数学实验与“数与代数”教学①

王晓峰 周海东

(1．江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021；2．江苏省苏州工业园区星洋学校 215021)

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质的数学分支，是一门具有丰富内容并且与现实世界、与学生的生活、与其他学科联系十分密切的学科．它为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段．“数与代数”是《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)主要的课程内容，包括数的概念、数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等．数与式、方程与不等式和函数，都是研究现实世界数量关系和运动、变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度来认识现实世界，是未来公民必备的重要基础知识．

数学源于对现实世界的抽象，通过抽象得到了数学的研究对象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等数学方法，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律．义务教育阶段，随着学段的增加，数与代数的内容逐渐在扩充，思维形式也从具象逐渐过渡到抽象，且抽象的程度越来越高，解决的问题也越来越复杂，这就造成部分学生对数与代数的学习产生了困难．

数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动．数学实验具有直观性，能将抽象的代数知识的形成过程可视化，增强学生对知识的感性认识；数学实验具有操作性，强调动手操作和动脑思考相结合，能将离身思辨变为具身体验；数学实验具有过程性，能让学生经历数与代数的抽象、运算、推理与建模等过程．因此，通过数学实验可以让学生在活动中建构知识体系、掌握数学方法、形成代数思维．

1 通过数学实验理解概念本质

概念是反映事物本质属性的思维形式，正确的概念是科学抽象的结果．数与代数中的概念一般来源于现实的生活实践，是从现实中抽象概括出来的．教师在进行概念教学时，应根据学生已有的活动经验和学习基础，从现实中寻找实物模型或通过实验帮助学生对概念形成感性认识，让学生在经历观察、实验、猜测、推理、归纳的过程中抽象出概念，揭示概念的本质，从而正确、清晰地理解概念．

例如，函数概念的理解．函数是“数与代数”的重要内容，是由常量数学到变量数学的体现，是数学思维上的一次飞跃，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一．为此，借助数学实验“函数发生器”，可以帮助学生建立函数概念．“函数发生器”是指具有这样功能的盒子(数学实验工具)：从盒子上方开口插入一张卡片，这张卡片可以自然地从下方的一个出口滑出，但卡片的正反面正好调换．这样，我们可以在一组卡片正面写上一个数(如1，3，5，7，…)，反面相应写上另一个数(如2，4，6，8，…)，教师可以演示函数发生的过程：输入一个x(如“1”)，输出一个唯一的y(如“2”)．这样，利用“函数发生器”，既可以帮助学生直观地了解函数概念的本质特性——联系和变化，又可以促进对函数概念的文本理解．

再如，无理数概念的理解．无理数的发现源于古希腊毕达哥拉斯(Pyethagoras，公元前582-497)学派，因其隐含 “无限”和“不循环”，一直被人们看成“雾中花”，说不清、道不明．直到19世纪，才由戴德金、柯西、维尔斯塔拉斯等数学家构造严密的实数理论，消除了人们对无理数的神秘感．事实上，初中学生对无理数的感念理解存在同样的障碍．张奠宙教授曾将无理数的概念纳入超经验数学(凭现实生活的情景无法达到的数学)的范围，认为超经验数学不合常理，所以学起来比较困难．为此，可以借助下面的数学实验，让学生亲历无理数的构造过程，帮助学生感悟从有限小数到无限循环小数再到无限不循环小数，在比较中理解无理数的本质含义．

其次，通过写小数游戏(或者利用Excel软件产生随机小数)让学生体会到无限不循环小数是真实存在的．全班每位同学准备10张纸条，分别写上数字0、1、2、…、9后放入不透明的袋子中．每位同学在自己的袋子中随机抽出一张纸条，依次报数后再放回，教师在3.0的后面按顺序写上报出的数字．按照这样的方式不断地抽下去，再把报出的数字不停地记下去，就可以得到一个无限小数，并思考这个无限小数的小数点后的数字会循环出现吗？为什么？

最后，尝试构造无限不循环小数，进一步体会到无限不循环小数是客观存在的．按照每两个1之间依次增加一个0构造一个无限不循环小数1.010 010 001…，尝试再写一个类似的无限不循环小数．

经历这样的实验过程之后，学生即能真实体会到“无理数就在自己身边”、“无理数是大量存在的”，亦可以把握住无理数无限和不循环的特征．从而接受无理数的客观存在，理解无理数的概念．

2 通过数学实验发展运算能力

运算能力指的是根据法则和运算律正确地进行运算的能力．运算包含算理与算法．算理指的是运算的理论依据，由数学概念、定律和性质等构成，是运算过程中的思维方式，主要解决“为什么这样算”的问题．算法是依据算理提炼出来的运算方法和规则，是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题．算理是算法的基础，算法是算理的具体体现．算理为运算提供了正确的思维方式，保证了运算的合理性和可行性；算法为运算提供了便捷的操作程序和方法，保证了运算的正确性和快速性．算理与算法相辅相成，共同决定了运算能力的形成与发展．为此，教学中可从学生的生活经验和知识基础出发，通过动手操作探索具体情境中蕴藏的规律，充分展开对算法的必要性与合理性、算理的客观存在性的感悟与认识，让学生在探索的过程中真正理解算理、掌握算法，并在此基础上通过训练形成运算技能(包括估算)，发展运算能力．

例如，分式的基本性质的探索．教学中分式的基本性质往往都是利用类比的方法，猜想出分式具有与分数类似的基本性质．类比是合情推理，其结果是或然的，但证明却往往又无从下手，教学会陷入困境．为此，可以借助“剪拼长方形纸片”的数学实验解决这个问题．

操作1：将两个面积为S、宽为a的长方形纸片按图①方式拼接成一个大长方形，大长方形的长为多少？若继续拼接，你有何发现？请利用等式描述你的结论．

操作2：将一个面积为S、宽为a的长方形纸片按图②方式裁剪成两个小长方形，小长方形的长为多少？若继续裁剪，你有何发现？请利用等式描述你的结论．

图1

图2

这样，借助长方形纸片先将抽象的分式转化为直观的几何图形，再根据剪拼前后图形中隐含的数量之间的关系，通过演绎推理的方式证明了猜想，得到了分式的基本性质．另外，利用类似的实验还可以探索分式的加法运算法则．

再如，有理数的加法法则的探索．数式运算法则的掌握，不能依赖死记硬背，应以理解为基础，在应用中不断巩固．教学中应注重建立法则与学生生活经验与知识基础的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学通过观察、思考、分析，抽象概括出运算法则．“有理数的加法法则”是初中引入“负数”概念后学生对小学已经获得的数的运算法则基础上的发展和深化．为此，利用正负数可以表示“意义相反的量”，通过设计“点在数轴上的移动”实验活动探索有理数的加法法则．

操作1：把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“-2”的位置上．用数轴(图3)和算式可以将以上过程及结果分别表示为：(-5)+(+3)=-2．

图3

操作2：把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向右移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖停在“1”的位置上．用数轴(图4)和算式可以将以上过程及结果分别表示为：(+3)+(-2)=+2．

图4

操作3：把笔尖放在图5中数轴的原点，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式分别表示以上过程及结果．

图5

再做一些类似的试验活动，并写出相应的算式．

这样，借助人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，可以让学生直观感受两次连续运动中点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“形与数”的转换，归纳出有理数加法运算法则，学生对有理数加法运算法则的理解会更加深刻．

3 通过数学实验形成符号意识

符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，是一种积极的心理倾向．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式．数学实验可以为学生提供丰富的情境，让学生在实验的过程中抽象出数学符号，帮助学生获得运用符号表示数、数量关系和变化规律的体验，促进学生主动使用符号进行运算和推理，提高运用符号解决问题的意识与能力，发展代数思维．例如，可以通过下面的拼图实验，在问题解决的过程中，培养学生的符号意识．

问题1：如图6是边长为8的正方形纸片，把它剪成4块，按图7重新拼合，这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？

学生观察图6、图7后，一般会直观地判断成“可以拼成”．通过分析与计算，学生会发现图6中正方形的面积为64，图7中长方形的面积为65，面积不相等，因此不能拼成．这样，学生就产生了认知冲突．为此，教师可将一张较大的正方形纸片，按图6的方式分割，再按图7的方式拼合，通过观察，学生会发现：图中直角三角形的斜边与直角梯形的腰不在同一条直线上，两个直角三角形的两条斜边与两个直角梯形的两条腰组成了一个狭长的平行四边形缝隙，它的面积正好是1．由于视觉的关系，这四条线段似乎在同一条直线上，于是得到了“可以拼成”错误结论．进而，引导学生再做如下思考．

图6

问题2：将一个正方形纸片按上述方式进行裁剪后，再重新拼合，能否拼成一个长方形？若能，又该如何裁剪？

图7

图8

图9

图10

该实验中的问题1体现了数学的证伪与证实，问题2是对问题1的深入与延伸，两者共同构成了一个完整的正方形剪拼成等面积的长方形的探究过程．学生通过观察、猜想、操作、推理、验证，思维由形到数、再由数到字母，逐步获得了升华．显然，这样的数学活动有利于学生符号意识的形成与发展．

4 结束语

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来．一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽．”事实上，数学课本由于表达的需要，往往以逻辑严密的学术形态出现，呈现出冰冷的美丽，让学生望而生畏．教学的任务就是把它们重新颠倒过来，使它们借助自然形态的数学实验转化为学生容易接受的教育形态呈现出来．在“数与代数”的教学中，注重学生亲历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动，感悟概念、法则、性质的发现、形成与应用过程，形成主动利用符号进行表达、分析与解决问题的意识，才能让“冰冷的美丽”绽放为“火热的思考”，而这种学习体验恰恰是数学实验可以提供的．