老师搭台 学生唱戏——例谈高中数学课堂中学生创造性思维的培养

■王兰灵

一、创造性思维及创造性思维培养的必要性

创造性思维指打破常规、具有创意、带有创新的思维。具有创造性思维的学生，观察力强，思维敏捷，逻辑缜密，能够更快速地认清问题的本质。他们能够更便捷地解决问题，甚至能对问题产生具有影响力的见解，进而丰富自身的数学思维，提升数学素养。高中阶段是学生思维和思想形成的黄金时期，创造性思维的培养在此阶段显得尤为必要。

二、例谈学生创造性思维的培养

学生的创造性思维，只能培养，不能灌输。基于这个理念，笔者尝试搭建了培养学生创造性思维的平台。在课前，布置适量的有利于培养学生创造性思维的习题，给他们足够的探究时间，鼓励学生独立思考，思考之后再互相交流。在课堂上，营造轻松和谐的氛围，鼓励大家对课堂的问题提出自己的见解，或者推荐优秀的解法。当解法巧妙时，就以学生的名字命名该解法。在课后，把学生的优秀解法记录下来，积累到一定程度后，形成论文，论文发表之后与学生一起分享其创造性的成果。将课前、课堂和课后三个环节综合起来，就形成了“老师搭台，学生唱戏”的创造性思维培养局面。现选取2020届高三12班(理科普通班)李乐恒、刘沛杰、戴志锴三位同学的三个案例跟大家一起分享。

案例一：“乐恒法”妙解“非线性”的线性规划题

例1已知变量x、y满足则目标函数的值域为_____。

图1

评注：该解法符合大部分学生的思维。根据目标式子的特点，联想到了向量的夹角公式，通过恒等变形，把目标式子转化成了2cos，最终根据夹角的范围求出结果。

解法2：乐恒法(极坐标法)。将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入中，得z=，根据图1中可行域的位置，得，又因为cosθ和-sinθ在上都是单调递减的，所以代入端点值可快速求得结果。

评注：李乐恒同学的解法有两点被全班称赞。第一是他想到了极坐标，瞬间就把目标式子化简，变得简洁且熟悉；第二是他直接判断出了的单调性，而不是继续利用辅助角公式进行复杂化处理。这个解法非常新颖漂亮，很多经验丰富的老师都未必能想到这个处理方法。

案例二：“沛杰法”挑战函数法

例2已知函数f(x)=ex-1，g(x)=。若f(a)=g(b)成立，则b-a的最小值为_____。

解法1：常规解法(函数法)。令f(a)=g(b)=m，显然m＞0。由得所以。记，，所以φ′(m)在(0，+∞)上单调递增。又，所以φ(m)在上单调递减，在上单调递增，即φ(m)的最小值为。

评注：函数法是大多数学生采用的方法，思路清晰，只要掌握了用导数研究函数单调性的技能，就能比较顺利地完成。

解法2：沛杰法(双等值法)。由得即为所求的最小值。

图2

图3

评注：该方法由刘沛杰同学提出，答案是正确的，但是课堂上他没有完全说清楚这种解法的理由。受沛杰同学的启发，经过课后的研究发现，这种双等值法(函数值和导数值均相等)是有根据的。如图2所示，两条“背靠背”的曲线相切时，它们有唯一的公切点P，也有唯一的公切线。当它们水平分开到某个值时，如图3所示，两条曲线水平距离的最小值是|P1P2|，其中P1和P2都是由公切点P水平移动衍生出来的。两条曲线在P1和P2处的切线与它们水平分开前的公切线平行。在本例中，因为f″(x)=ex-1＞0，，所以f(x)的图像开口向上，g(x)的图像开口向下，两条曲线属于“背靠背”型，故沛杰同学的解法是正确的，而且解法简便，值得推广。

案例三：“志锴法”秒杀构造商函数法

例3已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)恒为正数，f(x)满足f(x)＜f′(x)＜2f(x)，则f(1)∶f(2)的取值范围是____。

解法1：常规解法(构造商函数)。由f(x)＜f′(x)＜2f(x)得f′(x)-f(x)＞0，f′(x)-2f(x)＜0。令，所以h′(x)＞0，φ′(x)＜0，得在(0，+∞)上h(x)单调递增，φ(x)单调递减。。

评注：该解法是根据f(x)＜f′(x)＜2f(x)而构造出和φ(x)=两个函数，利用这两个函数的单调性得出进而求得的范围。

解法2：志锴法(构造指数型函数)。根据f(x)＜f′(x)＜2f(x)，设f(x)=enx，得f′(x)=nenx，代入f(x)＜f′(x)＜2f(x)中，得enx＜nenx＜2enx，化简得1＜n＜2，，因此。

评注：戴志锴同学的方法计算量小，方便快捷。戴志锴同学还说“看到了f(x)＜f′(x)＜2f(x)这个条件后，发现了导函数和原函数级别一样(可以比较)，想到了函数y=ex，经过思考、修正之后，就发现了y=enx这个函数能够解决这类问题”。