法解决问题。本题的总量48 厘米长的铁丝是长方体12 条棱长的总和，比的和是长、宽、高三条棱的总和，明显不对应。

【对策】

1.明晰图形表象。

引导学生先回忆长方体的组成，想象出长方体模型的框架：它是由几条棱组成的？这些棱可分成几组？再让学生画出框架图，在图上指出48 厘米的铁丝包含这个长方体的哪些棱长。

2.强调对应关系。

由于大量接触按比例分配的练习，学生头脑中已经形成一个由表面文字所营造的表象。这些文字所建立的表象往往会造成学生思维定式。通过重新分析题意，学生把题目中的文字转换成清晰的实物表象，有助于学生突破思维定式，引导学生弄清长度和与比的和的对应关系，学生就能清晰想到以下思路（1）48 与（3+2+1）×4 对应；（2）48÷4与3+2+1对应，从而实现顺利用按比例分配方法解决问题。

【练习】

1.有一块长方形菜地，量得这块菜地四周的篱笆长36米，长和宽的比是5∶4，这块长方形菜地的面积是多少平方米？

2.利用一面墙壁作为一条边，用36 米的篱笆围成一块长方形地（如图）。已知这块地长和宽的比是5∶2，求这块地的面积是多少平方米？

【错例】

把一个长、宽、高分别是10 厘米、8 厘米、6 厘米的长方体橡皮，切成一个圆柱。切成的圆柱体积最大是多少立方厘米？

V=Sh=π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

正确答案：

方案一：切成的圆柱高为10厘米。

π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

方案二：切成的圆柱高为8厘米。

π×（6÷2）2×8=π×9×8=72π（立方厘米）

方案二：切成的圆柱高为6厘米。

π×（4÷2）2×6=π×16×6=96π（立方厘米）

96π＞90π＞72π

答：切成的圆柱体积最大是96π立方厘米。

【诊断】

1.思维缺乏严密性。

认为把圆柱的高确定为最大，算出的体积就是最大。先在8×6 的长方形底面上截取一个直径为6厘米的圆，再用这个圆的面积乘10相乘。尽管算出的结果可能碰巧是最大值，但这样的思维方法显然不严密。

2.思维缺乏整体性。

解答这道题时，学生想当然地就做出一种答案，并不考虑算出的结果究竟是不是题目要求的“最大值”。实际上是学生不会从整体上把握问题的关键，不善于全面考虑问题。

【对策】

1.解析错例。

单凭一个数量，是无法确定其是否是最大值。有比较，才有大小、多少之分，通过同类数量的比较得出结论才有说服力。如果这道题只算出一个数量，即使是这道题的正确答案，这种思考方法也要不得，缺乏依据。

2.观察想象。

指导学生拿出身边的长方体实物或长方体学具，让学生观察并想象如果把手中的长方体物体切成尽量大的一个圆柱，会切成什么样的圆柱体？通过指导学生观察、想象，让学生目中有“物”，心中有“形”，引导学生讨论圆柱体的高或底面的直径分别有几种情况。

3.整体考虑。

引导学生从整体考虑，多角度思考问题。这里解决圆柱体积问题需要考虑这个圆柱体的高和底面的直径数值，实际上，长、宽、高有三种数据，都可以作为圆柱的高，所以一共有三种高，也就有三种不同的圆柱。引导学生一一列举出高是10 厘米时，底面直径是6 厘米；高是8 厘米时，底面直径是6 厘米；高是6 厘米时，底面直径是8 厘米三种情况，计算并比较三种圆柱的体积从而得出答案。

【练习】

1.把一个长、宽、高分别是10 厘米、8 厘米、6厘米的长方体橡皮，切成一个正方体。切去部分的体积是多少立方厘米？

2.把一个长、宽、高分别是10 厘米、8 厘米、6厘米的长方体橡皮，切成一个圆锥体。切成的圆锥体体积最大是多少立方厘米？

【错例】

将一个圆锥形零件浸没在底面直径是2分米的圆柱形玻璃缸里，这时水面上升3厘米。这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米？

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

正确答案：

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

体积：π×102×3=300π（立方厘米）

答：这个圆锥形零件的体积是300π 立方厘米。

【诊断】

1.负迁移影响。

算圆锥的体积学生解题中一般都用公式“V=Sh”，受到圆锥的体积计算公式的负迁移影响，学生以为这道题与平常解决求圆锥体积问题相类似，只要找到图形底面的直径、半径或底面积与高相关条件，就可以运用公式“V=Sh”解决问题。

2.条件不对应。

学生只想到用公式“V=Sh”求圆锥体积，没有考虑到题目条件“底面直径是2分米”和“上升3厘米”并不是圆锥的条件，而是圆柱的条件，题目中两个已知条件不能用到圆锥体积计算公式中去。

3.思路不清晰。

本题看似是求“圆锥的体积”，实质是求“圆柱的体积”。学生不清楚要把“圆锥零件体积”转化为“圆柱形水的体积”，即“上升的圆柱形水的体积”就是圆锥的体积。

【对策】

1.强调“对应思想”。

引导学生解决数学问题一定要考虑“对应”，不能张冠李戴，这里不能用圆柱的已知条件来随便解决圆锥的体积问题。

2.运用“数形结合”。

引导学生自己画出示意图，对照图意，学生理解问题的本质就轻松多了。

3.运用“转化思想”。

可以利用“乌鸦喝水”的故事让学生体会故事中“石子”把水“挤”上来，“挤”上来的水的体积其实就石子的体积。这个故事与这道题有异曲同工之妙，让学生感悟“乌鸦喝水”故事蕴含的道理，再来思考这道题的解题思路，学生就会自觉地运用转化思想：求圆锥形物体的体积转化为求上升的圆柱形水的体积，从而轻松地解决问题。

【练习】

1.一个装有水的长方体容器。从里面量长5分米、宽4分米，水深3分米，现在将一个铁块浸入水中，水面上升到4.2分米，无水溢出。这个铁块的体积是多少立方分米？

2.把一个体积是460 立方厘米的石头投入一个足够高的长方体容器中。完全浸入水中后，水面由148厘米上升到150厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？

3.在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5 厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9 厘米。把这段钢材竖着拉出水面8 厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。

【错例】

一幢长方体建筑物，长80 米、宽60 米、高50米，为了美化城市夜景，要在建筑物的每条边上装上彩灯线，至少要准备多少米彩灯线？

（80+60+50）×4=760（米）

正确答案：

80×2+60×2+50×4=160+120+200=480（米）

答：至少要准备480米彩灯线。

【诊断】

1.思考比较浅显。

学生审题中看到“长方体”“边上装上彩灯线”这些字眼，认为题目很熟悉、很简单，就是求长方体棱长和问题，没有进行深入思考。

2.生活意识薄弱。

学生就题解题，没有结合生活实际看待数学问题，学以致用能力不足。

【对策】

1.重视审题习惯的培养。

教学中注意培养学生良好的审题习惯，对于每一道都要认真对待，读懂、读透题目的意思后，再下笔解答。多一分认真，少一分粗心；多一分思考，少一分错误。

2.培养应用意识。

教学密切联系生活，加强学生数学应用意识的培养。指导学生经常用数学的眼光看待生活，用生活的眼光看待数学。考虑问题一定要联系生活实际，灵活运用数学知识解决生活中的问题。

【练习】

1.大厅里有5 根柱子，每根柱子底面周长是3.14米，高3米。给5根这样的柱子刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用油漆多少千克？

2.一件雕塑的底座是用混凝土浇筑成的棱长2.6米的正方体。

（1）这件雕塑占地多少平方米？

（2）浇筑这件雕塑的底座需要混凝土多少立方米？

（3）给底座贴上花岗石，贴花岗石的面积是多少平方米？

（崇 冲）

统计与概率

【错例】

李明与张洁玩一个游戏，有10 张纸牌，纸牌上的数字分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，每次随意摸一张，摸到比5 大的牌算李明赢，摸到比5 小的牌就算张洁赢。这样的游戏公平吗？

这样的游戏公平。

正确答案：这样的游戏不公平。比5大的牌有5张，比5小的牌只有4张。

【诊断】

1．意义认识不清楚。

游戏公平性的本质是事件发生具有等可能性。这里学生只是凭借直觉把“比5大”“比5小”这对具有相反意义的事件与游戏的“赢”和“输”建立对应关系，没有考虑到游戏双方摸到纸牌上数的出现情况是否具有等可能性。

2．考虑问题不全面。

学生在判断这项游戏规则是否公平，只是想到这样的规则能出现“赢”和“输”的情况，没有考虑到“赢”和“输”情况出现可能性的大小，没有细细分析“比5大”和“比5小”两种情况的具体数量。而这里“比5 大”和“比5 小”数字出现情况个数是否相等，恰恰是这项游戏公平与否的关键考量。

【对策】

1．在实践操作中去体验。

事件发生可能性的大小是需要学生通过实践去验证的，在具体的游戏中参与，在实践中体验。因此，教学时要让学生有充分的时间和空间，让他们在操作中主动体验游戏中不确定现象的特点，利用可能性的知识经验判断规则是否公平。

2．让学生参与游戏的设计。

公平性的大小是基于了解事件发生的所有可能性进行判断的，在日常教学中，可以让学生参与游戏的设计，验证可能性对双方是否是等同的，从而调整游戏规则，使游戏公平。学生在此过程中建立规则意识，并通过游戏是否公平的判断，感受游戏的公平原则。

【练习】

小张与小刘玩一个游戏，有9 张分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9的数字卡片，每次随意摸一张，摸到比5大的卡片算小张赢，摸到比5小的卡片算小刘赢。这样的游戏公平吗？

【错例】

一次数学检测中，班级平均分是92 分，数学老师给第一小组记分如下：

姓名刘丽张小平李霞张大强孙笑刘海燕朱海华刘海飞分数2 0 1-3 4-3 3 4

你知道第一小组的平均分是多少吗？

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

正确答案：

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

92+1=93（分）

【诊断】

1．概念认识停留在表面。

学生对于负数等概念的认识停留在表面，没有联系实际生活对负数进行深入了解，导致学生出现上面的错误。

2．缺乏知识构建。

教师在教学过程中缺少对学生的指导，学生数学思考不深入，导致数学概念的认知肤浅，制约了学生对负数意义的理解及合理运用。

【对策】

1．开展负数概念生活化练习。

数学知识来源于生活，也是生活的一部分。因此，学生掌握了负数的概念，应该进行针对性练习。例如，在日常生活中，观察人们如何用负数进行记录，用负数记录后，又是如何进行有效表述的。

2．培养学生科学的检验意识。

这个题目的计算过程没有问题，根据算式得到的结果也是正确的；但是却与实际情况严重不符，无论哪次考试中，一个小组的平均成绩也不可能是1 分。因此，要培养学生科学的检验意识，既有计算的检验意识，也要有计算结果与实际生活进行对比的检验意识。

【练习】

一次期中检测，班级数学平均分是90 分，刘老师给第一小组记分如下：

姓名张笑李乐乐郑小霞苏小山刘欢刘春燕王晓兰杜飞分数___3_____-2______1______-2_____4_____-2______6______4__

第一小组的数学平均分是多少？

【错例】

宁宁在8张卡片上写了从1到10这十个自然数中的8 个数。他说从这8 张卡片中任意摸出一张，摸到偶数的可能性是。在这8张卡片中宁宁写了（5）个奇数。

正确答案：4

【诊断】

1.审题习惯不好。

很显然，学生没有把题目看完，或看完了不假思索，没有注意到题目中的关键字词，就开始提笔做题。

2.提取信息的能力不足。

学生遇到复杂题目时缺少应对策略，遇到数据信息比较乱的问题时，学生不能够从条件中提取出解题需要的信息。

【对策】

1.培养学生良好的审题习惯。

审题，即通读题目，完整、细致地理解题目所表述的意思。审题过程是挖掘信息的过程，也是迁移信息的过程，主要是让学生学会对问题中所含的信息进行提取、组合、加工和表达。只有通过细心、认真的观察和思考，抓住关键的信息，才能认清问题的本质，合理地选择解题方法。

2.培养学生的信息提取能力。

在小学数学教学中，应该注重从三个方面来培养学生的信息提取能力：一是删除多余的信息；二是找出隐含的信息；三是圈出关键的信息。

【练习】

小军在6张卡片上写了从1到10这十个自然数中的6个数（每张卡片只写一个数字）。从这6张卡片中任意摸出一张，摸到偶数的可能性是，在这6张卡片中小军写了（ ）个偶数。

【错例】

李明和爸爸周末骑车到距离市区30 千米的郊区春游，行程情况如图所示：

（1）他俩去时花了（1）小时，中途休息了（1）小时，如果两人中途不休息，（2）小时就可以到达目的地。

（2）他们在郊区共游玩了（6）小时。

（3）返回时，每小时行（5）千米。

正确答案：（1）2 0.5 1.5

（2）2.5

（3）20

【诊断】

1.获取信息能力不足。

在日常教学中，教师对培养学生获取信息的能力重视不足，学生对稍复杂图形的分析经常不到位，因此不少教师会选择直接告诉学生图中的信息，缺少引导环节，学生从图形中自主获取信息的能力较差。

2.将生活中的事件提炼成数学题目的能力不足。

有些学生对此类题目审题能力相对较差，特别是综合类型的题目，一方面是缺少练习，另一方面也是对生活事件提炼成数学题目的过程不够了解。

【对策】

1．加强引导性分析。

在平时教学此类题目时，要用引导性的分析来帮助学生提高获取信息的能力，特别是稍复杂的题目，一定要扎实地做好前期引导，只有这样才能逐步培养学生独立分析问题的意识与能力。

2．培养生活事件的数学提炼能力。

让学生将生活中的一些事件，用语言、图形、表格、统计图等适合的形式表述出来。表述的过程，也是学生加深理解的过程。再遇到此类问题，学生对于图形中的每一个地方就能够理解并学会运用。

【练习】

小娜和小敏周末骑车到距离市区6千米的儿童游乐场游玩，行程情况如下图所示：

（1）她俩去时花了（ ）分钟，中途休息了（ ）分钟，如果两人中途不休息，（ ）分钟就可以到达目的地。

（2）她们在郊区共游玩了（ ）分钟。

（3）返回时，每分钟行（ ）千米。

【错例】

某同学从家出发，按一定速度步行去上学，途中天气有变，他便跑步去学校。在下图中（D）能正确地表示出他行走的路程与时间的关系。

正确答案：B

【诊断】

1．对数学知识图像化理解不足。

此题中，时间与路程的变化如果用语言表述，可以简述成：路程一定，时间越短，速度越快；路程一定，时间越长，速度越慢。大多数学生理解题意，却不理解图像。

2．数学知识运用能力不足。

生活中的数学知识提炼成数学问题时，很多学生解答起来却无从下手。究其原因，主要是因为学生不能将数学问题与生活中的数学建立联系，因而不能运用所学的数学知识去解答问题。

【对策】

1．培养学生的抽象思维能力。

小学生思考问题时侧重于形象思维，抽象思维能力和逻辑思维能力还处于初级阶段，而小学数学知识的抽象性特点使他们在学习时常常会感到枯燥、晦涩、乏味。

2．多种形式强化数学与生活的联系。

数学知识生活化是一个长期的过程，在日常教学中，要运用多种形式，创设不同的情境来强化数学与生活的联系，切实让学生体会到数学来源于生活，服务于生活。

【练习】

一天，甲同学上学时，爸爸开车送他，车开到一半时，爸爸突然有事，要去其他地方，因此，他下车自己走到学校。下图中（ ）能正确地表示出甲同学行走的路程与时间的关系。

（刘建华）