“一题一课”，借助问题串创设问题情境

昆明市第二十四中学 云南省高中数学于雷名师工作坊 刘奕签

一题一课，就是教师对一个典型问题或某个素材进行深入研究，挖掘内在的学习线索与数学本质，科学合理地组织学生开展数学学习活动，从而完成一节课的教学任务，达到多维目标的过程.问题是特殊的情境，通过设计问题营造教学情境，可以促使学生深入数学问题中，对相关知识有更深刻的理解，而问题串是靶向更明确的情境，通过设计问题串创设教学情境，可以让数学知识场景化、情景化，让学生在解决问题的过程体验中充满参与感和代入感.因此，在教学过程中，教师可以尝试以问题串的形式创设教学情境，让学生在可感知的情境中寻找数学知识的源头，理解并应用数学知识.那么，我们该如何设计问题串呢？下面，笔者以高三复习课《函数的零点》为例进行说明.

一、以练代讲，初设数学情境

在讲授高三复习课《函数的零点》时，教师可以利用热身小题先让学生进行一个知识回顾.

例1 判断下列结论是否正确.

（1）函数的零点就是函数图象与x 轴的交点.（ ）

（2）函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线.若函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）＜0.（ ）

（3）函数f（x）=2x3-3x+1 在（-2，2）只有一个零点.（ ）

创设意图：由题目引入对知识点的复习，比单纯复习定义、概念更让学生有参与感和成就感.

二、一题多解，掌握通性通法

例2 判断函数f（x）=lnx+1 的零点个数.

解法1：利用零点存在性定理进行解答.∵函数f（x）=lnx+1 的定义域为（0，+∞），在定义域上是增函数，且f（0.001）·f（1）＜0，∴它只有一个零点.

解法2：利用方程的解的知识进行解答.解方程f（x）=lnx+1=0，得x=e-1.∴函数f（x）=lnx+1 只有一个零点.

解法3：利用函数图象交点的知识进行解答.将f（x）=lnx+1=0 转化为y=lnx 和y=-1 两个函数的图象的交点问题，或转化为y=lnx+1 和y=0 两个函数的图象（即y=lnx+1的图象与x轴）的交点问题，即可使原问题得以解决.由图1可知，函数f（x）=lnx+1 只有一个零点.

图1

变式1：判断函数f（x）=lnx-x+1 的零点个数.

图2

解法2：对于本题，我们可以利用方程的解的知识加以解决，也可以利用函数图象交点的知识加以解决，即将f（x）=lnx-x+1 转化为y=lnx 和y=x-1 两个函数的图象的交点问题加以解决.求导可知，y=lnx 在（1，0）处的切线是y=x-1，进而可知它们的图象只有一个交点（图3）.

图3

创设意图：用“函数的零点”“方程的实根”“图象的交点”这三组“近义词”分别对应的不同方法解决同一个问题及其变式，可以让学生在解决问题的过程中深刻理解这三个概念区别和联系，从而让学生掌握解决这类问题的通性通法.

三、自主编题，以情境创造意境

仿照例题解答上述变式题后，教师可以让学生尝试自己编题.在变式1 所给的函数f（x）=lnx-x+1 中加入参数a（a≠0），即可得到各不相同的变式题.

变式2：判断函数f（x）=lnx-x+a 的零点个数.

变式3：判断函数f（x）=lnx-ax+1 的零点个数.

变式4：判断函数f（x）=alnx-x+1 的零点个数.

创设意图：教师引导学生先进行自主编题，再开展合作探究，并对变式题进行解答和总结.在学生总结零点问题的解决方案、阐述本节课的收获后，教师进行点拨升华.

四、后记

在“一题一课”中进行问题串设计，借助问题串创设问题情境，可以让学生的思考由浅入深，提升学生的数学核心素养.该案例由一个主问题引入，以问题串创设问题情境，通过变式训练及学生自主编题，完成了对知识的梳理和复习，融合了多种方法，对“零点”“交点”“根”这三个概念进行了一个整合.这样的问题情境直达本节课的靶心，通过一题多解、多题归一有效地提升了学生的思维层次，实现了学生在课堂上的高效学习.这一过程对素材进行了深挖掘、详分析，大大提升了学生对问题本质的探索，有效地提升了学生的数学核心素养.