一、选择题(本题每小题5分,计60分)
1.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a、b的值分别等于( )
(A)3,-2 (B)3,2
(C)3,-3 (D)-1,4
2.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为( )
(A)(1,3) (B)(-1,3)
(C)(1,3)和(-1,3) (D)(1,-3)
3.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
4.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是( )
5.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-3)∪(6,+∞)
(C)(-3,6) (D)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(A)(1,2] (B)(4,+∞]
(C)[-∞,2) (D)(0,3]
8.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则该点满足的方程( )
(A)(x+1)2+y2=1
(B)(x-1)2+y2=1
(C)x2+(y-1)2=1
(D)x2+(y+1)2=1
(A)[-5,0) (B)(-5,0)
(C)[-3,0) (D)(-3,0)
10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
(A)-1 (B)-2e-3
(C)5e-3(D)1
11.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)5
12.已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表:
x-10234 f(x)12020
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.当1(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(本题每小题5分,计20分)
三、解答题(本大题共6小题,计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知曲线
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
18.(本小题满分10分)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
(1)求实数m的值;
(2)求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:ln 6=1.8)
20.(本小题满分10分)已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
21.(本小题满分14分)设a为实数,函数
f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,有
ex>x2-2ax+1.
22.(本小题满分14分)已知函数
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设m>0,求f(x)在区间[m,2m]上的最大值.
参考答案
一、选择题
1.A;2.C;3.D;4.C;5.B;6.A;
7.A;8.C;9.C;10.A;11.A;12.D.
二、填空题
16.(-∞,-1)∪(1,+∞).
三、解答题
17.(1)4x-y-4=0.(过程略)
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
令f′(x)=0,解得x=2或x=3.当03时,f′(x)>0;当2令f′(x)=0,得x=12.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x(4,12)12(12,22)f ′(x)+0-f(x)↗极大值↘
所以函数在x=12处取极大值也是最大值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时.
答:(1)实数m的值为12;(2)每天空气质量指数最高的时刻为12时.
当a≤0时,显然f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调增.
下面给出证明.
当a≥1时,a≥g(x)max=1,方程a=g(x)至多一解,不合题意;当a≤0时,方程a=g(x)至多一解,不合题意.
综上,所求a的取值范围点(0,1).
21.(1)f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,可得x=ln 2.
易见f(x)在(-∞,ln 2)单调减,在(ln 2,+∞)单调增.故f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2+2a.
(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a.由(1)知当a>ln 2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是有g′(x)>0,g(x)在R内单调增,从而g(x)>g(0)=0.
从而对任意x∈(0,+∞),ex-x2+2ax-1>0,即ex>x2-2ax+1.得证.