基于数学核心素养的单元教学研究实践探索

张紫茵

【摘  要】数学单元教学是在整体思维指导下，对单元整体内容进行重组和优化，从而形成相对独立、动态的教学设计。本文以《三角函数公式的认知与应用》为例，对数学单元教学进行分析。

【关键词】高中数学;单元教学;三角函数

数学单元教学设计，就是在整体思维指导下，旨在提升学生的数学学科核心素养，通过教学团队的合作，统筹重组和优化相关教学内容，再将优化后的教学内容作为一个相对独立的教学单元，这样做的目的是突出数学教学内容的主线以及知识间的联系性。数学单元教学设计是对教学单元整体进行循环改进的动态教学设计。单元教学的关键环节：一是确定单元内容、二是分析教学要素、三是设计教学流程、四是分析教学资源、五是评价反思与修改。下面，我以人教A版高中数学必修第一册《三角函数公式的认知与应用》为例，进行单元教学研究。

一、确定单元内容

本单元教学内容及课时安排如下：单元分讲一：三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式，共4课时。单元分讲二：两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，共3课时。单元分讲三：简单的三角恒等变换，共3课时。

二、分析教学要素

（一）数学分析

本单元的数学要点有以下几点：1.在直角坐标系中研究角的意义、通过公式的推导、了解公式的来源，掌握它们之间内在联系和转化的规律。2.在推导过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法，掌握变量替换、构造法等思想方法，以及用已知解决未知问题的化归数学思想。3.正确、熟练、灵活地运用公式进行求值、化简、证明。

（二）分析教学要素——课标分析

1.三角函数的概念：借助单位圆理解任意角三角函数的定义，推导出诱导公式。2.同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式。3.三角恒等变换。（1）经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。（2）能从两角差余弦公式推导出两角和与差的三角公式，二倍角公式，了解内在联系。（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换。

（三）分析教学要素——学情分析

具备：本单元学习认知基础是前面建立的函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的研究经验。另外还有圆的有关知识。

欠缺：在三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化因素较多，是“[α]”与“ [x]，[y]直接对应”，与学生已有经验距离较大，学生从联系观点看问题的经验不足。

（四）分析教学要素——重难点分析

教学重点分析：1.任意角三角函数的定义，同角三角函数关系。2.利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明。3.利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式，两角和与差的三角函数的其他公式与其内在联系。

教学难点分析：1.三角函数的定义方式的理解。2.发现圆的对称性与三角函数的联系。3.發现圆的旋转对称性与两角和（差）余弦公式的联系，认识三角恒等变换的特点。

（五）分析教学要素——教材分析

与按照《标准（2003年版）》编写教科书相比，该单元内容有如下一些变化：1.三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系，删除三角函数线;2.诱导公式：通过把圆的对称性“代数化“，获得诱导公式;3.三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作用，利用圆的对称性导出两角差的余弦公式。

三、设计教学流程

下面以《三角函数的概念》为例，进行教学流程设计。

（一）创设情境，引出主题

问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为[h]0 ，它的直径为2[r]，逆时针做匀速转动，转动一周需要360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点[A]出发，求相对于地面的高度[h]与时间[t]的函数解析式。

问题1：这种运动如何通过数学模型来刻画？如果我们先从特殊情形入手。例如，过了20s后，此时人距离地面的高度是多少？

问题2：你能试着阐释这个数学式子吗？

问题3：随着摩天轮的转动，从锐角推广到了任意角。如何定义任意角[α]？

设计意图：通过实际问题引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点，为给出三角函数的定义做好准备。

（二）概念生成、理解定义

问题：当点[P]在圆周上运动时，[∠POA]随之变化，任一个[∠POA]，对应着唯一点[P]，进而有唯一[MP]，得到：[sint±MPr]。能否用一个量去代[±MP]，使上述表示形式更简单？

设计意图：引导学生将坐标系引入到任意角三角函数的定义中。

以单位圆的圆心[O]为原点，以射线[OA]为[x]轴的非负半轴，建立直角坐标系，点[A]的坐标为（1，0），点[P]的坐标为（[x]，[y]）。射线[OA]从[x]轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角[α]，终边位置为[OP]。

（1）当[α]=[π6]或[π2]或[2π3]时，点[P]的坐标是什么？

（2）利用信息技术，任意画一个角[α]，观察终边[OP]与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？

设计意图：通过实例，由特殊到一般，使学生理解三角函数的对应关系。

问题（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系分别是什么？问题（2）符号sinα，cosα，tanα分别表示什么？以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？问题（3）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？

设计意图：在“问题串”引导下，使学生明确三角函数的“三要素”，引导学生理解三角函数符号的意义。

问题：初中我们学习锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。设x∈（0，[π2]），把按锐角三角函数定义求得的锐角[x]的正弦记为[z]1，并把按本节三角函数定义求得的[x]的正弦记为[y]1。[z]1和[y]1相等吗？对于余弦和正切也有相同的结论吗？

设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，让学生体会两个定义的和谐性。

（三）概念运用，典例示范

例1.利用三角函数的定义求[5π3]的正弦、余弦和正切值。

设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤。

例2，设[α]是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y）。点P与原点的距离为r。求证：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

追问：例2给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已知定义是等价的。你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？

设计意图：加强学生对三角函数定义的理解。

（四）及时反馈，目标检测

已知角θ的终边过点P（-12，5），求角θ的三角函数值。

设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情況。

（五）小结提升，布置作业

作业：完成本节学案。

小结：让学生回味本节课生成知识和应用的方法，积累数学知识和活动经验。

四、分析教学资源

教师在本单元教学活动的实施过程中运用了GGB软件。利用信息技术建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联，加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）变化而变化的直观感受。

五、结语

单元教学评价标准有三点：一、全面了解学生单元数学学习的历程和成效;二、发现和发展学生的数学潜能、激励学生的数学学习;三、对数学学习的“知识与技能”“过程与方法”“情感、态度与价值观”进行全面评价。全面评价学生在本单元数学学习中的学习态度、知识和技能掌握、数学学科核心素养的发展等情况。单元教学设计应以立德树人为根本任务，站在数学课程标准和数学学科核心素养的培育高度下，以培养学生四基，提升四能为根本目的，做到把握数学本质，优化课堂结构。

参考文献：

[1]张静.核心素养下的高中数学课堂教学[J].数学大世界（下旬），2019（6）.

（责任编辑  范娱艳）