函数零点问题考查方式及处理策略

陈永志

零点是函数的重要性质,也是高考常考视角．在高考命题中既有客观题也有解答题,解答题主要是与导数的应用进行综合．本文对常考视角及解题策略进行归纳总结,并举例说明,供同学们复习时参考．

1 判断函数零点的个数

对于基础题型,可利用函数的零点的个数，即函数图象与x轴交点的个数来判断,或者将所给函数分离为两个基本函数,利用两函数图象交点个数来判断．对于二次函数可利用判别式法来判断．对于较复杂的问题,可利用导数法判断函数单调区间，求极值、最值,结合零点的存在定理来判断．

(1)判断f(x)的奇偶性并证明;

(2)求M={x|f(x)=0}中元素的个数．

(2)求集合M中元素的个数,即为判断函数f(x)零点的个数．因为函数中含有参数,故对参数的可能取值进行分类讨论．

又因为f(x)是偶函数,所以集合M中有2个元素．

2 求函数的零点

高考对此类问题的考查,主要体现在函数与导数综合的问题中,即求导函数的零点．常规题型可通过因式分解法解方程来求解;对于超越方程可利用赋值法得出零点,再利用零点的存在定理判断零点的唯一性．

(1)求y=f(x)的图象在点(π,f(π))处的切线方程;

(2)令h(x)=g(x)-af(x),其中a∈R,求h(x)的单调性及极值．

(2)由已知可得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),求导得

h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+
ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=
2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx)．

设t(x)=x-sinx,则t′(x)=1-cosx≥0,故t(x)在(-∞,+∞)上单调递增.又t(0)=0,故x>0时,x-sinx>0;x<0时,x-sinx<0．

函数y=ex-a的零点问题,可针对a的不同取值进行讨论．

当a>0时,由ex-a=0,得x=lna．

若00,h(x)单调递增;在区间(lna,0)内,h′(x)<0,h(x)单调递减,所以h极大值(x)=h(lna),h极小值(x)=h(0)．

若a=1,则lna=0,在(-∞,+∞)内,h′(x)≥0,h(x)单调递增,无极值．

若a>1,则lna>0,在区间(-∞,0),(lna,+∞)内,h′(x)>0,h(x)单调递增;在区间(0,lna)内,h′(x)<0,h(x)单调递减,所以h极大值(x)=h(0),h极小值(x)=h(lna)．

3 判断零点存在的区间

利用二分法判断,即若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点,若进一步可判断f(x)在(a,b)内单调,可得零点的唯一性．对于零点范围未给出的问题,可结合函数特征,选取特殊点进行验证．

A. (-1,-log32) B. (0, log32)

C. (log32, 1) D.(1, log34)

4 给出零点个数求参数范围

此类问题常采用参数分离后利用数形结合法求解或分离参数后转化为求函数的值域进行判断．

A. [-1, 0) B. [0,+∞)

C. [-1,+∞) D. [1,+∞)

图1

综上,在函数性质的复习中,同学们要善于梳理高考常考题型,归纳总结常用解题策略,方能以不变应万变．