点几何理论与GeoGebra实践①
2020-06-23张志勇罗建宇
张志勇 罗建宇
(1.江苏省常州市第五中学213001；江苏省张家港市沙洲中学215600)
我们知道，解析几何是用代数方法研究几何问题，思路清晰有章可循，但代数方法在计算过程中很难看出几何意义，于是为寻求能够更直接处理几何问题的代数方法，数学家们开辟了“几何代数”领域．张景中先生等建构的“点几何”理论，用简明的概念、平常的符号和代数运算的形式描述几何对象之间的关系，不仅符合数学直观，也能更方便地表达基本几何事实，而且有助于几何推理的简捷化[1][2]．GeoGebra作为一款“专为教与学的动态数学软件”，内嵌有计算代数系统和指令输入方式，可对几何对象进行直接代数化处理，从而实现“形”(几何Geometry)与“数”(代数Algebra)的完美融合．巧合的是，GeoGebra的很多指令规则与点几何理论完全一致，可以说GeoGebra就是点几何理论的一个实践场．应用点几何理论于GeoGebra实践中，既是对理论的支持验证，也有助于软件的理解把握．
1 点的线性运算
点几何中定义了“点加点”和“数乘点”，即A+B=(xA+xB,yA+yB)、λA=(λxA,λyA)；以此为基础，推导出两点线性组合uA+vB=tP的意义和uA+vB=rC+sD的表示，特别地，直线上任意一点都可以表示成P=tA+(1-t)B，△ABC平面上任意点P=xA+yB+(1-x-y)C．
GeoGebra支持点的线性运算．如图1，在指令输入框中输入“A+B”、“-2A”，得到D、E两点；输入“(A+B)/2”、“(A+B+C)/3”，得到线段AB的中点F和三角形ABC的重心G；输入“B-A+C”，可构造平行四边形ABHC的第四个顶点H．值得说明的是，GeoGebra有很好的帮助功能，如查看代数区中的坐标，可以发现D=(xA+xB,yA+yB)、E=(-2xA,-2yA)；而图1右侧的作图过程，可查看每一个点的属性；另外A、B、C为给定的初始点．
图1
扩展开去，可通过语句“P=x*A+y*B+(1-x-y)*C”的输入，来构造△ABC平面上任意一点P；而有了任意点P后，又可在运算区中通过指令“Solve(P=x*A+y*B+(1-x-y)*C)”来获取参数x、y的值．
◆1、在绘图区中构造三点A、B、C和三角形t1；在运算区储存格1～4的指令域中分别输入“λ:=0.5”、“μ:=0.4”、“D:=λ*C+(1-λ)*A”、“E:=μ*B+(1-μ)*A”，得到AB、AC上两点D、E．
◆2、在绘图区中构造线段BD、CE和交点F；在运算区储存格5～7的指令域中，分别输入“Solve(F=x*B+(1-x)*D)”、“Solve(F=x*C+(1-x)*E)”、“Solve(F=m*A+n*B+(1-m-n)*C)”．
图2
说明：借助指令“AffineRatio()”，得到的只是系数的近似数；而在运算区应用“Solve()”求解方程时，可得到精确解．
以上实验结果可用点几何法证明如下(取A为原点)：
得(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC,
又(1-μ)+(1-λ)μ=(1-λ)+(1-μ)λ，
故而(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC
=(1-λμ)F,
2 点的数量积运算
图3
例2如图4，△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心．求证：OE⊥CD．
◆3、构造任意两点A、B和角度滑动条α，输入“C=e^(l*α)*(B-A)+A”得到C点；输入“Polygon(C,A,B)”，构造等腰三角形t1；输入(A+B)/2，得到AB边上的中点D．
◆4、输入“TriangleCenter(A,B,C,3)”，得到△ABC的外心O；输入“(A+C+D)/3”，得到△ACD的重心E；输入“(E-O)*(D-C)”，得到数量积d(如图4，结果为0，说明OE⊥CD)．
图4
下面给出点几何法证明(取O为原点)：
O是△ABC的外心⟹A2=B2=C2，
AB=AC⟹(B-A)2=(C-A)2
⟹B·A=C·A，
E是△ACD的重心
=0.
3 点的外积运算
点几何中将两点A、B的外积定义为AB=B-A，并且给出了三点A、B、C外积的概念，即ABC=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，表示△ABC的带号面积(A、B、C顺序为逆时针时ABC>0，顺时针时ABC<0)．
GeoGebra中并没有两点外积、三点外积的定义，但指令“Cross(
◆5、构造三点A、B、C，输入“Polygon(A,B,C)”，得到三角形t1；输入“(A-B)⊗(B-C)”(或者“Cross(A-B,B-C)”，得到外积计算结果d．
说明：由图5的计算结果发现，外积的计算结果为三角形面积的2倍．事实上，由外积公式(a1,a2)⊗(b1,b2)=a1b2-a2b1，得(A-B)⊗(B-C)=(xA-xB,yA-yB)⊗(xB-xC,yB-yC)，化简得到(A-B)⊗(B-C)=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，这一结果与点几何中的三点外积ABC的定义一致．也就是说，点几何中的ABC实际上表示的是△ABC带号面积的2倍(对应着平行四边形的面积)．
◆6、构造滑动条t，分别输入“t*C+(1-t)*B”、“t*A+(1-t)*C”、“t*B+(1-t)*A”，得到点D、E、F；构造线段AD、BE、CF及相应的交点P、Q、R．
图5
以上结论用点几何法解答如下：
取C为原点，则
D=(1-t)B,E=tA⟹
(1-t)D+t2A=tE+(1-t)2B=(t2-t+1)P，
又BD=tBC⟹D=(1-t)B+tC，
所以有(t2-t+1)P=t2A+(1-t)2B+t(1-t)C；
同理(t2-t+1)Q=t2B+(1-t)2C+t(1-t)A，
(t2-t+1)R=t2C+(1-t)2A+t(1-t)B，
将三式作外积并略去零值项，得
(t2-t+1)3PQR=t6ABC+(1-t)6BCA+
t3(1-t)3CAB+t3(1-t)3ACB+
t3(1-t)3BAC+t3(1-t)3CBA,
因为ABC=BCA=CAB=-ACB
=-BAC=-CBA，
4 点的复数乘法
点几何中定义复数乘点为iA=i(x,y)=(-y,x)，表示将点A(x,y)逆时针旋转90°得到点(-y,x)；进一步的，取复数α=u+vi，有αA=uA+v(iA)=(ux-vy,uy+vx)，如果用三角形式α=r(cosθ+icosθ)来表示的话，则αA的几何意义为将点rA逆时针旋转θ角得到点αA；进一步地，引进指数式eiθ=cosθ+isinθ，则有eiθA=(xcosθ-ysinθ,ycosθ-xsinθ)．
在取定坐标系的情况下，GeoGebra中默认代数区为一复平面，因此点与复数是一一对应的，如在指令栏键入复数“P=3+4i”，在绘图区中构造点P(3,4)，同时在代数区中显示复数“P=3+4i”．我们可以通过“属性对话框→代数区→坐标”的设置来实现点与复数的转换：将复数的坐标属性改为“直角坐标”，则复数切换为点；反之，将点的坐标属性改为“复数”，则点又可切换为复数(当然更改只是GeoGebra在代数区中的显示形式，绘图区中绘制的点实际上是不变的)．于是，点几何中所讲的复数乘点在GeoGebra中其实就是复数乘复数，但要特别注意的是，点乘点是点的数量积，不能理解为复数乘复数．
例4(拿破仑定理)如图6，△ABC中分别以三边为边长同时向外作正三角形△BCD、△CAE及△ABF，其中O1、O2、O3分别是△BCD、△CAE、△ABF的重心，则△O1O2O3为正三角形．
◆8、构造三点A、B、C和三角形t1，输入“t=e^(i*π/3)”得到复数t．
◆9、分别输入“D=C+t*(B-C)”、“E=A+t*(C-A)”、“F=B+t*(A-B)”得到复数D、E、F，将D、E、F的坐标属性修改为“直角坐标”得到三个点；分别输入“Polygon(C,D,B)”、“Polygon(C,E,A)”、“Polygon(A,B,F)”得到三个正三角形t2、t3、t4．
说明：GeoGebra中复数乘点得到的是复数，需要修改坐标属性才能得到点，当然如果将输入指令修改为“D=ToPoint(C+t(B-C))”则可直接得到复数点D；
◆10、分别输入“TriangleCenter(B,C,D,2)”、“TriangleCenter(C,A,E,2)”、“TriangleCenter(A,B,F,2)”，得到三个三角形的重心O1、O2、O3；输入“Polygon(O_2,O_1,O_3)”，得到三角形t5．输入指令“O_1+t*(O_2-O_1)”，得到的复数点与O_3重合，从而得到结论“△O1O2O3为正三角形”．
图6
点几何法证明如下：
要证△O1O2O3为正三角形”，
只要证O3=tO2+(1-t)O1，
又O1、O2、O3为重心，只要证
而D=tB+(1-t)C，E=tC+(1-t)A，
F=tA+(1-t)B，
故而只要证
(1+t)A+(2-t)B=t(1+t)C+t(2-t)A+(1-t2)B+(1-t)(2-t)C，
整理得
(1+t)A+(2-t)B=t(2-t)A+(1-t2)B+[(1-t)(2-t)+t(1+t)]C，
(*)
从而(*)式得证，所以△O1O2O3为正三角形．
应用复数乘点可以简化涉及角度的几何问题，本例当然也可采用复数恒等式方法证明．与例2相类似，有了复数恒等式，我们不但可以压缩证明过程，还可以得到更一般的数学结论[3]．
以上，我们以GeoGebra为软件平台，从点的线性运算、数量积、外积和复数乘点四个层面验证了点几何理论的实用价值和独特魅力．一方面，点几何能直观方便地表达基本几何事实，GeoGebra可以更好的阐释点几何的理论构架；另一方面，以点为对象进行操作运算，点几何理论指导下的GeoGebra构造更加快捷高效．事实上，GeoGebra的指令输入，不仅可以对点进行运算，还可以对圆锥曲线、多边形等几何对象进行旋转、放缩等操作．总而言之，点几何理论与GeoGebra实践的融合应用，在彰显点几何的教育价值的同时，为我们在基础教育阶段推行点几何理论开辟了一条路径．
