深挖细究 避免再错

■李建波 冯跃辉

作者单位：北京师范大学(珠海)附属高级中学

在一类待定系数法求取值范围的题目中，运用不等式“同向可加性”很容易产生一种错误的解法，而错解中的逻辑错误隐藏得很深，难以被发现。下面用例题来分析深含其中的逻辑错误。

例题如果1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求a+2b的取值范围。

错解：因为所以0≤2a≤8，所以0 ≤a≤4 ①。又因为所以-2≤2b≤6 ②。综上，因为所以-2≤a+2b≤10 ③。这是同学们经常犯的错误分析过程。过程①是利用不等式“同向可加性”和“可乘性”，过程②同理使用“同向可加性”“可乘性”，过程③是利用“同向可加性”。每一步推理都运用不等式的基本性质作依据，也就是说推理过程没有问题，并且计算过程也没有问题，那为什么这是一种错误解法呢?我们先看看正确解答。

正解：设a+2b=u(a+b)+v(a-b)，则解得故a+2b=。因为所以④。所以0 ≤，即0≤a+2b≤8 ⑤。正解过程④利用不等式“可乘性”，过程⑤利用“同向可加性”。

错解、正解两种计算结果无非都是利用“同向可加性”和“可乘性”，那为什么会有不同的结果呢?若令集合P正解={x|0≤x≤8}，P错解={x|-2≤x≤10}，用同一数轴表示这两个集合，如图1所示。由图1 可知，错误解法求得的范围扩大了，用逻辑与集合的关系可以表示为P正解⊆P错解，即P正解⇒P错解。对此，仔细思考可以发现错解中存在一种很隐蔽的逻辑错误——不等式“同向可加性”是一种“单向”推理过程，即a＞b且c＞d⇒a+c＞b+d，反过来推导是错误的。不妨举例说明，当a=10，c=1，b=3，d=2时，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b且c＞d。

图1

把正解、错解过程中的一些技术性工作忽略掉，利用不等式“可乘性”的“双向”推理与“同向可加性”的“单向”推理的逻辑思想，重新梳理下两种解答过程中的逻辑核心部分，如下：

正解：因为①⇔②⇒0≤a+2b≤8 ③。

错解：因为④，⇒⑤⇒0≤a+2b≤8 ⑥。

正解中，不等式组①利用“可乘性”得到不等组②，属于“双向推导”，即两个不等式组①和②是等价关系。因此不等式组②利用“同向可加性”等价于不等式组①利用“同向可加性”得到不等式③。而错解中，不等式组④利用“同向可加性性”得到不等式组⑤，属于单向推导，也就是说不等式组④与不等式组⑤是不等价的；而不等式组⑤再次利用“同向可加性”得到不等式组⑥，犯了逻辑上的错误。