万变不离“教材”之宗

文 丁 云

教材既是中考命题的主要依据，又是中考题的基本来源。翻阅历年的中考题，我们不难看到教材例题的身影。为此，回归教材，重视典型例题的价值挖掘，将有限的例题扩展到无限的考题中去，就显得尤为重要。

一、教材原题再现

（苏科版教材九年级上册第67页例3）如图1，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E。DE与AC有怎样的位置关系？为什么？

【解析】DE与AC互相垂直。由于切线过⊙O上的点D，因此连接OD，通过等腰三角形“等边对等角”，由OD=OA，得到∠OAD=∠ODA。通过 AD 平分∠BAC，借由等量代换，得到∠CAD=∠ODA，从而OD∥AC。此时可以根据直线与圆相切的性质，由DE是⊙O的切线，得到 DE⊥OD，因此∠DEA=∠ODE=90°，于是DE⊥AC。

二、纵向延伸——“垂线”“角平分线”互换

例1如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直于AB，垂足为E。延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC。

（1）求证：CD=CE；

（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形。

【解析】（1）如图3，连接AC，根据切线的性质和已知得AD∥OC，得∠DAC=∠ACO。因为OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，所以∠DAC=∠CAO。根据“AAS”证明△CDA≌△CEA，可得结论。

（2）证法一（等腰三角形性质）：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形“三线合一”，圆的性质等得∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，所以∠AOC=2∠F=45°，所以△CEO是等腰直角三角形；

证法二（平角定义）：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180°，x=22.5°，所以∠AOC=2x=45°，所以△CEO是等腰直角三角形。

【点评】本题用“AD垂直于过点C的切线”替代了“弦AD平分∠BAC”，通过全等得到角之间的关系，具有一定的隐藏性。本题相等的角较多，我们要注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用，由数至形。第二问在原题基础上做了延伸，将等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质融入其中，将角平分线的条件隐藏在等腰三角形的“三线合一”中，让题目更具趣味。

三、双向延伸——增设条件

例2如图4，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D。

（1）求证：PO平分∠APC；

（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC。

【解析】（1）如图5，连接OB，因为OA⊥PA，OB⊥PB，根据切线长定理得OA=OB，所以PO平分∠APC。

（2）先根据有一个角是60°的等腰三角形证明△ODB是等边三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC。

【点评】本题在教材原题的基础上强化条件，增设了一条切线，表面上是增加了一组条件，其实质是将原题中已知“弦AD平分∠BAC”和求证“DE与AC互相垂直”进行条件与结论的互换，在求解中知识点也有所增补，用到切线长定理。第二问中解题的关键是判断出△ODB是等边三角形，由角之间的关系证明平行，本质上又回到了教材例题中所隐藏的平行。