解出“深度”，构出“创新”

【摘要】本文以人教版数学三年级上册“周长”这一单元的一道例题为例，论述进行习题二次开发的途径，认为教师应从知识建构、学生思维、教学方法三个层面解读习题，根据学生的实际情况对习题进行整合、创编，总结二次开发习题的价值及方法，以此助推学生的“深度学习”，提高教学质量。

【关键词】小学数学 习题 二次开发

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）05A-0073-03

教材的习题编写往往强调内容与梯度的普适性，缺乏切合校本实际、生本实际的针对性。教师必须具备深度解读习题的能力，既能准确分析习题的编写意图，挖掘习题背后隐藏的知识信息、解题策略，又能根据学生的实际情况对习题进行整合、创编，进行二次开发。笔者以人教版三年级上册“周长”这一单元的第10题为例，对习题的二次开发进行探讨。

一、“三维”解读习题

教师要从知识建构、学生现有的思维水平、采用怎样的教学方法来支撑教学三大维度对习题进行深度解读。只有根据知识体系的建构对习题进行增补删减、整合，使题型丰富多变、有梯度、有内涵，才能实现真正的深度解读，引导学生进行深度学习，提高教学质量。

（一）从知识建构层面解读习题

皮亚杰的知识建构理论认为：儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构知识体系，从而使自身认知结构得到发展。由此可知，学生是知识加工的主体，是知识的建构者。教师要让学生把当前所学的知识与已有经验产生联系，从学习内容、学习方法、如何学习等方面去思考、去探索发现，最终完成知识的建构。

首先，对习题内容进行分析：知识性质、知识结构，所蕴含的规律、思想方法，以及知识之间的内在联系。经过分析发现：这是一道解决周长的问题，目标图形由两个正方形组合而成，需要用到正方形的周长公式。

习题中的组合图形可以由“拼一拼”得到，也可以由“剪一剪”产生。根据学生已有学习经验，可以将此题设计成开放题，让学生通过操作活动，排除“形状”“面积”对“周长”的干扰，从多个维度去建构“周长”这一概念，使学生对“周长”概念有一个清晰完整的认知。

（二）从学生思维层面解读习题

小学生的思维以具体形象思维为主，他们在认识较复杂的图形和理解较抽象的数学概念时有一定的困难。受已有思维经验的影响，学生计算周长习惯于将各条边相加，而当不知道某些边的长度时，这就成了学生思维的“盲点”。三年级学生的思维停留在表层，思维的深刻性和严密性不够，对“周长”的认知容易受“面积”“形状”的干扰。因此，教师要从学生思维角度出发，多层面设计习题。

由此，笔者将此题改编。笔者先出示两个正方形，让学生自由拼组，学生呈现了多种拼法。接着开展三个层面的操作活动：第一层，“拼一拼”，学生通过“拼一拼”环节感知面积不变，但周长却变短了;第二层，“剪一剪”，学生通过“剪一剪”环节感知面积变小了周长不一定变小，周长可能不变，也可能变长;第三层，“撕一撕”，“撕一撕”这个环节将教材里比较经典的题型进行整合，与学生的形象思维进行无缝对接，让学生形象感知“面积”与图形“周长”没有必然联系。

（三）从教学方法层面解读习题

合理的教学方法应该把课堂还给学生、把学习主动权还给学生，教师应精心设计习题，培养学生合作探究能力。通过前面的学习，学生脑海里已经初步形成了“周长”的概念。然而，概念的形成不是一蹴而就的，学生只有在多种活动过程中不断辨析，不断排除干扰因素，才能对“周长”的概念有一个精确的建构。

针对习题的特征以及学生的特点优化教法，笔者拟给学生创设一个操作体验的情境，使学生在具体操作情境中建构“周长”概念。因此，笔者采用操作体验、合作探究法，将此题创编成可操作的一组题型，让学生通过“拼一拼”“剪一剪”“撕一撕”三個操作活动，不断积累思维经验、强化对概念的理解，逐步深化对“周长”概念的建构。

二、“三法”重构习题

有“深度”的课堂是具有高思维的课堂，能引领学生深度探究、深度思考、深度学习，这也是当前课程改革追寻的方向。将习题进行重构、“二次开发”，目的是让习题为学生“量身定做”，让学生的思维与习题无缝对接。

（一）拼一拼——改造原题，先分后整

学生很容易受思维定势的干扰，看到两个正方形的周长就直接相加。为了降低学生学习的难度，有效对接学生的思维，笔者将原题进行改造，教学流程如下。

片段一：周长一共是多少？

这个环节既复习正方形周长公式，又为下一环节的教学埋下伏笔。

接着笔者追问：如果把两个正方形拼在一起，周长又是多少呢？

片段二：操作验证，周长变了吗？

如果说猜想是创新的灵魂，那么验证则是创新的核心，通过验证可以证明或否定猜想;在验证中明真理，揭露事物的本质，建构新知，以此引发学生深度学习，推动学生思维的发展。

师：把两个正方形拼在一起，你发现了什么？

生1：周长变短了。

（教师让学生自由选择图形进行验证）

生1：我是用数方格的方法，所以我选了第一个图形，周长是30厘米。

师：你为什么不选后面两幅图？

生1：后面两幅图有些边没有满一格，不好数。

生2：我把每一条边加起来，第一个图形6+6+6+3+3+3+（6-3）=30厘米。

师：那第二个图形的周长呢？

生2：后面两幅图有些边的长度不知道，所以我算不出来。

生3：我选第一幅图，6×4=24厘米，3×4=12厘米，24+12=36厘米，36-3-3=30厘米。

师：你为什么要减去两个3？

生3：因为重叠部分有两个3，重叠部分不是周长应该减掉。

（学生通过讨论交流很快得知，后面两个图形的周长只要用两个正方形的周长之和减去两条重叠的边就可以得出来了，答案也是30厘米）

师：通过刚才的拼一拼，我们发现两个图形拼在一起，周长会有什么变化？

生4：周长变短了。

学生在计算第一个图形的周长的过程中积累了一些经验，原先对两个图形组合后的周长较为模糊，此时已渐渐明晰起来了，借助拼一拼的活动，懂得了求组合图形的周长要减去重叠的边。

片段三：“平移”后的周长怎么求？

师：求这三个图形的周长还有不同的方法吗？请同学们拿出小棒，我们首先来摆一摆第一个图形。移一移边，看看你又有什么发现？

（学生操作）

师：现在你又有什么发现？

（学生发现，将原来的小正方形的边移一移之后，整个图形就变成了一个长方形）

师：“平移”之后，周长又该怎么求呢？

生5：把边移出去之后，就变成了一个长方形了，我们只要求长方形的周长就可以了。（9+6）×2=30厘米。

通过移一移，学生感受到了“平移”的思想，会用平移法解决组合图形周长的求解问题，扫除了思维的“盲点”，从而拓宽了学生的解题思路。

（二）剪一剪——“合情”推理，变整为缺

学生通过“拼一拼”发现，“拼一拼”后的图形周长都比原来的周长小。然而，我们的教学不能到此为止，还需继续向前迈进。教师可以给学生挖一个“坑”，让学生跳进去，接着让学生开展合作探究，让学生自己从“坑”中爬出来。

师：拼一拼，图形周长变短了。如果在一个长方形上剪去1个小正方形，周长会怎么样呢？

生1：变短了。因为，拼一拼边重叠了，剪一剪，边被剪掉了，周长也就变短了。

显然，受“拼一拼”的影响，学生进行了“合情推理”：边被剪掉了，周长肯定变短了。由此可知，学生对周长概念理解还是比较模糊的，受“面积”的干扰，他们以为面积减少周长也应该减少。

师：请同学们从学具袋中拿出长方形方格纸剪一剪，可以减去1个小正方形，也可以减去2个、3个……

学生作品如下。

师：看看这些同学剪的形状，你有什么想说的？

生2：①②③④⑤的周长和原来的一样，⑥⑦的周长和原来的不一样。

学生根据上题“移一移”的经验，用平移法很快找到周长不变的图形，又通过平移图形⑥⑦发现多出了两条边，所以周长变了。学生通过讨论交流又发现了规律，原来在长方形四个角上减去小正方形，不管减几个周长都不变。

（三）撕一撕——由此及彼，从直到曲

通过以上两个环节的学习，学生脑海中的“周长”的概念已经变得越来越清晰了。然而，学生对一个概念的掌握需要经过多次强化、反复辨析。

师：我们之前进行的拼一拼、剪一剪活动，涉及的边都是直的。如果边是弯曲的，周长又会怎样变化呢？你有什么办法能变出弯弯的边？

生1：我们可以撕一撕，撕出一条弯弯的边。

有代表性的学生作品如下。

师：想一想，哪一部分的周长长？

生2：图形①②中的A和B的周长相等。

生3：图形③④中的A、B两部分的周长不一样。

学生经过观察交流发现，中间这条弯弯的边是公共边。如果这条公共边的两端是从长方形的一个角到它的对角的，这样分成的两部分的周长就一样长;否则，就要结合具体情况，用一一比对的方法进行判断。

三、“三省”体会反思

曾子说：“吾日三省吾身。”教师的教学也该如此，时常“三省”自己的教学方可知得与失。“三省”省什么呢？教学现象包罗万象，笔者着重从价值、方法、原则三方面对“重构”习题后的教学进行反思。

（一）“二次开发”习题的价值

习题是数学教材的有机组成部分，是提升学生思维品质的重要载体。合适的练习，对于学生理解、掌握数学知识是必不可缺的。同时，解答习题的过程也是数学学习的反思过程，可以起到纠正错误、深化理解、巩固知识、提升能力的作用。但并不是所有的习题都编写得很完美，在实际教学中，教师要针对习题的特征、结合学生的学习情况，敢于向习题挑战，勇于重构习题。例如，“形状”“面积”很容易给学生理解“周长”的概念带来干扰。通过对书上习题进行重构和逐层深入教学，犹如给“周长”剥去了一层又一层迷幻的外衣，凸显了“周长”的本质属性。

（二）“二次开发”习题的方法

1.化静为动

这里的“化静为动”是指通过对习题的重组、改造，使习题变得灵活生动，富有一定的思维含量，充滿挑战性和趣味性。

例如此题原本是一道计算周长的问题，通过二次加工改造，此题演变成了一道具有开放性的操作题。课堂上，笔者引领学生通过“拼一拼”“剪一剪”“撕一撕”三个层面的活动去探究周长问题，让原本静止的知识变得灵动，给原本抽象的概念赋予具体可感的动态操作，使学生在寓教于乐中深度学习，在手脑并用中清晰建立“周长”的概念。本课例的探究与实践取得了很好的教学效果，达到了“育人于无形，成长却有迹”的教学目的。

2.归并整合

“归并整合”就是将知识进行整合，将方法进行归并。首先，教师要亲自对习题进行思考、解答，了解习题的难易程度以及知识间的相互联系;接着分析习题编排的目的性、知识嵌入的层次性，以及习题所蕴含的数学思想方法，根据学生的思维特点对习题进行整合、归并、创编、拓展，对习题进行二次开发，以此助推学生的“深度学习”，提高教学质量。

例如从一个长方形里剪去小正方形，渗透如下知识点：减掉了几个小正方形，周长不会减少，可能增加也可能不变;不是剪得越多周长就越长;“周长”和“面积”没有必然的联系。针对这些知识点，笔者将知识进行整合，合并设计成一道题：拿出长方形方格纸剪一剪，可以减去1个小正方形，也可以减去2个、3个……虽然整合成了一道题操作题，但开放了学生的思维，让习题更富有思维内涵与练习价值。

3.巧设陷阱

教师可以根据学生认知的片面性或思维缺陷在习题中设置陷阱，暴露学生的错误思维。教师巧设习题陷阱给学生挖一个“坑”，让学生落入“坑”后通过自我“解救”（探究），从“坑”中爬出来。学生一方面，吃一堑长一智，另一方面，提升学生的分析问题能力、逻辑推理能力以及思辨能力。

例如，“拼一拼”因为边重叠，图形周长变短了。笔者再次将此题进行改编：如果在一个长方形上剪去1个小正方形，周长会怎么样呢？学生在原有知识基础上迁移方法，误认为：剪一剪，边被剪掉了，周长也就变短了。接着，学生通过自我探究得出正确的结论：在一个长方形上剪去1个小正方形，周长可能不变、可能变长，但不会减少。

没有解构就没有希望，没有重构就没有创新。有创新的习题才具备一定的知识内涵、思维含量，才能引发学生深度学习，进而巩固新知，达成教学目标。

作者简介：沈建芳（1975— ），浙江杭州人，大学本科学历，高级教师，研究方向：数学教学研究，教育管理。

（责编 刘小瑗）