单向加劲矩形板面内振动特性分析

王 磊 安景峰 徐秀丽 周 叮 胡朝斌，*

（1.南京工业大学土木工程学院，南京211816；2.江苏省交通工程建设局，南京210004）

0 引 言

在土木、航空航天等工程中，矩形板是常见的构件。为提高板的承载力和稳定性，加劲板构件［1］被广泛使用，板的振动特性因加劲而发生变化。

在很多实际工程应用中，例如，在土木工程中，由于施工与安装不准确所带来的误差可能会引起加劲板结构产生面内振动，对结构的可靠性和安全性造成一定的影响。因此，面内振动对于加劲板结构的稳定性有着重要的作用。对加劲矩形板面内振动特性的研究，大多采用有限元数值计算或试验测试方法进行分析。裴然等［2］采用能量法研究了弹性约束边界条件下矩形板的面内振动特性。Shi等［3］研究了一般边界条件下环形板的面内振动特性，通过对边界条件特殊化处理，利用Rayleigh-Ritz法得到改进的面内振动傅里叶级数解。周叮［4］用传递矩阵法研究了折线形梁的面内振动特性。马牛静等［5］研究了四边简支加劲矩形板的面内振动特性。刘文光等［6］采用有限元方法研究了加劲薄板的自由振动特性。李守娟和徐伟［7］采用有限元法研究了附加集中质量加劲板的自由振动特性。Cho［7］用有限单元法及假定模态法研究了加劲板结构的固有模态。Sahoo［8］采用变分法研究了加劲板的非线性振动特性。Rao等［9］将加劲矩形板切分为加强筋和均厚度的矩形板，加强筋可以在板的任意位置，通过Lagrange方程求解加劲板的固有振动频率。Barrette等［10］采用重三角级数法研究了加劲板的自由振动特性。Fernandes和Neto［11］采用边界元法（BEM）法分析了由不同材料组成的加劲板的耦合拉伸-弯曲问题。Aksu［12］将有限差分法与变分原理相结合研究偏心加劲板的振动特性，分析了板和加强筋面内变形对加劲板横向振动特性的影响。杜菲等［13］采用Rayleigh-Ritz法求解四边固支加劲板的固有频率，计算结果与实验值的对比显示了很好的一致性。Gordo等［14］研究了单轴压缩载荷下加劲板的极限强度，分析了U型加劲形式对加劲板性能的影响。石楚千等［15］研究了不同筋条刚度下复材加劲板剪切稳定性。本文采用能量法在保证分析过程正确性的同时又简化了对加劲板面内振动的数值计算过程，为实际工程应用提供理论计算依据，为实验分析提供参照。

一般情况下板的平面尺寸比厚度要大很多，因此可以使用平面应力理论对其进行面内振动分析；加强筋的长度比其高度与宽度均大得多，因此可以用欧拉梁理论对其进行面内振动分析。本文将典型边界条件下的单向加劲矩形板切分为矩形板和加强筋两个部分，利用第一类Chebyshev多项式构造矩形板的位移试函数，由Chebyshev-Ritz［16］法得到加劲矩形板的面内振动特征方程。

1 面内振动方程

图1为一单向加劲矩形板，矩形板下表面支承有P根等距分布的加强筋。其中矩形板的长宽分别为a、b，厚度为h；加强筋的长度为a，高度和宽度分别为h0和b0。建立如图所示的坐标系，加劲板中任一点沿x、y方向的位移分别为u、v。现将加劲板沿交界面切分为矩形板和加强筋，分别进行分析。

图1 加劲矩形板模型Fig.1 Analytical model of stiffened rectangular plate

1.1 矩形板的面内振动方程

与横向弯曲不同，矩形板的面内变形涉及x和y两个方向上的位移，因此矩形板面内振动的形变势能与动能为

式中：εx、εy分别表示沿x和y轴方向的正应变；γxy为切应变；σx、σy分别表示沿x和y轴方向的正应力；τxy为切应力；ρ为矩形板的密度。

根据平面应力理论，矩形板面内应变和面内应力可分别用位移表示为

式中：E为矩形板的杨氏模量；μ为矩形板的泊松比。

矩形板在x、y方向面内振动的位移函数分量可表示为

为了数学表述的方便，引入如下的无量纲坐标：

将式（3）-式（8）代入式（1）和式（2），可分别得矩形板的形变势能与动能为

其中，λ=a∕b为板的长宽比。

用第一类切比雪夫多项式分别构造矩形板在x和y方向上的位移试函数为

式中，φu（ξ）、φv（ξ）和fu（η）、fv（η）分别为x和y方向的边界函数分量，以保证式（11）满足一定的几何边界条件，如表1所示，PS（x）是一维s阶第一类切比雪夫多项式，用余弦形式表示为

Ps(x)=cos[(s-1)arccos(x)]，(s=1，2，3，…)（12）

表1 不同边界条件下的边界函数分量Table 1 Boundary characteristic function components for different boundary conditions

1.2 加强筋的面内振动方程

由于加强筋的长度比其截面尺寸大得多，因此可用欧拉梁理论对其进行面内振动分析。不失一般性，考虑第k条加强筋，设其在板上的位置为y=yk。由于加强筋与矩形板交界面上满足位移连续，因此，加强筋分别考虑加强筋沿x方向上的轴向变形以及沿y方向的弯曲变形，则其形变势能与动能为

式中：uk和vk为第k条加强筋在x和y方向上的位移；A为加强筋的截面面积；EI为加强筋对其中性面的弯曲刚度。

考虑到板和加强筋在连接处的位移连续条件，有

式中，Uk和Vk分别为第k条加强筋在x和y方向上的位移试函数；ηk=2yk∕b为第k条加强筋在板上的无量纲位置。

将式（11）代入式（10）得加强筋的形变势能与动能为

1.3 加劲板的面内振动方程

根据以上分析，单向加劲矩形板面内振动的势能与动能分别为

定义能量泛函为

由Rayleigh-Ritz法得：

将式（9）-式（17）代入式（18），可得加劲板面内自由振动的频率方程为

｛A｝、｛B｝为未知系数的列向量，其表达式为

式中，

这里，

通过求解特征方程式（20），可以得到加劲矩形板面内振动任意阶次无量纲特征频率和相应的特征模态系数。若不考虑式（16）和式（17）中加强筋的作用，则可以得到矩形板面内振动任意阶次无量纲特征频率和相应的特征模态系数。

2 收敛性分析和比较研究

考察一对边固定另两对边自由、含一根加强筋的加劲方板。方板和加强筋由同种材料组成，其弹性模量 E=40 GPa，密度 ρ=2 000 kg∕m3，泊松比μ=0.3。方板的边长分别为a=b=5 m，板厚h=0.1 m。加强筋位于y=0处，其截面尺寸分别取b0×h0=0.1 m×0.2 m、0.1 m×0.4 m、0.2 m×0.4 m。表2给出了加劲方板面内自由振动前六阶无量纲频率。表2可以看出本文方法具有快速收敛的特性，在截断级数项取到20×20时，可保证前三位有效数字相同，故在随后的计算中级数项全部取为20×20。

一般而言，一些数值方法如有限单元法可以用来计算本文问题。但是有限元方法作为一种数值方法，其精度还有待验证。表3给出本文解与有限元解的比较。有限元模拟使用ANSYS软件，方板采用壳单元SHEEL181，加强筋采用梁单元BEAM188。从表3可以看出，前六阶无量纲频率的有限元解与本文理论解吻合很好，其最大误差只有1.517%，验证了有限元方法的精度。

在本文方法中，获得振动频率后，将方程式（20）求解得到的特征模态系数代入到位移方程式（11）中，得到加劲板各点的位移量，进而可以获得各阶次振动频率下的模态图。图2是边界条件为两对边固定另两对边自由（CFCF）的单向加劲方板面内振动的前四阶模态图。

图2 两对边固定另两对边自由（CFCF）单向加劲方板的前四阶模态图Fig.2 The first four modes of square plate with CFCF boundary conditions and a stiffener

表2 对边固定另两边自由加劲板面内自由振动前六阶频率参数的收敛性Table 2 Convergence of first six frequency parameters for stiffened plate with CFCFboundary conditions

表3 本文解与有限元结果的比较Table 3 Comparisons of present solutions and FE results

3 参数分析

现研究加强筋宽度与板宽比值（b0/b）和加强筋位置对频率的影响。设加强筋的宽高比b0∕h0=1。图 3为加强筋在不同位置下（η=0、0.2、0.4、0.6、0.8），b0/b的变化对前四阶无量纲固有频率的影响。

从图3中看到，随着加强筋宽度与板宽比值的增大，无量纲固有频率逐渐减小。加强筋越靠近边缘，固有频率越低，且加强筋位置的影响随频率阶数的增加而显著增大。

4 结 论

本文研究了典型边界条件下单向加劲矩形板的面内振动特性。将加劲板沿交界面切分为矩形板、加强筋两部分，分别建立其面内振动能量方程，根据二者在交界面上的位移连续性条件，得到整个加劲板面内振动的任意阶固有频率。最后以对边固定另两边自由的加劲方板为例进行参数分析。本文的主要结论为：

（1）使用第一类Chebyshev多项式构造任意边界条件下加劲板的位移试函数优势明显，数值结果证明了本方法的收敛性，与有限元软件的对比证明了本方法的精确性。

（2）将加劲板分为矩形薄板与加强筋，采用平面应力理论和欧拉梁理论分别对其进行面内振动分析，模型科学合理，减小了因建模不准确带来的误差。

图3 不同位置下加强筋的宽度与板宽之比对前四阶无量纲频率的影响Fig.3 Effects of stiffener-width-to-plate-width ratio on the first four non-dimensional frequencies of plate stiffened at different positions

（3）加强筋在板下的位置和加强筋宽度与板宽的比值对加劲板的面内振动特性有明显影响，为后续实际工程中加强筋尺寸和位置优化设计的研究奠定良好基础。