范畴中的拟-morphic对象

陆二伟，储茂权，姜翠翠

(1.安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241003；2.定远县第三中学，安徽 定远 233200）

2005年，Nicholson等在模范畴中引入了模。2006年，颜晓光等给出G-morphic模的定义[1]。2009年，邢宝国等提出了拟-morphic模的概念[2]。2012年，时芳芳等给出拟G-morphic模的定义[3]。2013年，Calugareanu等结合范畴及morphic模的概念给出了范畴中morphic对象的定义[4]，研究morphic对象在范畴中的一些性质，并考虑了单位正则元，正则元与morphic元间的联系。

1 预备知识

文中出现的环均是有单位元的结合环，环上的模均指酉模，未定义的符号可参见文[5]。

定义1[5]设有零对象范畴C中对一切A,B∈ObC，HomC(A,B)∈ObAG(对加法)且态射合成与加法满足分配律，即在可合成与可加情况下，有则称C为预加法范畴。

定义2[5]设C为预加法范畴，若C的任何有限个对象A1,A2,…,An都有直和，则称C为加法范畴。

定义3[5]设C为加法范畴，若C又满足下述各条件：

(1)C中任何态射都有核和上核；

(2)C中任何单态射都是其上核的核，任何满态射都是其核的上核；

(3)C中任何态射σ都可分解成一个单态射η和一个满态射π之积:σ=ηπ，此式称为σ的标准分解式，则称C为一个Abelian范畴。

Abelian范畴⇒加法范畴⇒预加法范畴⇒带零范畴。左R-模范畴RM和Abelian群范畴AG均是Abelian范畴。

定义4[6]称带零范畴C是p-exact的，若C中每个态射可以分解为正规的单态射和上正规的满态射之积。

定义5[6]称范畴中的单态射f是正规的，若f是某个态射的核。

定义6[6]称范畴中的满态射g是上正规的，若g是某个态射的上核。

Abelian范畴是p-exact范畴，但反之不一定成立。在p-exact范畴中，核和上核存在，每个单态射均是正规的且每个满态射均是上正规的。单态射沿任意态射可以拉回，满态射沿任意态射可以推出。但是积、和、一般的拉回及推出不一定存在。众所周知，p-exact范畴是Abelian的当且仅当存在有限和。左R-模范畴RM和AG是Abelian范畴，当然也是p-exact的。但群范畴G和环范畴Ring均不是p-exact的(见文[7])。

定义7[8]设M是范畴C中一簇单态射，A,B∈ObC，如果存在M中的一个态射f:A→B，则称(A,f)为对象B的M子对象。若M是C中的全体单态射，则简称(A,f)为对象的子对象。

在群范畴、Abelian群范畴和左R-模范畴RM中，子对象分别对应于子群、子Abelian群和子R-模。

2 p-exact范畴中的拟-morphic对象

设A是有核和像的范畴C中的对象，称A的自态射α是morphic的，若存在β∈EndC(A)，使得下面序列正合

称对象A是morphic，若对任意的α∈EndC(A)，α是morphic的。结合拟-morphic模的定义(称左R-模M是拟 -morphic的[9]，若对任意的α∈EndR(M))，存在β,γ∈EndR(M) ，使得Mα=Ker(β)和 Ker(α)=M(γ)，可以定义有核和像范畴C中-morphic的拟对象。

定义8设A是有核和像的范畴C中的对象，称A的自态射α是拟-morphic的，若存在β,γ∈EndC(A)，使得下面序列正合

称对象A是拟-morphic的，若对任意的α∈EndC(A)，α是拟-morphic的。

A的自态射α是拟-morphic的当且仅当存在α,β∈End(A) ，使得Imα=Ker(β) 且 Ker(α)=Imγ。显然，若α是-morphic的，则α是拟-morphic的(由正合，可得正合)，反之不一定(见[10]的命题5)。

例1(1)设R是有单位元的环，左R-模范畴RM中的拟-morphic对象即拟-morphic模(见文[11])。

(2)由morphic Abelian群是拟-morphic的，故在Abelian群范畴AG中，拟-morphic对象包括morphic Abelian群，关于morphic Abelian群的更多性质见文[12]。

注：(1)每个自同构σ:A→A是拟-morphic的(取β=λ=0)，事实上，恒等态射和零态射是拟-morphic的，故零对象是拟-morphic的。

(2)拟-morphic对象的子对象不一定是拟-morphic的。例如Z-模zQ是拟-morphic的，但子模zZ不是拟-morphic的。

(3)拟[-morphic]对象的商不一定是拟-morphic的。例如，平凡扩张R=Z∝Q/Z是拟-morphic的，但R/J(R)≅Z不是拟-morphic的(见文[13])。

(4)拟-morphic自态射的合成与和不一定是拟-morphic的。例如，左Z-模范畴ZM中对象M=Z⊕Z12，自态射α,β分别为:α((x,y))=(3x,y)，β((x,y))=(6x,y)。易证，α,β均是拟 -morphic的，但αβ和α+β均不是拟-morphic的(见文[14])。

下面给出在p-exact范畴中，拟-morphic自态射的一些性质。

引理1设A是p-exact范畴C中的对象，α∈EndC(A)，则下列命题等价：

(1)α是拟-morphic的；

(2)A/Imα可嵌入到A中，且 Ker(α)是A的像。

证明(1)⇒(2)设α是拟-morphic的，则存在β,γ∈EndC(A)使得下面序列正合

故 Imα=Ker(β)，Ker(α)=Imγ。显然，Ker(α)是A的像。由 Imα=Ker(β)，知A/Imα=A/Ker(β)≅Imβ⊆A。从而A/Imα可嵌入到A中。

(2)⇒(1)由于A/Imα可嵌入到A中，则定义单态射σ:A/Imα→A，态射β:A→A;a→σ((a+Imα))，∀a∈A，则 Imα=Ker(β)。由 Ker(α)是A的 像 ，不 妨 设 Ker(α)=Imγ，其中γ∈EndC(A)，故α是拟-morphic的。

定理1设A是有核和像的范畴C中的对象，α∈EndC(A)是拟-morphic的，若σ:A→A是自同构，则ασ和σα均是拟-morphic的。

证明α∈EndC(A)是拟-morphic的，

则 存在β,γ∈EndC(A)，使得 Imα=Ker(β)，且Ker(α)=Imγ。

由于σ:A→A是自同构有A/Im(ασ)≅A/Imα=A/Ker(β) ≅ Imβ≅A，且 Ker(ασ)=Ker(α)=Imγ是A的像。利用引理1知，ασ是拟-morphic的。类似可证σα是拟-morphic的。

称自态射α:A→A是单位正则的［4］，若存在的自同构σ使得α=ασα。等价地，称自态射α:A→A是单位正则的，若α=πσ，其中π2=π，σ是自同构。事实上，单位正则的自态射是拟-morphic的。

定理2设A是有核和像的范畴C中的对象，α,β∈EndC(A)是拟 -morphic的，若α满，β单，则βα是拟-morphic的。

证明由于α,β∈EndC(A)是拟-morphic的，则 存 在λ,ρ∈EndC(A) 使 得 Ker(α)=Imγ,Imβ=Ker(ρ)。又因为若α满，β单，故 Ker(βα)=Ker(α)=Imγ且 Im(βα)=Imβ=Ker(ρ) 。 从而βα是 拟-morphic的。

首先在ρ-exact范畴中，对于短正合列通常在同构意义下，把C记 为B/A。 因 此 ，对 于，若是(上)像的单满分解，则正合，根据第一同构定理有，A/Ker(α)≅Imα。其次，对于p-exact范畴中的态射f:A→B，有f单当且仅当Ker(f)=0；f满当且仅当Imf=B(见文[4])

推论1设A是p-exact范畴C中的对象，α∈EndC(A)且α是拟-morphic的，即存在A的自态射β和γ，使正合。则(1)α单⇔γ为零态射；(2)α满⇔β为零态射。

证明由于正合，则αγ=0 ，βα=0 ，Imα=Ker(β)且 Ker(α)=Imγ。

(1)设α单，由αγ=0=α0，利用α左可消得γ=0 。反之，设γ为零态射，则Ker(α)=Imγ=0 ，故α单。

(2)设α满，则α=1Aα是α的单满分解。故Ker(β)=A，即β为零态射。反之，设β为零态射，则Imα=Ker(β)，故α满。

下面利用子对象给出拟-morphic对象的一些等价刻画。

命题1设A是p-exact范畴C中的对象，则下列命题等价:

(1)A是拟-morphic的；

(2)若A/K≅N，其中K和N为A的子对象，则存在A的子对象T和H，使得A/T≅K和A/N≅H。

证明(1)⇒(2)设(K,μ)为拟-morphic对象A的子对象，记A/K=(CoKer(μ),ρ)(在同构的意义下)，即有短正合列

若(N,υ)是A的另一个子对象，则有相应的短正合列

显然，此式α=vρp为α的单-满分解。则Ker(α)=K，Imα=N。由A是拟 -morphic的，对于A的自态射α，存在β,γ∈EndC(A)且，使得Ker(β)=Imα=N，且 Imγ=Ker(α)=K，对β,γ利用第一同构定理得A/Ker(β)≅Imβ，A/Ker(γ)≅Imγ=K。记T=Ker(γ),H=Imβ。

(2)⇒(1)对于任意的α∈EndC(A)，有A/Ker(α)≅Imα。由假设知，存在A的子对象(T,f)和 (H,g)使得A/T≅Ker(α)和A/Imα≅H。同上，则有短正合列

考虑

则 Ker(β)=Imα,Imγ=Ker(α) 。 因此α是拟-morphic的。由的任意性知，A是拟-morphic的。

定理3设A是p-exact范畴C中的拟-morphic对象，则下列命题等价：

(1)A的任一子对象均同构于A的一个像；

(2)A的任一像均同构于A的任一子对象。

证明(1)⇒(2)对于A的任一子对象N，由（1）知，存在着子对象K，使得A/K≅N。由于A是拟-morphic的，利用定理2，则存在着子对象H使得A/N≅H。

(2)⇒(1)对于A的任一子对象K，由(2)知存在着子对象N，使得A/N≅H。由于A是拟-morphic的，则存在着子对象T使得A/T≅K。

定理4设A是p-exact范畴C中的对象，则A是拟-morphic的⇔I(A)=K(A)。

证明(⇒)设A是拟-morphic的，对于任意的 Imα∈I(A)，由α是-morphic的，则存在β∈EndC(A) ，使得Imα=Ker(β) 。 因此Imα∈K(A)，I(A)⊆K(A)。若 Ker(α)=Imγ。因此K(A)⊆I(A)。故有I(A)=K(A)。

(⇐)对任意的α∈EndC(A)，有 Imα∈I(A)=K(A)，则存在β∈EndC(A)，使得 Imα=Ker(β)。同理，Ker(α)∈K(A)=I(A)。故存在γ∈EndC(A)，使得 Ker(α)=Imγ。从而，α是拟 -morphic的。由α的任意性知，A是拟-morphic的。

称群G是单系列的[6]，若它的正规子群格构成有限长度的链，即有G=G0⊃G1⊃G2⊃…⊃Gn=1，并记Gk的长度为IG(Gk)=n-k，其中k=0,1,…,n。称模M是单系列的[15]，若它的子模格是链。类似地，称范畴中的对象是单系列的[16]，若它的子对象构成链。若对象A的子对象构成有限长度的链：A=A0⊃A1⊃A2⊃…⊃An=0，同样地，我们可以定义子对象记Ak的长度为lA(Ak)=n-k，其中k=0,1,…,n。

引理2设p-exact范畴C中的对象A是单系列的且lA(A)=n，即子对象A=A0⊃A1⊃A2⊃…⊃An=0,则

(1)若A的子对象H是单系列的，则lA(H)=lH(H)；

(2)若Ai≅A/Ak，则i=n-k。

定理5设p-exact范畴C中的对象A是单系列的且lA(A)=n，即子对象A=A0⊃A1⊃A2⊃…⊃An=0,则下列命题等价：

(1)A是拟-morphic的;

(2)若A/Ak≅An-k,k=0,1,…,n，则A/An-k≅Ak;

(3)A是-morphic的。

证明(1)⇒(2)若A/Ak≅An-k,k=0,1,…,n，由于A是拟 -morphic的，则存在N=Ai,使得A/An-k≅Ak。由引理2知，i=k。故A/An-k≅Ak。

(2)⇒ (3)设α∈EndC(A)，记 Ker(α)=Ak，Imα=Ai，则A/Ak≅Ai，由引理 2 知，i=n-k。再利用(2)，有A/An-k≅Ak，即A/Imα≅Ker(α)，从而A是morphic的。

(3)⇒(1)显然。

注意到这部分结果没有涉及加法结构(即Hom(-,-)态射集不具有加法群结构)，当然也没有有限积。

3 Abelian范畴中的拟-morphic对象

研究Abelian范畴中的拟-morphic对象的有限直和。首先，下面两个定理有助于将研究简化到模范畴中。

定理6[17]设C是Abelian范畴A的小子范畴，则存在A的小Abelian全子范畴D，使得C是D的子范畴。

定理7[17](Mitchell Theorem)设C是小Abelian范畴，则存在环R和完全忠实正合函子

定理8设C和D是Abelian范畴，F:C→D是完全忠实正合函子，且A∈ObC,则A是拟-morphic的⇔F(A)是拟-morphic的。

证明(⇒) 设A是拟-morphic的，为F(A)的自态射。由于F是完全的，则存在α∈EndC(A)，使得=F(α)。 又因为A是拟-morphic的，则存在β,γ∈EndC(A)，使得下面序列正合

由F正合，可知

正合。从而F(A)是拟-morphic的。

(⇐)若F(A)是拟-morphic的，且α∈EndC(A)，则存在使得

正合。由于F是完全的，则存在β,γ∈EndC(A)，使得。故

正合。又因为F正合忠实的(见[18]定理7.1)，有

从而A是拟-morphic的。

命题2设A=A1×A2×…×An，Ai为Abelian范畴C中的对象(i=1,2,…,n)且满足i≠j时，HomC(Ai,Aj)=0，则A是拟-morphic的 ⇔Ai是拟-morphic的 (i=1,2,…n)。

此命题在模范范畴条件下的证明已在文[14]中给出。

定理9设A为Abelian范畴C中的拟-morphic对象，则

(1)有限个A的像的交仍是A的像；

(2)有限个A的像的和仍是A的像。

推论2设A为Abelian范畴C中的拟-morphic对象，则I(A)和K(A)均是格。

称范畴C中的对象是正规的[4]，若EndC(A)是正则环。记αA为α的像。

引理2[17]设A为Abelian范畴C中的对象，α∈EndC(A)，则α是正则的⇔αA和Ker(α)均是A的直和项。

设A为范畴C中的对象，称A是自投射的，若γA⊆αA，其中α,γ∈E=EndC(A)，则γ∈αE;称A生成核，若对于任意的β∈E=EndC(A)，A生成Ker(β)，即 Ker(β)=∑{αA|α∈ EndC(A)}。

命题3设A为Abelian范畴C中的对象，若E=EndC(A)正则，则A是拟-morphic的，自投射的且A生成核。

证明对于任意的α∈E，由于E正则，故存在β∈E使得α=αβα。首先证明αA⊆Ker(1-αβ)。对任意的x∈Ker(1-αβ)，即(1-αβ)(x)=0，从而x=(αβ)(x)∈αA，故Ker(1-αβ)⊆αA。

下 证 Ker(α)=(1-βα)A。 由α=αβα知，α(1-βα)=0 ，则α(1-βα)A=0 ，从而 (1-βα)A⊆Ker(α)。对任意的y∈Ker(α)，即α(y)=0 ，从而y=y-(βα)(y)=（1-βα)(y)∈(1-βα)A。故 Ker(α)⊆(1-βα)A。

综上可知，则α是拟-morphic的。由α的任意性可知，A是拟-morphic的。

由E正则知，E是右拟-morphic环。设γA⊆αE，其中γ,α∈E,lE(α)⊆lE(γ)。再利用文[10]得，E是左p-内射的，从而γE⊆αE，有γ∈αE，可知A是自投射的。

对于任意的β∈E，由于A是拟-morphic的，则存在λ∈E，使得λA=Ker(β)，这就证得A生成核。

设A为 AbelianC中的对象，称A是的kernel-direct[4]，若对任意的a∈EndC(A)，Ker(α)是A的直和项；称A是image-direct[4]，若对任意的a∈EndC(A)，Imα是A的直和项。对于拟-morphic对象，kernel-direct能推 出image-direct，反之亦然。因此，有下面结论。

定理10设A为AbelianC中的对象，E=EndC(A)，则下列命题等价：

(1)E正则；

(2)A是拟-morphic的且kernel-direct；

(3)A是拟-morphic的且。

4 小结

本文在有核和像的范畴中引进拟-morphic对象的概念，给出了拟-morphic对象的一些等价刻画，并讨论了拟-morphic元与单位正则元以及正则元的关系，并研究了拟-morphic对象在p-exact范畴和Abelian范畴中的一些性质。得到两个主要结果即文中的定理3和定理8。这说明范畴中的拟-morphic对象是morphic对象的真正推广。