数学单元起始课教学设计的原则和方法

王华

摘   要 单元起始课教学为整个单元的学习提供了相关背景、知识框架、逻辑体系和应用价值。单元起始课的教学设计应遵循整体性原则、持续性原则、多样性原则和适切性原则，基本方法是运用结构思维类比式设计、运用本质思维归纳式设计、运用整体思维分解组合式设计和运用普适思维演绎式设计。

关键词 单元起始课  教学设计 基本原则  基本方法

单元起始课是数学教学内容的重要组成部分，为整个单元的学习提供了相关背景、知识框架、逻辑体系和应用价值。在实际教学中，教师尽管知道起始课的价值，但苦于教材只有章引言、章头图等有限的课程资源，教师难以有效地组织教学内容和开展教学活动，因而起始课教学总是得不到应有的重视。那么，如何有效地进行单元起始课的教学设计呢？单元起始课教学设计的基本原则有哪些？有什么操作性强的设计方法吗？本文讨论单元起始课过程组织设计的基本原则和方法。

一、单元起始课教学设计的基本原则

1.整体性原则

单元起始课教学设计的整体性原则主要表現在三个方面：第一，知识内容的整体性。起始课的教学设计须要将本单元零散的数学知识、思想方法加以整合，从整体上加以把握，让学生初步感知整个单元的知识结构。第二，学生认知的整体性。起始课的教学应当结合学生的心理特点和认知规律形成整体思维，既让学生知道本单元学什么，又让其明白为什么学和怎么学，从而统领单元教学。第三，教学安排的整体性。在单元整体思维的统领下，起始课既是单元教学的第一步，又是统揽全局的重要一步，教学中的每一步和每一个环节都应置于单元教学的整个系统之中考虑。

2.持续性原则

单元起始课应为单元教学奠定基调，引发后续教学的持续性研究，即单元起始课教学设计应关注持续性原则。其主要表现在三个方面：第一，知识层面。起始课的教学设计应为整个单元提供知识框架，并揭示知识间的内在联系，从而有利于后续每一个子知识的“精致”教学。第二，方法层面。起始课的教学设计不能局限于事实性、概念性知识层面，更应关注学生用怎样的思维方式、思想方法来完成整个单元的学习。因为对学生而言，“怎么学比学什么更重要”，唯有这样才能滋生可持续的学习力。第三，价值层面。起始课教学设计应强调学习的必要性，揭示知识背后的育人价值，促进学生形成持续而稳定的数学素养。

3.多样性原则

多样性原则是单元起始课教学设计的重要原则，其主要表现为教学设计的方法是多样的，原因在于：不同的教学内容处理的方法是不尽相同的;不同的教师对单元起始课的目标定位、内容理解是不同的;不同的学生所具备的认知基础、学习方式、学习能力也是不完全一致的。显然用唯一的标准去设计单元起始课是不合适的，根据单元规模的大小、新知产生的方式以及学生接受的方式等，可以多样化设计教学。

4.适切性原则

适切性原则是指教师在单元起始课教学设计的过程中应找到一种适合教师自身特点的建构方式，并使这一方式最大限度适合学生的学情，以实现知识和能力在教学中的融合。适切性原则主要考虑以下三个方面：第一，根据课程标准，合理设置教学目标，组织适切的教学内容;第二，根据内容特点，在理解数学的前提下选择合适的教学方式;第三，根据学生情况，创设符合学生认知的教学活动。适切性原则是单元起始课教学设计最为重要的原则，它是多样性原则的根本原因之所在。

二、单元起始课教学设计的基本方法

1.运用结构思维类比式设计

数学有其独特的思维品质和结构内涵，从某种意义上说，数学就是一种结构。从结构思维的角度看，起始课需要学生明晰章节的学习内容，将学习内容结构化，从而快速找到学习的切入点，避免耗时低效，并全面解答为什么学和怎么学的问题。那么，如何将新知识结构化？学生的已有认知是重要的资源，通过对已经掌握的数学对象的研究内容及方法的回顾，发现新知与旧知在部分研究内容和方法上存在着明确的联系，具有类似的性质，因而可以将旧知作为类比源，类比已掌握知识的结构去建构新知，从而将学习内容结构化，具体操作见图1。

例如，分式的章节起始课。学生在分式的学习之前已经掌握分数及其运算，头脑中有了分数相关的知识结构，这为分式的学习奠定了良好的认知基础，提供了学习经验。教师可以从苏科版教材章头图的长方形面积、火车行驶两个情境出发，提出相关的问题，获得一串式子：，让学生经历表示分式的抽象活动，发现一类新的代数式，体会从分数到分式的概念形成过程，并寻找分式的共同特征。设计“等宽长方形”操作活动，将若干张全等的长方形纸片依次拼接成较大的长方形，让学生体会分式值的不变性，并回顾分数的基本性质，“看见”分式的基本性质。进一步结合“乒乓球与网球”的实际情境，在发现乒乓球与网球有很多规则上的相似之处的基础上，提出“网球有哪些规则”的问题，促使学生类比、参照乒乓球规则。运用这种结构思维，学生感受了分式不仅与分数形式相同，而且分式有类似于分数的性质的过程，自然形成了分式类比分数学习的基础，进而借助分数的学习构建分式的内容结构（见图2）。

当然，运用类比思想研究问题时，不仅要关注两类事物的相同点，而且要考虑它们的不同点。正如网球之于乒乓球有其独特之处，分式与分数虽数式通性，但分式由于其式的特性，常常用于建模，构成刻画现实世界的模型——方程，此处学生便需要借助整式方程的内容加以类比。

2.运用本质思维归纳式设计

在纷繁的学习内容中析出研究对象的本质是重要的数学能力，运用本质思维可以使简单的学习内容变得深刻起来。深刻意味着起始课的教学不仅仅是读懂了教材内容、掌握了内容结构，更重要的是将内容看穿、看透、一针见血、入木三分，抓住事物的本质以达到纲举目张的教育效果。那么，如何析出研究对象的本质？首先，将研究对象分类，即将研究对象纳入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的“子类”系统结构，从而进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系。其次，从特例出发，预见并获取研究对象的本质，并在“子类”系统中围绕本质研究内容。最后，从特殊到一般归纳获得整章的研究思路和内容（见图3）。

例如，一元二次方程解法的起始课。苏科版教材的解法教学介绍了直接开方法、配方法、公式法和因式分解法，从4种解法的内在一致性看，直接开方法和配方法同根同源，目标是将一元二次方程化为（2ax+b）2=b2-4ac的形式，求根公式则是开方后整理所得。统领这些方法的本质是什么？事实上，须运用平方差公式将x2=a（a≥0）变形为（x+）=0，（2ax+b）2=b2-4ac（b2-4ac≥0）变形为[（2ax+b）+]=0。也就是通过因式分解化一元二次方程为一元一次方程，即降次。这与因式分解法的解法本质逻辑连贯、前后一致，学生容易从整体上把握4种解法之间的内在联系。直接开方或配方都只是操作层面的技巧，目的是为了化二次为一次，“降次”才是解决问题的根本，也会为今后学习高次方程求解奠定基础。

在解一元二次方程之前，学生已经掌握了一元一次方程的解法。若考虑到二次式是由两个一次因式相乘所得，可以让学生构造形如（x+a）（x+b）=0的一元二次方程，这个方程的“式结构”表述的信息就是“若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零”的結论[1]。从而将一元二次方程（x+a）（x+b）=0转化成两个一元一次方程x+a=0，x+b=0来解，即达到降次的目的，并将这一本质作为解一元二次方程的思想基础。接下来，分别求解：（1）对于缺少常数项的一元二次方程x2+px=0，可以利用提公因式法，将方程转化为“两个一次因式积为零”的形式，从而求解。（2）对于缺少一次项的一元二次方程x2+q=0，可以利用平方差公式，将方程转化为“两个一次因式积为零”的形式，从而求解。（3）对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，如果x2+px+q恰好是完全平方式，则可以利用完全平方公式，将方程转化为“两个一次因式积为零”的形式，从而求出方程的解;如果x2+px+q不是完全平方式，则可先通过配方法，再利用平方差公式，将方程变形为“两个一次因式积为零”的形式，从而求出方程的解。（4）对于二次项系数不为1的一元二次方程ax2+bx+c=0，可先将二次项系数化为1，再通过配方法及平方差公式，将方程变形为“两个一次因式乘积为零”的形式，进而得到一元二次方程的求根公式（见图4）。

3.运用整体思维分解组合式设计

整体思维又称系统思维，即整体是由各个局部按照一定的秩序组织起来的，要求以整体和全面的视角把握研究对象。在观察、分析和处理研究对象时，应注重研究对象本身固有的完整性、统一性和关联性，以普遍联系的观点看待数学问题。那么，如何利用整体思维建构起始课呢？面对一些较为复杂的数学问题，不能一下子以整体的形式解决，首先需要对主题进行任务分解，将其转化为一个个“子任务”加以研究，其次围绕若干“子任务”设置相应的问题，之后通过对问题的解答完成相应任务，最后将所有“子任务”重新组合、整体关联，达成总任务，从而实现起始课的教学（见图5）。

例如，幂的运算起始课。根据数的运算的研究经验，可以知道幂的运算也应该存在“加、减、乘、除、乘方”运算，而苏科版教材“幂的运算”一章只介绍了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法。从整体上看，其缺少了幂的加法和幂的减法运算的研究，另外，幂的乘法和幂的除法运算中缺少对同底数幂乘法和除法学习必要性的阐释，让人感觉学习的发生非常的突兀。

基于整体思维的考量，起始课可以将幂的运算分解为幂的加法、幂的减法、幂的乘法、幂的除法和幂的乘方五种运算，通过“观察—思考—猜想—验证—证明”的思路逐一研究。（1）幂的加法的研究，初步感受“观察—思考—猜想—验证—证明”的研究思路。通过对式子am+bn运算结果的讨论，明确底数、指数不同的两个幂相加，只能先算幂，再求和。进而通过控制变量法研究式子am+an、am+bm及am+am运算结果，发现当幂的指数与底数均相同时，可以使用合并同类型法则加以计算。（2）幂的减法的研究。利用幂的加法的研究经验，可以将减法运算分为四种情况：am-bn、am-an、am-bm及am-am，前面三种只能先算幂再求差，而当幂的指数与底数均相同时可以利用合并同类型法则加以计算。（3）幂的乘法和乘方的研究，熟练掌握“观察——思考——猜想——验证——证明”的研究思路。利用幂的加法、减法的研究经验，可以将幂的乘法运算分为四种类型：am·bn、am·an、am·bm及am·am，其中am·bn只能先算幂，再求积。而式子am·an可以根据乘方的意义加以计算，得出“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的结论。式子am·bm是指数相同，底数不同，根据乘方的意义可以得到：am·bm=（ab）m，反过来得到（ab）m=am·bm。接着研究式子am·am，其底数相同，指数相同，通过乘方的意义和同底数幂的乘法法则都可得到am·am=（am）2=a2m，推广得到（am）n=amn，即获得了幂的乘方运算法则。（4）幂的除法的研究，自觉运用“观察—思考—猜想—验证—证明”的研究思路。幂的除法也能分成四种类型：am÷bn、am÷an、am÷bm及am÷am，学生有了前面一系列的研究经验，能够自主得出am÷bn只能先算幂，再求商。根据乘方的意义得出：am÷an=am-n，am÷bm=（）m，进而研究am÷am的情形。综合前面的研究，将“子任务”进行组合、删选，确定本章研究的重点是特定条件下的幂的运算及其相关法则，如同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方等内容，从而整体把握“幂的运算”整章内容。

4.运用常规思维演绎式设计

数学教学须“示以思维之道”，从而让学生学会思维，这就要求教学应示以学生普适性的研究方法，站在数学系统的角度有序思考，形成基本的研究套路，这既是数学学科本身的要求，也是学生思维发展的需要。那么，如何采取常规性的研究方法向学生示以思维之道呢？几何教材的呈现方式总是表现出一定的逻辑顺序，循着“定义—性质—特例—联系”的研究路径展开[2]，在研究平面几何问题时，应将逻辑性思考的过程建立成体系，并将此思维过程可视化，形成研究几何对象的普适性方法，用演绎的方式构建学习这一类型知识的体系（见图7）。

例如，三角形的章节起始课。借助前面“角”的研究，學生可以建立研究“三角形”的先行组织者，即按照“定义—性质—特例—联系”的研究路径展开，并且清楚几何图形的组成要素是点、线和角等，而组成要素之间的关系往往从元素间的位置关系入手[3]。在此基础上，循着几何研究的普适性方法，第一，经历定义三角形的完整过程。（1）定义。抽象出构成三角形的基本元素为线段，元素间的位置关系是三条线段“不在同一直线”及“首位顺次相接”，从而获得三角形的定义。（2）表示。为了方便表示及更好地表达三角形的本质，结合文字语言、图形语言，强调符号语言的使用。（3）分类。为了对三角形进行分门别类的研究，既可以按边的相等关系分类，也可以按内角的大小分类。第二，“得知图形有边有角，自然而然的就会想到，它们之间有没有什么关系，这就是性质研究。”性质的研究应当“回到定义”，从定义上看，三角形的三边的位置关系为首尾相接，显然不是任意三条线段都能首尾相接，因此有必要研究边之间的大小关系，即三角形的两边之和大于第三边。第三，学生可以展望三角形其他的性质，即三角形的角之间的关系、边角之间的关系，以及三角形的相关元素（外角、角平分线、中线和高线等）之间的关系，从而明白三角形的性质、概念是第一层次，要素的关系是第二层次，要素与相关要素的关系是第三层次。有了这些研究经验，进一步展望三角形特例（要素或要素关系的特殊化）以及联系，并且让学生知道它们也可以按照类似的逻辑演绎。

单元起始课教学是单元教学的重要环节，在其设计时，整体性的教学设计必须引领教学持续深入地推进，多样性的教学设计必须符合适切性的设计原则，也就是说单元起始课教学应根据实际的教学内容选择最合适的设计方法，逻辑连贯、持续深入地推进单元整体教学。单元起始课教学设计是基于单元的“学材再建构”，其不应停留在教学法的层面，更重要的是进行数学教学的创新处理，如运用结构思维类比式设计、运用本质思维归纳式设计、运用整体思维分解组合式设计和运用普适思维演绎式设计等，关注从数学教育到教育数学的转化，真正实现学科育人。从这个意义上来讲，教师须要理解学科知识，尊重学生的认知规律，树立育人意识，开拓数学单元起始课教学的更大研究空间。

参考文献

[1]卜以楼.从“表象价值”到“智慧价值”——对方程（组）教学价值的分析与思考[J].教育研究与评论，2014（03）.

[2] 邱冬，王光明.平面几何教学的新视角——“示以思维”——基于章建跃先生对“研究三角形”的过程分析[J].数学通报，2018（08）.

[3] 章建跃.研究三角形的数学思维方式[J].数学通报，2019（04）.

【责任编辑  郭振玲】