以全国卷为例探究高考题中的数学抽象核心素养

■王瑞丁

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》提出数学学科的六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。而数学抽象核心素养是六大核心素养之首，它既是数学的基本思想，也是形成理性思维的重要基础，它反映了数学的本质特征并贯穿于数学的产生、发展与应用的整个过程中。要求学生能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题。下面笔者以两道高考题为例具体探究高考数学题中的数学抽象核心素养。

例1(2017年全国Ⅲ卷理科数学第12题)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若，则λ+μ的最大值为( )。

图1

解析：由题意，画出图1。设BD与☉C切于点E，连接CE。以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)。因为|CD|=1，|BC|=2，所以。因为BD切☉C于点E，所以CE⊥BD，所以CE是Rt△BCD中斜边BD上的高。所以，即☉C的半径为。因为P在☉C上，所以P点的轨迹方程为。

接下来求解λ+μ的最大值，采用两种方法进行解答。

方法一：设P点坐标为(x0，y0)，由题易知，结合题意可知(x0，y0)=(0，λ)+(2μ，0)=(2μ，λ)，则，令，则x0+2y0-2z=0。因为点P在圆(x-2)2+上，则圆心到直线的距离d小于等于圆的半径r，即，解得1≤z≤3，则zmax=3。

方法二：设P点坐标为(x0，y0)，P点坐标满足的参数方程为而。因为(2μ，λ)，所以。两式相加得λ+μ=1+。当且仅当时，λ+μ取得最大值3。

小结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量形式，再通过向量的运算来解决。在求解最值问题时，可以先转化为线性规划求最值或者转化为参数方程，然后构造函数求最值。

例2(2016年全国Ⅰ卷理科数学第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(1)求a的取值范围。

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2＜2。

解析：(1)a的取值范围为a＞0(解题过程略)。

(2)由(1)知，若x1，x2是f(x)的两个零点，则a＞0。不妨令x1＜x2，则x1＜1＜x2。要证x1+x2＜2，只要证x1＜2-x2。因为x2＞1，所以2-x2＜1，当a＞0 时，f(x)在(-∞，1)上递减，且f(x1)=0，f(1)＜0，所以只要证f(2-x2)＜0。f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2，又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。令y=-xe2-x-(x-2)ex(x＞1)，y′=-e2-x+xe2-x-ex-，因为x＞1，所以x-1＞0，e2＜e2x，所以y′＜0。所以y=-xe2-x-(x-2)ex在(1，+∞)上递减，当x=1 时，y=0。因为x＞1，y＜0，即f(2-x2)＜0成立，所以x1+x2＜2成立。

小结：对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则是不缺、不漏、最简。解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解。这里构造函数来解决问题，突出了对数学抽象核心素养的考查。